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1、学习必备欢迎下载数学思想方法专题一、数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，关键是数与形之间的相互转化 . 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及常见函数图象的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义 . 例 1 如图 1，数轴上的A，B，C，D四点所表示的数分别为a，b，c，d，且 O为原点根据图中各点位置，判断与|a c| 的值不同的是（）A |a|+|b|+|c| B |a-b|+|c-b| C |a-d|-|d-c| D |a|+|d|-|c-d| 分析：根据绝对值的性质计算出各绝对值表示的线
2、段长，与|a-c|的长进行比较即可解：由题意，知|a-c|=AC. |a|+|b|+|c|=AO+BO+CO AC，故 A选项正确；|a b|+|c b|=AB+BC=AC ，故 B选项错误；|a d| |d c|=ADCD=AC ，故 C选项错误；|a|+|d|c d|=AO+DO CD=AC ，故 D选项错误 . 所以选 A点评：本题考查了实数与数轴，知道绝对值的意义是解题的关键例 2 （2012 年河南省） 如图 2，函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（ m ，3） ，则不等式2xax+4 的解集为（）A. x23 B. x23 D. x3 分析：由于两条直线交于点A
3、，结合函数表达式y=2x 确定点A的横坐标注意在交点左边和右边y 值的变化情况，根据图象信息直接确定不等式的解集. 解：把 A（m ，3）代入 y=2x，得 m=23. 所以 A（23，3）. 由图象可知，不等式2xax+4 的解集为x23故选 A. 点评：本题主要考查对一次函数与一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能熟练运用性质进行解题，并通过图象判断不等式的关系是解题的关键. 二、分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不明确的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的描述时， 按可能出现的所有情况来分别进行讨论，得出各种情况下相互独立的结论.分类的原则是： 分类的每一部分是相互独立
4、的；一次分类必须依据同一个标准；分类必须是逐次进行的. 例 3 （2012 年湘潭市）已知一次函数y=kx+b（k0）的图象过点（0，2） ，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的表达式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载分析： 根据点（ 0，2）以及图象与两坐标轴围成的三角形面积确定图象与x 轴的交点坐标，注意分交点位于原点左侧和原点右侧两种情况讨论，根据两个点的坐标即可确定一次函数的表达式解：一次函数y=kxb（k0）的图象过点（0，2） ，b=2. 令 y=0，则 x=k2. 函数图象与
5、两坐标轴围成的三角形面积为2，212k2-=2，即k2=2. 当 k0 时，k2=2. 解得 k=1；当 k0 时， -k2=2.解得 k=-1 故此一次函数的表达式为y=x+2 或 y=-x+2 点评：确定一次函数的表达式，关键是确定图象与坐标轴的另一交点坐标. 由于题目中没有明确指出图象与x 轴交于正半轴还是负半轴，故需要分两种情况进行讨论. 例 4 （2012 年龙东市）等腰三角形的一腰长为5， 一边上的高为3， 则底边长为 _分析： 结合题意 “一边上的高” 将问题分为底上的高与腰上的高两种情况，等腰三角形腰上的高又分为高在三角形内（锐角三角形）与高在三角形外（钝角三角形）两种情况，运
6、用勾股定理，分别求解. 解： （1）若高是该等腰三角形底边上的高，如图3，此时， AB=AC=5 ，AD=3. 由勾股定理，得BD=22BDAB=2235=4. 所以底边BC=8.（2）若高是该等腰三角形腰上的高. 当等腰三角形为锐角三角形时，如图4，此时 AB=AC=5 ，BD=3. 由勾股定理，得AD=22BDAB=2235=4. 故 CD=1. 在 RtBCD中，由勾股定理，得BC=22CDBD=2213=10；当等腰三角形为钝角三角形时，如图5. 此时 AB=AC=5 ，CD=3. 由勾股定理，得AD=22CDAC=2235=4. 故 BD=9. 在 RtBCD中，由勾股定理，得BC=
7、22CDBD=2213=310. 综上，底边长为8 或10或 310. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载点评： 题目没有图形，仅仅已知腰长以及一边上的高，答案不唯一，可以分高是底边上的高和是腰上的高两种情况讨论，其中腰上的高又分两种情况，高位于等腰三角形内和高位于等腰三角形外进行分类讨论，避免漏解或重解三、转化思想转化思想常用的解题策略是：（1）已知与未知的转化：分析已知条件的内涵，挖掘其隐含条件，使得已知条件朝着明朗化的方面转化；对于一个未知的新问题，通过联想， 寻找转化为已知的途径，或者是从结论
