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1、东莞市高三理科数学专题练习数列1设等比数列na的公比为q, 前n项和为nS，若12nnnSSS，成等差数列，求q的值2已知数列na是等差数列，其前n项和为nS，443122aS， 求数列na的通项公式； 求n取何值时，nS最大，并求nS的最大值 . 3已知数列na满足：为偶数为奇数n,nan,naa,annn221111 求2a，3a，4a，5a； 设*nnNn,ab22，求证：nb是等比数列，并求其通项公式； 在条件下，求数列na前 100 项中的所有偶数项的和S4 已 知 数 列na是 等 比 数 列 ，ea4， 如 果72,aa是 关 于x的 方 程 ：)2( ,012ekkxex两个实
2、根，（e是自然对数的底数） 求na的通项公式； 设nnalnb，nS是数列nb的前n项的和，当nSn时，求n的值； 对于中的nb，设21nnnnbbbc，而nT是数列nc的前n项和，求nT的最大值及相应的n的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页1 - 第一行2 2 - 第二行3 4 3 - 第三行4 7 7 4 - 第四行5 11 14 11 5 5设数列na的前n项和nnSn21232，数列nb为等比数列，且,11ba1122)(baab 求数列na、nb的通项公式； 设nnnbaC，求数列nc的前n项和nT6 已
3、 知 数 列na的 前n项 和nS， 点nSnn，在 直 线21121xy上 数 列nb满 足*nnnNnbbb0212，且113b，前 9 项和为 153 求数列na、nb的通项公式； 设121123nnnbac，数列nc的前n项和为nT，求使不等式57kTn对一切*Nn都成立的最大正整数k的值； 设*n*nNl, lnbNl ,lnanf212，问是否存在*Nm，使得mfmf515成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由7观察下列三角形数表假设第n行的第二个数为2nan,nN，依次写出第六行的所有6个数字；归纳出1nnaa与的关系式并求出na的通项公式；设1nna b，求证：232n
4、bbb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页8假设某市2004 年新建住房400 万平方米，其中有250 万平方米是中低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50 万平方米那么到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于4750 万平方米 ? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 9已知数列na中，12a，23a，其前n项和nS满足1121nnnSSS（2n，*
5、Nn） 求数列na的通项公式； 设14( 1)2 (nannnb为非零整数，*Nn） ，试确定的值，使得对任意*Nn，都有nnbb1成立10已知数列1a，2a，30a，其中1a，2a，10a是首项为1，公差为1的等差数列；10a，11a， ，20a是公差为d的等差数列；20a，21a， ，30a是公差为2d的等差数列0d 若4020a，求d； 试写出30a关于d的关系式，并求30a的取值范围； 请依次类推，续写己知数列，把已知数列推广为无穷数列再提出同类似的问题，并进行研究，你能得到什么样的结论？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3
6、页，共 9 页11已知向量/mn,其中31(, 1)1mxc，( 1, )ny( , ,)x y cR，把其中, x y所满足的关系式记为( )yf x，若函数( )f x为奇函数 求函数( )f x的表达式； 已知数列na的各项都是正数, nS为数列na的前n项和，且对于任意*nN，都有“()nf a的前n和” 等于2nS，求数列na的通项式； 若数列nb满足142()nannbaaR，求数列nb的最小值12数列na的各项均为正值，11a，对任意*nN，2114(1)nnnaaa，2log (1)nnba都成立 求数列na、nb的通项公式； 当7k且*kN 时，证明对任意*nN都有12111
7、1132nnnnkbbbb成立13数列 an满足)1(21)11 (1211nannaannn且. 用数学归纳法证明：)2(2 nan；已知不等式)1(:,0)1ln(2neaxxxn证明成立对，其中无理数e=2.71828.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页数列专题参考答案1解：若1q, 则111(1)(2)2nanana，10,232ann, 不合要求；若1q， 则12111(1)(1)2(1)111nnnaaaqqqqqq122nnnqqq220,2.qqq综上 , 2q. 2 解： 依题意，dada64123
8、2311解得：1,291da.211)1()1(29nnannnnnnSn52)1(2)1(292=225)5(212n当5n时，nS 取大值2255S3解：425,47,25,235432aaaa212)4(2122122122222122221nnnnnnnnannaanaaabb=21212122nnaa21221ab数列nb是等比数列，且nnnb)21()21()21(1由得：)503,2,1()21(222nbannn211)211 (215025010042aaaS505021992111004解：由于72,aa是已知方程的两根，所以，有：,172eaa即：eqqaa1611，又e
9、a4，得eqa31两式联立得：,3eqnnneqaa31344故na的通项公式为：nnea313nelnalnbnnn313313，所以，数列nb是等差数列，由前n项和公式得：nnnSn2)31310(，得2323n，所以有：7n由于nbn313得：6543210bbbbbb又因为21nnnnbbbc，所以0, 043223211bbbcbbbc，而05433bbbc0076556544bbbcbbbc，且 当5n时，都有0nc，但83c104c即：43cc所以，只有当4n时，nT的值最大，此时31010828280maxnT5解：由12123112SannSn得1,2nnnSSan时=) 1
10、(21)1(23212322nnnn=23n对于1n也成立，故23naann的通项精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页13141112abaa由1122b)aa(b3112bbqbn的公比得故1)31(nnnbb 的通项解：11323nnnnca bnnnCCCCT321故1232)31)(23()31()53()31(10)31(73141nnnnnT得31nnnnnT)31)(23()31()53()31(7)31(431132两式相减得nnnnT)31)(23()31()31()31(31313213211159
11、11565 13313323213223322313nnnnnnnn1)31(456415nnnT6解：由已知得：21121nnSn，nnSn211212当2n时，5121112121121221nnnnnSSannn当1n时，611Sa也符合上式5nan由*nnnNnbbb0212知nb是等差数列由nb的前 9 项和为 153，可得：1532991bb，求得175b，又113bnb的公差3235bbd23nbn1211212136123nnnncn，121121121121513131121nnnTnn增大，nT增大nT是递增数列，311TTn57kTn对一切*Nn都成立，只要57311kT
12、19k则18maxk 当m是奇数时，21531515mbmfm，5mamfm则有552153mm，解得：11m当m是偶数时，201515mamfm，23mbmfm则有23520mm，解得：*Nm75所以11m7解：（1）第六行的所有6 个数字分别是6，16，25，25，16，6；（2）依题意)2(1nnaann，22a23243121223122nnnnnaaaaaaaan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页所以)2(121212nnnan；（3）因为1,nna b所以)111(222222nnnnnnbn)111(.
