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1、数学必修 4 综合测试题一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1下列命题中正确的是（C ）A第一象限角必是锐角B终边相同的角相等C相等的角终边必相同D不相等的角其终边必不相同2将分针拨慢5 分钟，则分钟转过的弧度数是（ C ）A3B3C6D63已知角的终边过点mmP34 ，0m，则cossin2的值是（B ）A 1 或 1 B52或52C1 或52D 1 或524、若点(sincos ,tan)P在第一象限 , 则在0, 2 )内的取值范围是（ B ）A.35(,)( ,)244 B.5(,)( ,)424 C.353(
2、,)(,)2442 D.33(,)(,)2445. 若|2|a，2|b且（ba）a，则a与b的夹角是（）（A）6（B）4（C）3（D）1256. 已知函数BxAy)sin(的一部分图象如右图所示，如果2| ,0,0A，则（）A.4AB.1C.6D.4B7. 设集合xyyxA2sin2|)( ，集合xyyxB|)( ，则（）ABA中有 3 个元素BBA中有 1 个元素CBA中有 2 个元素DBAR已知xxx2tan,54cos),0,2(则（）A247B247C724D7249. 同时具有以下性质： “最小正周期实 ； 图象关于直线x3对称；在6，3上是增函数”的一个函数是（）精选学习资料 -
3、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页A.ysin(x26) B.y cos(2x3)C.ysin(2x6) D.y cos(2x6) 10. 设 i=(1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki4j,若 ab，则实数k的值为（）A 6 B 3 C3 D6 11. 函数)34cos(3)34sin(3xxy的最小正周期为（）A32B3C8 D 4 12. 2002 年 8 月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方
4、形的面积是22cossin,251则的值等于（）A 1 B2524C257D257二、填空题（本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分）13. 已知3322cos2sin，那么sin的值为，2cos的值为14. 已知 |a|=3,|b|=5, 且向量 a 在向量 b方向上的投影为125，则 a b= . 15. 已知向量OPXOBOAOP是直线设),1 , 5(),7, 1(),1 , 2(上的一点（O 为坐标原点） ，那么XBXA的最小值是 _ 16给出下列6种图像变换方法：图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的21；图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2 倍； 图像向右平
5、移3个单位；图像向左平移3个单位；图像向右平移32个单位； 图像向左平移32个单位。 请写出用上述变换将函数y = sinx 的图像变换到函数y = sin (2x+3)的图像的一个变换_(按变换顺序写上序号即可) 三、解答题（本大题共6 小题，共74 分，解答应有证明或演算步骤）17、已知 cos(2)=19,sin(2)=23,且 (2, ), (0,2),求 cos2的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页18. ( 本小题满分12 分) 已知434，40，53)4cos(，135)43sin(，求sin的
6、值 . . （本题满分12 分） 已知向量)23sin23(cosxx，a，)2sin2(cosxx，b，) 13(，c，其中Rx（）当ba时，求x值的集合；（）求|ca的最大值、已知函数., 12sinsin2)(2Rxxxxf（1）求)(xf的最小正周期及)(xf取得最大值时x 的集合；（2）在平面直角坐标系中画出函数)(xf在,0上的图象 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页21、 （本题满分12 分）设a、b是两个不共线的非零向量（Rt）（1）记),(31,baOCbtOBaOA那么当实数t 为何值时， A
7、、B、C 三点共线？（2）若1201|夹角为与且baba，那么实数x 为何值时|bxa的值最小？22、 （本题满分1分） 某沿海城市附近海面有一台风，据观测， 台风中心位于城市正南方向200km的海面 P处，并正以20km/h 的速度向北偏西方向移动（其中19cos20）, 台风当前影响半径为 10km，并以 10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风影响？影响时间多长？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页数学必修 4 综合测试题参考答案1 C2. D3 B4、B5、B6、C7、A8、D 9、C. 10
8、、D11、A12、D 、31，9714、12 15 8 16 或17、已知 cos(2)=19,sin(2)=23,且 (2, ), (0,2),求 cos2的值 . 18. 解：43442又53)4cos(54)4sin(404343又135)43sin(1312)43cos(sin( + ) = sin + ( + ) = )43()4sin()43sin()4cos()43cos()4sin(656313553)1312(54解：（）由ba，得0ba，即02sin23sin2cos23cosxxxx 4 分则02cos x，得)(42Zkkx5 分Zkkxx，42|为所求6 分（）22)
9、323(cos|xca2) 123(sinx)323sin(45x，10 分所以|ca有最大值为312 分解：（I）xxxxxxxf2cos2sin)sin21(2sin12sinsin2)(22=)42sin(2x5 分所以)(xf的最小正周期是6 分xR，所以当kkxkx(83,2242即Z）时，)(xf的最大值为2. 即)(xf取得最大值时x 的集合为kkxx,83|Z8 分（II ）图象如下图所示： （阅卷时注意以下3 点）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页1最小值2)83(f，最小值2)87(f.10 分2
10、增区间;,87,83,0减区间87,8312 分3图象上的特殊点： （0， 1） ， （1 ,4） ， （1 ,2） ，)1,(),1,43( 14 分注：图象上的特殊点错两个扣1 分，最多扣2 分 21、解： （1）A、B、C 三点共线知存在实数OBOAOC)1(,使即btaba)1()(31，4 分则21,31t实数6 分（2）,21120cos|baba, 12|22222xxbaxbxabxa9 分当23| ,21取最小值时bxax12 分22、解：如右图，设该市为A，经过 t 小时后台风开始影响该城市，则t 小时后台风经过的路程PC（ 20t ）km，台风半径为CD （ 10+10t ）km，需满足条件：CD AC 2222222()2|2 | | cosACPCPAPCPAPA PCACPCPAPAPC22219200(20 )2 200 2040000400760020ttt222400004007600(10 10 )ttCDt整理得23007800399000tt即2261330tt解得719t7 小时后台风开始影响该市，持续时间达12 小时。20020t10+10t10北APCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页