8、入手进行转化；（ 2）数与形的转化： 把抽象的数学语言与直观的图形相结合，使许多概念直观而形象，有利于发现解题途径；（3）一般与特殊的转化：比如探究规律问题，从简单的某些属性，按照某种不变的规律向一般图形具有的性质进行探究等；（4）复杂与简单的转化：把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解答. 例 5 （2012 年湛江市）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题. 例：解一元二次不等式x2 40. 解： x24=（x2） （x2） ，x240 可化为（ x 2） （x 2） 0. 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得0202xx，或0202xx. 解不等式组，得x2；解
9、不等式组，得x 2. （ x 2） （x2） 0 的解集为 x2 或 x 2. 即一元二次不等式x240 的解集为x 2或 x 2. （1）一元二次不等式x2160 的解集为 _；（2）分式不等式31xx0 的解集为 _；（3）解一元二次不等式2x2 3x0. 分析： （ 1）将一元二次不等式的左边分解因式后化为两个一元一次不等式组求解即可；（2）根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；（3）将一元二次不等式的左边分解因式后化为两个一元一次不等式组求解即可. 解： （1）x4 或 x 4. （2）x3 或 x1. （3） 2x23x=x（ 2x3）
10、 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载2x23x0 可化为 x（ 2x3） 0. 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得0320 xx或0320 xx. 解不等式组，无解；解不等式组，得0 x23. x（2x3） 0 的解集为0 x23. 即一元二次不等式2x23x0 的解集为0 x23. 点评： 这是一道方法渗透性阅读理解题，解题的关键是认真阅读材料，并运用材料中提供的方法解答新的问题，这里渗透了转化思想例 6 （2012 年日照市）如图6- ，正方形OCDE 的边长为1，阴影部分的面积记作S
11、1；如图 6- ，最大圆的半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则 S1_S2（用“ ” 、 “”或“=”填空） . 分析：观察图可知，阴影部分的面积等于矩形CAFD的面积，观察图可知，阴影部分的面积等于最大圆面积的41， 分别求出矩形CAFD的面积、最大圆面积的41后作比较即可解：连接 OD ，如图 6- . 四边形OCDE 为正方形， OE=1 ，由勾股定理，得OD=22DEOE=2211=2. AO=2. AC=AO-CO=21. S1=S矩形 CAFD=（21） 1=21. S大圆 =r2= ，S2=41249，即223，2123-1 ，即2141. 又21430且81ab 是一个常数，
12、当 m=21t 时， MPQ 的面积取最小值81ab；当 m21t 时，即点P过 AC中点后， MPQ 的面积逐渐增大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载故选 C点评： 在解答运动变化的选择题时，过程不一定需要很严谨，利用特殊位置确定一些特殊值，然后结合变化过程运用合情推理找到正确答案即可如果从变化的数量上描述变化的规律，可以建立函数模型，运用函数的性质加以分析，最终得出变化的规律. 例 13 （2012 年绵阳市）某种子商店销售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择. 方案一：
13、每千克种子价格为4 元，无论购买多少均不打折；方案二：购买3 千克以内（含3 千克）的价格为每千克5 元，若一次性购买超过3千克的, 则超过 3 千克的部分种子价格打7 折. （1）请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x（千克）和付款金额y（元）之间的函数表达式 . （2）若你去购买一定量的种子，你会怎样选择方案？请说明理由. 解析： （ 1）方案一： y=4x；方案二：35 .45. 335xyxxx（2）设购买x 千克的种子 . 当 x3 时，选择方案一. 当 x3 时：当 4x=3.5x+4.5时， x=9；当 4x3.5x+4.5时， x9；当 4x3.5x+4.5时， x9. 所以当购买种子的质量少于千克时，应选择方案一；当购买种子的质量为千克时，选择两种方案均可；当购买种子的质量超过千克时，应选择方案二. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页