13、)3121()2111(2.432nnbbbbn2)11 (2n8解 (1)：设中低价房面积形成数列na，由题意可知na是等差数列其中1250a，50d，则2125050252252nn nSnnn令2252254750nn，即291900nn，又*nN10n到 2013 年底 ,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750 万平方米 . (2)设新建住房面积形成数列nb， 由题意可知nb是等比数列 其中1400b，1 08q.，则14001 080 85nnb.由题意可知0 85nna.b得：12501504001 080 85nn.可得满足上述不等式的最小正整数6n到 2009 年底
14、 ,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 9解：由已知，111nnnnSSSS（2n，*Nn） ，即11nnaa（2n，*Nn） ，且211aa数列na是以12a为首项，公差为1 的等差数列1nan1nan，114( 1)2nnnnb，要使nnbb1恒成立，112114412120nnnnnnnnbb恒成立，113 43120nnn恒成立，1112nn恒成立（）当n为奇数时，即12n恒成立，当且仅当1n时，12n有最小值为1，1（）当n为偶数时，即12n恒成立，当且仅当2n时，12n有最大值2，2即21，又为非零整数，则1综上所述，存在1，使得对任意*Nn，都有1n
15、nbb10. 解(1)：1010a，40101020da，3d(2) 432110110102222030ddddaa0d由0d，得,a21530(3) 续写数列：数列30a，31a，40a是公差为3d的等差数列； 一般地，可推广为：无穷数列na，其中1a，2a，10a是首项为1，公差为 1 的等差数列；当1n时，数列na10，110na，110 na是公差为nd的等差数列 . 研究的问题可以是：试写出110 na关于d的关系式，并求110 na的取值范围研究的结论可以是：由3240110ddda，依次类推可得11101111011012110dnddddddannn精选学习资料 - - -
16、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页当0d时，110 na的取值范围为 (10, +)等11解：/mn3331101(10)1yyxcxcxc，因为函数( )f x为奇函数，所以1c3( )(0)f xxx由题意可知,23333212123()()()nnnnf af af aSaaaaS 3333212311nnaaaaS 由 - 可得：32211()nnnnnnaSSa SSna为正数数列212nnnnnaSSSa 21112nnnaSa 由 - 可得：2211nnnnaaaa10nnaa，11nnaana为公差为1 的等差数列且由可得32
17、1111,01aa aa()nan nN()nan nN,12242(2)()nnnnbaaanN令2(2)nt t,22()(2)nbtaat(1)当2a时，数列nb的最小值为当2n时，2168nbba(2)当2a时若2 ()kakN时，数列nb的最小值为当nk时，2kba若122()2kkakN时，数列nb的最小值为当nk或1nk时221(2)kkkbbaa若1222()2kkkakN时，数列nb的最小值为当nk时，22(2)kkbaa若11222()2kkkakN时，数列nb的最小值为当1nk时，1221(2)kkbaa12解：由2114(1)nnnaaa得，11(21)(21)0nnn
18、naaaa数列na的各项为正值，1210nnaa，121nnaa，整理为112(1)nnaa. 又1120a数列1na为等比数列111(1) 22nnnaa，21nna，即为数列na的通项公式2l o g( 211)nnbn. 证明一：设12111111111121nnnnkSbbbbnnnnk111111112()()()()112231Snnknnknnknkn当0,0 xy时，2xyxy，1112xyxy, 11()()4xyxy114xyxy, 当且仅当xy时等号成立上述式中，7k，0n，1,2,1nnnk全为正，所以44444 (1)21122311n kSnnknnknnknknn
19、nk2(1)2(1)2232(1)2(1)1117121kkSkkkn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页证明二：设12111111111121nnnnkSbbbbnnnnk7k17121111nnnnS1711616113112121121111nnnnnnnnn234 2 06 6 9713121713121nnnnnn13证明：当2n时，222a，不等式成立 . 假设当)2(kkn时不等式成立，即),2(2 kak那么221)1(11(1kkkakka. 这就是说，当1kn时不等式成立. 根据可知：22nak
20、对所有成立 . ：证法一：由递推公式及的结论有) 1.()2111(21)11(221nannannannnnn两边取对数并利用已知不等式得nnnannaln)2111ln(ln21.211ln2nnnna故nnnnnaa21) 1(1lnln1).1(n上式从 1 到1n求和可得121212121)1(1321211lnlnnnnnaa.22111121121121111)3121(211nnnnn即).1(,2ln2neaann故证法二：由数学归纳法易证2) 1(2nnnn对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21nnnannannannnn令).2()1(11(),2(11nbnnbnabnnnn则取对数并利用已知不等式得nnbnnbl n)1(11l n (l n1121nlnbn.n(n)上式从 2 到 n 求和得) 1(1321211l nl n21nnbbn.11113121211nn因).2(3, 3ln1ln.313ln11122neebbabnn故故1,2,132222121neaeaeaneeann对一切故又显然成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页