《《高等数学》例题解析-第十九讲 一阶微分方程、可降阶微分方程.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学》例题解析-第十九讲 一阶微分方程、可降阶微分方程.pdf（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1第十九讲：一阶微分方程、可降阶微分方程 一 、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1微分方程2()y xy dxx dy是 （B）A一阶线性方程 B一阶齐次方程 C可分离变量方程 D二阶微分方程 解:变形 222dyxyyyydxxxx原方程是一阶齐次方程,选 B2下列微分方程中，是可分离变量的方程是 （C） Axyyx e BsinyyxC221yyx yx D2xyxyy e 解: 2211dyyxxdx211xy212yyx yx 是可分离变量方程,选 C 32cosdyydxx的通解是（B）A1sectanyycxB1tanycx C1ln cosycx D11coscyx解
2、：221cosdydxyx1tan yxc 选 B 422xyxye满足的特解是（A） (0)0yA2xyxe B2xyxeC2xye D2xye 解：222xdxxdxxyeeedxc222xxxeee dxc 22xxcexe由 00y得0c ,故2xyxe 选 A 52355xxy0满足01xy的特解 是 （ B ） A321152yxx B3211152yxx C3115yx D2112x 解：321552yxxc由 0y1,知1c 故特解为231152xyx 选 B 6可降阶微分方程xyy的通解是 （D） A2yxc B22xyc 22C1yc xc D212yc xc 解：(1)方
3、程不显含y:令 yp, dpydx,dpxpdx. 1dpdxpx33,lnln,pc x pc x 221212x2yccc xc 选 D 二、 填空题 722yyyxx的通解是 解：令yux.21dudxxuuu 1ln,lnxcxcxuy，lnxycx 8lnlnyxdxxydy满足11xy的特解 是 解：(1)lnlnyxdydxyx 22lnlnyxc (2)由 11,000ycc特解22lnlnyx 926yxyx满足(0)2y 的特解是 解：(1) 226xdxxdxyexedxcc12223xxeedx 23xce (2) 02yc 特解 23xye 10求0 xye dye
4、dx的通解为 解： yxdydxee yxedye dx yxeec ,通解11yxcee 113xyy的通解y 解： 13,yyxx 113dxdxxxyeexc 13xdxcxx 13cxcxx3(可用可分离变量做) 12xye的通解y 解：1xyec 12xyec xc 21232xxycc xce 三、计算题 13 求曲线sinyxc所满足的微分方程. 解： 通过求导,设法消去任意常数c, sinyxccos()yxc 22sincos1xcxc 221yy 这是所求的微分方程 14求21dy 32xyxydx 的通解. 解：(1)判别方程的类型: 211dyxyxdx 211xy 可
5、分离变量方程 (2) 221111dydyx dxx dxyy 21arctan2xyc.即: 21tan2xyc 15求210 xydxx dy满足 12y 的特解. 解：(1)211xdxdyyx 可分离变量方程 (2) 211xdxdyyx 2211121dxdyyx 122111ln11212yxc 21ln1yx(3) 21xyce,又 12y 2c.特解212xye 16求1tandyyydxxx的通解. 解：(1)tandyyydxxx.一阶齐次方程 (2)令 ,tyu f uuux an 1tandudxuuux ln sinlnucx sin,sinyucxcxx 或 arc
6、sinyxcx为通解. 17求2211x xdyxydxdx 满足12xy的特解. 解：(1)变形: 2111dyydxxxx.一阶线性方程 (2)11211dxdxxxyeexxdxc 2111dxcxx 1arctan xcx (3) 12y,arctan1,24c c 特解:1arctan4yxx c 418求的通解. 220 xydyydx 解：(1)变形:2dxxydyy .一阶线性方程. (2)22dydyyyxeyedyc 221yydyycc 2lnyy 故22lnxcyyy为所求的通解. 19求212xyxy的通解. 解(1)降阶法:方程不显含. y 令,dpyp ydx (
7、2)21dp2xxpdx.一阶可分离变量方程 dpp221xdxx 2lnln 1px211,1c pcx (3)211dycxdx 3123xycxc 20求满足 22yyyy001,2xxyy的特解. 解：(1)降阶法,方程不显含x. 令,dpyp ypdy 21dppyp pdy (2)当0p 时,初始条件 02p0p舍去 当0p 时,21dpdypy 21ln1lnpyc 22111,1pc ypc y 00,01.1pyc 21dyydx 22,arctan1dydxyxcy 2014yc 特解 tan()4yx 四、证明题 21设曲线上任一点,M x y处切线与OM直线垂直,且曲线
8、过点1, 3,证明曲线是以原点为圆心,半径为 2 的圆. 证：(1)列出微分方程,设曲线,画出示意图. yf x 直线 OM:ykx的斜率为ykx,曲线切线斜率为 yf xdydx.5依题意:1,3xdyxydxy (2)解微分方程:ydyxdx 22xyc,由13xy13c 故有曲线: 证毕 222xy2五、综合题 22有连接,0,1A1,0B两点的一条凸曲线,它位于 AB 弦的上方, yP x为该曲线上的任一点,已知该曲线弧与 AP 之间的面积(如图阴影部分)为3x,求该曲线方程. 解：(1)列出方程,设阴影部分面积为 S S=曲边梯形 OADPC 面积梯形 OAPC 面积 3012xf
9、xf t dtxx 116f xf xxxx 一阶线性方程 (2) 1116dxdxxxf xexedxcx21616xxccxx x通解(3) 10,0161fc 5c故所求的曲线方程为 2651f xxx 23设 x可导,且满足 0cos2sin1xxxttdtx 求 x. 解：(1)把积分方程化为微分方程. cossin2sinxxxxx x=1 tansecxxxx且 01(2)解微分方程 sinsincoscossecxxdxdxxxxexedxcln sinlncossecxxexedxc2cossecxxdxccostanxxc(3)由 01得1c 故有特解 cossinxxx24设 2,uf rrxy2,且 22220uuxy,求 f r的具体表达式解(1)把偏微分方程化为常微分方程 uxfrxr uyfryr 222xrxuxxrfrfrrrxr 22232xrxfrrr由轮换对称性知:222223uyryyrr2 2222222uuxyfrxyr 22223rxryfrr 1frfrr即有 10frfrr这是可降阶的二阶微分方程. (2)令 frp, dpfrdr10dppdrr,1dpdrpr11lnln,ccpprr 1,df rcdrr 12lnf rcrc 6