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1、第一部分第一部分 定积分的计算定积分的计算一、定积分的计算例 1 用定积分定义求极限.)0(21lim1annaaaan解 原式=.1011limaaninxnnidxaaxa111101例 2 求极限 .1021limxxnndx解法 1 由，知，于是.10 xnnxxx21010210 xxn10nxdxdx而，由夹逼准则得=0.10nxnnnxdxn01111011021limxxnndx解法 2 利用广义积分中值定理（其中在区间上不变号） ， xgxfba baxgfdxdx xgba, 由于，即有界，.10111102102nnnndxxdxxx11102n211n，故=0.nndx
2、xn011101021limxxnndx注 （1）当被积函数为或型可作相应变换.22,xaxR22,axxR如对积分，可设；31022112xxdxtxtan对积分，由于，可设02202adxxaxxa2222axaxax.taaxsin对积分，可设dxex2ln021.sintex（2）的积分一般方法如下：0,cossincossin20dcdttdtctbtaI将被积函数的分子拆项，分子=A分母+B分母，可求出，22dcbdacA. 则积分22dcadbcB2020cossinln2cossincossintdtcBAdttdtctdtcBAI.ln2dcBA例 3 求定积分dxxxx12
3、11arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式.解法 1 dxxxx1211arcsin2txxt12121211212arcsinarcsinarcsin21arcsin2ttd tdttt .1632解法 2 dxxxx1211arcsin.163cossincossin2sin2242242uduuuuuuux小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元时还应注意：tx（1）应为区间上的单值且有连续导数的函数；tx,（2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把
4、相应的积分限代入计算即可.例 4 计算下列定积分（1）， ； 2031cossinsinxxxdxIdxxxxI2032cossincos（2）.1cos226dxexx解 （1）2031cossinsinxxxdxI )(sincoscos2023duuuuux =.sincoscos2023Idxxxx故dxxxxxII203321cossincossin21 =.41coscossinsin212022dxxxxx（2）I.1cos226dxexx dxexdueuuxxu2262261cos1cos 2222661cos1cos21dxexdxexeIxxx .3252214365co
5、scos21206226xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dxxdxnn2020cossin 偶 偶偶 偶偶 偶偶 偶nnnnnnnnnn,22421331,1322431 小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。积分区间为0，a时，设;积分区间为-a,a时，设。可使新的积分xauxu 区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。（2）利用例 10.6(2)中同样的方法易得2020cossincoscossinsindxxfxfxgdxxfxfxg例 5 设在上具有二阶连续导数， xf, 0 3f且，求 2cos0 xdxxfxf .0
6、f 解 xdxxfxfcos0 20sincossinsincossin000000ffdxxfxxf xdxxfxxxfxfxdxdxf故 . 53220ff小结 （1）定积分与不定积分的分部积分法有同样的选择的原则；dvu, （2）当被积函数中含有抽象函数的导数形式时，常用分部积分法求解.例 6 计算定积分（为自然数）.xdxn206sinn解 是以为周期的偶函数.x6sin.8522143654sin4sin2sin220622606nxdxnxdxnxdxn原式例 7 证明积分与无关，并求值.0211xxdxI解 0211xxdxI ，于是020211111xxdxxttdttxt02
7、2111121xxdxxxxdxI .4arctan21121002xxdx小结 收敛的广义积分的计算和证明依据与定积分完全类似的换元积分法和分部积分法.二、含定积分的不等式的证明例 8 证明（1）；.222121212dxeex 20sin2sintdtexxt证 （1）在上连续，令，得. 2xexf21,21 022xexfx0 x比较与的大小，知在上的最大值为212121eff 10 f21,21，最小值为，故 10 fM2121efm . 22121212122121212Mdxemex（2）由于以为周期，tetsinsin2 tdtetdtexFtxxtsinsin20sin2sin
