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1、知识点一函数的概念1函数的定义、定义域、值域2两个函数相等的条件(1)定义域相同(2)对应关系完全一致知识点二函数的表示及分段函数1函数的表示方法函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法2分段函数如果函数y f(x)，xA，根据自变量x 在 A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集知识点三函数的单调性与最大(小 )值1函数的单调性(1)增函数、 减函数： 设函数 f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)
2、，那么就说函数f(x)在区间 D 上是增函数；当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是减函数(2)函数的单调性：若函数f(x)在区间D 上是增 (减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页格的 )单调性，区间D 叫做 f(x)的单调区间(3)单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增 (减)函数，则f(x)g(x)仍为增 (减)函数；若函数 f(x)为增 (减)函数，则 f(x)为减 (增)函数；若函数 f(x)为增 (减 )函数，且 f(x)0， 则1f
3、x为减 (增 )函数2函数的最大值、最小值最值类别最大值最小值条件设函数 yf(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足(1)对于任意的xI，都有f(x) M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M结论M 是函数 yf(x)的最大值M 是函数 yf(x)的最小值性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值知识点四函数的奇偶性1函数奇偶性的概念偶函数奇函数条件对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)f(x) f(x)结论函数 f(x)是偶函数函数 f(x)是奇函数2.性质(1)偶函数的图象关于y 轴对
4、称，奇函数的图象关于原点对称(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不为零 )为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商(分母不为零 )为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数题型一函数的定义域、值域例 1(1)(2018 年 6 月学考 )函数 ylog2(x1)的定义域是 ()A( 1， ) B 1， )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页C(0， ) D 0， )(2)函数 f(x)x2x1
5、的值域为 _答案(1)A(2)12，解析(2)因为函数的定义域是12， ，且函数为单调递增函数，所以函数的最小值是f1212，故函数的值域是12， .感悟与点拨(1)求函数的定义域，就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围(2)在求函数定义域和值域的时候，要把定义域和值域写成集合或区间的形式跟踪训练1(1)(2018 年 4 月学考 )函数 f(x)x1x的定义域是 ()A x|x0 B x|x0C x|x0 DR(2)函数 f(x)ln 2xx2|x|x的定义域为 _答案(1)A(2)( 1,0)解析(1)由题意知，x0，x0，所以 x0.(2) 2xx20 且|x|x0，x(1,2)且
6、x?0， )，x(1,0)题型二函数的图象及图象的应用例 2(2016 年 4月学考 )下列图象中，不可能成为函数yf(x)的图象的是 ()答案A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页解析当 x 0时，有两个y 值对应，故A 不可能是函数yf(x)的图象感悟与点拨一个图象能不能作为函数的图象，关键是看它是否符合函数的定义及函数的特征跟踪训练2已知函数f(x)2x， 1x0，x，0 x1，则下列函数的图象错误的是()答案D题型三分段函数例3已知函数f(x)132log,1,24,1,x xxxx则f(f(3) _， f(
7、x)的单调递减区间是_答案51， )解析f(3)13log 3 1，f(f(3)f(1) 1245.当 x1 时， f(x) x22x4 (x1)25，对称轴为x 1，f(x)在1,1上单调递减当 x1 时， f(x)单调递减，且12 21413log 1，f(x)在1， )上单调递减感悟与点拨解决分段函数问题的关键是：在定义域内的自变量x 取不同区间上的值时，有着不同的对应关系，要注意分别考虑跟踪训练3已知函数f(x)sin x， x0，f x1 1，x 0，则 f 113f113_.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 1