8、 .sinsin2sin0sintdtetdtett而 uduetutdteutsin2sin0sin2sin令 ，tdtetsin0sin因为 ，0sinsinsinteett., 0t所以 0sin0sinsintdteexFtt 事实上， （2）中所给变上（下）限定积分与无关，仅为取正值的常数.x例 9 设是上单调减少的正值连续函数，证明 xf 1 , 0 dxxfdxxf0.10证 利用积分中值定理， dxxfdxxf0 21ff1,021（因为递减取正值）. 02221fff xf即 dxxfdxxf0.10例 10 设在上连续且单调递增，证明：当时，有 xfb, 0ba 0 （10
9、1） .2200dxxfadxxfbdxxxfabba分析 将定积分不等式（101）视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明。将要证的不等式两端做差，并将换成，作辅助函数，即bu uF需证 . 0bF证 作 ， dxxfadxxfudxxxfuFuaua0022bua则 dxxfuufuufuFu02121 （因为递增，） 0210udxxfuf xf 0 xfuf于是，由拉格朗日中值公式，有 . 0abFabFaFbF.ba即式（101）成立.例 11 设在上连续，且，证明 xf ba, 0af .max,22xfMabMdxxfbxaba分析 利用条件，生成改变量，借助于拉格朗
10、日中值公式估计 .xf证 因为在上连续，故有界，即存在，使， xf ba,0M Mxfbax, ,axMfaxafxfxf故 dxxfdxxfbaba .22abMdxaxMba例 12 设在上二阶可导，且，证明 xfa, 0 0 xf .20aafdxxfa分析 已知二阶可导，可考虑利用的一阶泰勒公式估计；又所证 xf xf xf的不等式中出现了点，故考虑使用处的泰勒公式.2a20ax 证 在处的一阶泰勒公式为 xf2a， 222222 axfaxafafxf！其中，在与之间.利用条件，可得x2a 0 xf ， 222axafafxf两边从到取积分，得0a .222200aafdxaxafa
11、afdxxfaa小结 关于含定积分的不等式的证明，常用的有两种方法：（1） 利用定积分的保序性；（2） 利用积分上限函数的单调性.三、定积分的应用例 13 求由曲线与直线及所围成的图形分别绕0aaxyaxax2,0y轴、轴及旋转一周所成的旋转体的体积.xy1yxy=a图 118yxOFGBAC(2a,0.5)D(a,1)解 （1）绕轴旋转，积分变量为xaaxx2 , .2122adxxaVaa（2）绕轴旋转 （3）绕1 旋转yy 解法 1 取为积分变量，直线及和双曲线的交点y 1 , 0yax ax2axy 及的纵坐标分别为和.设平面图形，及（见图DC1y21yCDFGBCGOADFO118）
12、绕轴旋转而成的立体的体积分别为和，则所求旋转体的体积为y21,VV3V 321VVVV .2222221212aaadyya解法 2 取为积分变量，将分成两部分区间：和.y 1 , 0y 1 , 021, 01 ,21在上，体积元素为21, 0 .322221dyadyaadV在上，体积元素为1 ,21 .1122222dyyadyaadV故所求体积为 dyyadyaV113212122102 .22123222aaa解法 3 选为积分变量，.将旋转体分割成以轴为中心的圆柱形薄壳，xaax2 ,y以薄壳的体积作为体积元素，这一方法称为柱壳法.对应于区间的窄曲xxx,边梯形可近似地看做高为，宽为
13、的举矩形，它绕轴旋转而成的圆柱形xay dxy薄壳的体积，即体积元素为 .2dxxaxdV因此有 .222222aadxdxxaxVaaaa （3）绕旋转1y选为积分变量，.xaax2 ,体积元素为 dxxadV2211所求体积为 aaaadxxaxadxxV2222222911 .212ln21ln222axaxaaa小结 （1）在直角坐标系中求旋转体体积时，被积函数总是正的，定限时要注意积分下限一定小于上限. （2）选取哪个变量作为积分变量，才能使运算更为简便，要根据具体问题，灵活选取.一般地若平面中的平面图形是由曲线 xOyD xyxy21,与直线所围成，则分别绕轴、轴旋转所得旋转体体
14、xx12bxax ,xy积为 baybaxxdxxxVdxxxV.2122122第二部分 二重（三重）积分一、重积分的计算及技巧总结计算二重积分的基本方法是化为二次积分，其关键是确定积分次序和确定积分限.所遵循的原则是：1直角坐标系下确定积分次序的原则（1）函数原则内层积分能够求出的原则.例如一定应先对积分，后对积分. 2,yexgyxfxy例如一定应先对积分，后对积分. ygxyyxfcos,yx（2）区域原则 若积分区域为型（即用平行于轴的直线穿过区域，它与的边界曲线YxDD相交最多为两个点） ，应先对积分，后对积分.xy若积分区域为型（即用平行于轴的直线穿过区域，它与的边界曲线XyDD相
15、交最多为两个点） ，应先对积分，后对积分.yx若积分区域既为型区域，又为型区域，这时在函数原则满足的前提下，XY先对积分或先对积分均可以；在这种情况下，先对哪个变量积分简单，就先xy采用该积分顺序.（3）少分块原则 在满足函数原则的前提下，要使分块最少，从而计算简单.2直角坐标系下化二重积分为二次积分时，确定积分限的原则（1）每层积分的下限都应小于上限.（2）一般而言，内层积分限可以是外层积分变量的函数，也可以是常数.（3）外层积分限必须为常数.3当二重积分的积分域为圆域、扇形域或圆环域，被积函数具有的函D22yx 数形式，即时，可考虑用极坐标计算该二重积分.用极坐标计22,yxfyxg算二重
16、积分一般均采用先 后的积分次序.r4极坐标下积分限的确定当极点在积分域之外时D 21.sin,cos,rrDrdrrrfddyxf当极点在积分域的边界曲线上时D rDrdrrrfddyxf0.sin,cos,当极点在积分域内时D rDrdrrrfddyxf020.sin,cos, 21.sin,cos,20rrDrdrrrfddyxf小结 化二重积分为二次积分的关键在于确定二次积分的上、下限.确定积分限采用穿线法，若先对后对积分，则将积分区域投影在轴上，yxx可得的变化范围.再过固定的点作一平行于轴的直线从下向上穿过区域，xxyD则可得到的变化范围.从而可将积分域用不等式组表示出来，这种确定上
17、、下yD限的方法比较直观.二重积分化为二次积分，一般而言，内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或者常数，而外层积分的上、下限一定为常数.小结 极坐标系下化二重积分为二次积分一般选择的积分次序是先 后，定限r时仍采用“穿线法” 。为确定的变化范围，从极点出发作射线穿过区域，并使D射线沿逆时针方向转动，射线与积分域开始接触时的角即为的下限，离去D时的角即为上限；又由于极径，穿入时碰到的的边界曲线为下限，0rD 1r穿出时离开的的边界曲线为上限.D 2r小结 计算二重积分时，选择坐标系和积分次序是非常重要的，它不但影响到计算的繁简，甚至还会影响到计算能否进行下去.选择坐标系要从积分域的形状D和被积
18、函数的特点两个方面来考虑，为便于记忆，现列表 181 表示.表 181积分区域的形状被界函数的形状应选坐标系为矩形、三角D形、或其他形状yxf,直角坐标系为圆域、圆环D域、扇形域或环扇形域或22yxfxyf极坐标系小结 利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性，常常使二重积分的计算简化许多，避免容易出错的繁琐计算，而且使一些无法直接积分的问题得以解决.但必须注意：利用这种方法，计算时一定要同时兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性两个方面，否则就会导致错误.小结 计算绝对值函数的积分，一般应先将积分区域分块，将被积函数分段表示，以去掉绝对值符号，然后利用二重积分关于积分区域的可加性，进行分块计算
19、，最后把计算结果相加.5计算三重积分时，有一种称为“先二后”一的算法，什么样的情况适合选用这种算法？“先二后一”法是计算三重积分的一个很有效的方法，该方法通过计算一个二重积分和一个定积分来得到结果.在有些场合下，其中的二重积分是不需要计算的，因此大大简化了计算三重积分的计算量和难度. “先二后一”方法是这样的：如果域界于平面和之间，用任一平行于面的平面1cz 2cz 21cc xOy去截域得平面区域，则有zz )(21czc zD.当被积函数仅是的函数，而截得 zDccdzyxfdzdVzyxf,21zyxf,z的区域的面积很容易求得时，特别合用“先二后一”方法. zD小结 用不等式组表示空间
20、区域的“穿线法”是这样进行的：假设空间区域向面投影得到的投影区域是，过中任一点由下向上作平行于轴的xOyxyDxyDz直线穿过空间区域时可以碰到两个曲面：穿入时碰到的曲面和穿出yxfz,1时离开的曲面，于是变量的变化范围是，yxfz,2zyxfzyxf,21，然后再根据区域在面上的投影区域确定变量与的变化xyDyx,xOyxyDyx范围.当然，用“穿线法”时，也可以将空间区域向面或面投影，分析yOzzOx方法类似.由于计算三重积分时首先要将三重积分化为三次积分，而化三重积分为三次积分的第一步就是用不等式组表示空间区域，因此，学会用不等式组表示空间区域是非常重要的。小结 三重积分的计算，可化为先计算一个定积分再计算一个二重积分（或先计算一个二重积分再计算一个定积分） ，从而也化为计算三个定积分的问题，因此，其计算步骤与二重积分相似：（）作出积分区域的草图，根据其特点和被积函数的特点，选择适当的坐标系极适当的积分次序；（）确定积分区域在某一坐标面上的投影区域，找出投影区域的边界曲线方程；（）确定积分限，化为三次积分；（）计算积分可见，三重积分计算，其关键仍是正确确定积分分限，而画好积分区域的图形则有助于正确地确定积分限