8、5 页答案 4解析f113f113f 113f 134sin 113 sin 34 4.题型四函数的单调性及应用例 4已知 yf(x)在定义域 (1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，求 a 的取值范围解由题意可知11a1，12a11，解得 0a1.又 f(x)在(1,1)上是减函数，且 f(1a)2a1，即 a23.由 可知， 0a1是 R 上的减函数，求实数 a 的取值范围解由题意知，要使原函数在定义域上为减函数，则需要满足3a10，0a1，3a1 14a loga1，解得17a13，故实数a 的取值范围是17，13.题型五函数的奇偶性及应用例 5(2016 年 4月学考改编 )已
9、知函数 f(x)1x11x3.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页(1)设 g(x)f(x2)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由；(2)求证：函数f(x)在2,3)上是增函数(1)解g(x)是偶函数，证明如下：f(x)1x 11x3，g(x)f(x2)1x11x1，g(x)1x11x11x11x1g(x)，又g(x)的定义域为 x|x1 且 x1 ，yg(x)是偶函数(2)证明设 x1，x22,3) 且 x1x2，f(x1)f(x2)1x111x1 31x211x232 x1x2x1x24x1 1 x13 x21
10、x23，x1，x22,3)且 x1x2，x1x20，(x11)(x13)(x21)(x23)0，综上得 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0 时， (2a 1)(a1)2，解得 a2；当 a0；当 x1，x2(2， )时，f x2f x1x2x10.若 x14，则 f(x1)，f(x2)的大小关系是()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不确定答案B解析 f(4x)f(x)，函数图象关于x2 对称当 x1，x2(， 2)时，f x2f x1x2x10，此时函数单调递增当 x1， x2 (2， )时，f x2f x1x2x10，此时函数单调递减x14，若 2x1f(x2)；若 x
11、124，得 x24x1.x12，则 4x12，则 f(x2)f(4 x1)f(4 x) f( x)，f(4 x) f(x)，即 f(4x1)f(x1)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页f(x2)f(x2)二、填空题11已知函数f(x)112x，x0，1x， x0，若 f(a)a，则实数a_.答案 1 或23解析当 a 0时， f(a)112a a，得 a23；当 a0，若 f(x)与 g(x)的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是 _答案(0,1)解析由题意得f(x)x，xa，a，xa，在平面直角坐标系内分
12、别画出当0a1 时，函数 f(x)，g(x)的图象，由图易得当f(x)，g(x)的图象有两个交点时，有0aa，解得 0a1，即 a 的取值范围是0a1.三、解答题15已知函数f(x)ax1x11x1，a R.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)当 a2 时，证明：函数f(x)在(0,1)上单调递减(1)解因为 f(x) ax1x11x1ax1x11x1 f(x)，又因为 f(x)的定义域为 xR|x1 且 x1，所以函数f(x)为奇函数(2)证明任取 x1，x2(0
13、,1)，设 x1x2，则 f(x1) f(x2)a(x1x2)x2x1x1 1 x21x2x1x1 1 x21(x1 x2) a2 x1x21x211 x221.因为 0 x1x22,0( x21 1)(x221)2a，所以 a2 x1x21x211 x2210.又因为 x1x2f(x2)，所以函数f(x)在(0,1)上单调递减16已知 f(x)是定义在 1,1上的奇函数，且f(1) 1，若 a， b1,1，当 ab 0 时，有f a f bab0 成立(1)判断 f(x)在1,1上的单调性，并证明；(2)解不等式： f x12f1x1；(3)若 f(x)m22am1 对所有的a1,1恒成立，
14、求实数m 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页解(1)f(x)在1,1上单调递增证明如下：任取 x1，x21,1，且 x10，又 x1 x20，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)所以 f(x)在1,1上单调递增(2)因为 f(x)在1,1上单调递增，所以x121x1，1 x121，11x11，所以32x 1.所以不等式的解集为32， 1 .(3)因为 f(1)1，f(x)在1,1上单调递增所以在 1,1上， f(x)1.问题转化为m22am 11，即 m22am0 对 a1,1恒成立设 g(a) 2m am2 0.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页若 m 0，则 g(a)0 0对 a 1,1恒成立；若 m0，则 g(a)为 a 的一次函数，若g(a)0 对 a1,1恒成立，必须有g(1)0 且g(1)0，所以 m 2 或 m2.所以 m 的取值范围是 m|m0 或 m2 或 m2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页