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1、(北师大版)数学必修 4 全套教案(北师大版)数学必修 4 全套教案1周期现象与周期函数（1 课时）一、 教学目标：1、 知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在； （2）感受周期现象对实际工作的意义； （3）理解周期函数的概念； （4）能熟练地判断简单的实际问题的周期； （5）能利用周期函数定义进行简单运用。2、 过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。3、 情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学
2、， 从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。二、教学重、难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。三、学法与教学用具学法：数学来源于生活，又指导于生活。在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。教学用具:实物、图片、投影仪四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们： 我们生活在海南岛非常幸福， 可以经常看到大海， 陶冶我们的情操。 众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现
3、象就是我们今天要学到的周期现象。再比如，取出一个钟表,实际操作我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。(板书课题)【探究新知】1我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片） ， 注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。 （单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2 那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本 P3P4的相关内容，并思考回答下列问题：如何理解“散点图”
4、 ？图 1-1 中横坐标和纵坐标分别表示什么？如何理解图 1-1 中的“H/m”和“t/h” ？对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答， 教师加以点拨并总结： 周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为 0 的常数 T；x 必须是定义域内的任意值；f(xT)f(x)。（板书：二、周期函数的概念）3展示投影练习:(1) 已知函数 f(x)满足对定义域内的任意 x，均存在非零常数 T，使得 f(xT)f(x)。求 f(x2T) ，f(x3T)略解：f(x2T)f(xT)Tf(xT)f(x)f(x3T)f(x2T)Tf(x2T)f(x)本题小结，由学生完成，总结出“周期函数的周
5、期有无数个” ，教师指出一般情况下，为避免引起混淆，特指最小正周期。(2)已知函数 f(x)是 R 上的周期为 5 的周期函数，且 f(1)2005,求 f(11)略解：f(11)f(65)f(6)f(15)f(1)2005(3)已知奇函数 f(x)是 R 上的函数，且 f(1)2，f(x3)f(x)，求 f(8)略解：f(8)f(223)f(2)f(13)f(1)f(1)2【巩固深化，发展思维】1请同学们先自主学习课本 P4 倒数第五行P5 倒数第四行，然后各个学习小组之间展开合作交流。2例题讲评例 1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离 y 是时间 t 的函数吗？如果是，这个函数yf(t)
6、是不是周期函数？例 2.图 1-4（见课本）是钟摆的示意图，摆心 A 到铅垂线 MN 的距离 y 是时间 t 的函数，yg(t)。根据钟摆的知识，容易说明 g(tT)g(t),其中 T 为钟摆摆动一周（往返一次）所需的时间，函数 yg(t)是周期函数。若以钟摆偏离铅垂线 MN 的角的度数为变量，根据物理知识，摆心 A 到铅垂线 MN 的距离 y 也是的周期函数。例 3.图 1-5（见课本）是水车的示意图，水车上 A 点到水面的距离 y 是时间 t 的函数。假设水车 5min 转一圈，那么 y 的值每经过 5min 就会重复出现，因此，该函数是周期函数。3小组课堂作业(1) 课本 P6 的思考与
7、交流(2) (回答)今天是星期三那么 7k(kZ)天后的那一天是星期几?7k(kZ)天前的那一天是星期几?100 天后的那一天是星期几?五、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、布置作业1作业：习题 1.1 第 1,2,3 题2多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点七、课后反思2角的概念的推广（1 课时）一、 教学目标：1、 知识与技能（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解象
8、限角、坐标轴上的角的概念； （3）理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合； （5）能进行简单的角的集合之间运算。2、 过程与方法类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广， 引入正角、 负角和零角的概念； 由于角本身是一个平面图形， 因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。3、 情感态
9、度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、 探求的学习态度； 让学生感受图形的对称美、 运动美， 培养学生对美的追求。二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。三、学法与教学用具在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广； 角是一个平面图形， 把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌
10、握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。教学用具:多媒体、三角板、圆规四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3 分钟为宜。这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角” ，这是从静止的观点阐述的。【
11、探究新知】如果我们从运动的观点来看， 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)1 正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件） 。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形
12、成了一个角，并把这个角叫做零角，如果是零角，那么0。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角为了简便起见，在不引起混淆的前提下， “角”或“”可以记成“” 。过去我们研究了 0360范围的角如图（见课件）中的角就是一个 0360范围内的角(30)如果我们将角的终边 OB 继续按逆时针方向旋转一周、两周而形成的角是多少度?是不是仍为 30的角?(用多媒体演示这一旋转过程，让学生思考； 为终边相同角概念做准备)将终边 OB 旋转一周、两周，分别得到 390，750的角如果将 OB 继续旋转下去，便可得到任意大小的正角。同样地，如果将 OB 按顺时针方向旋转，也可得到任意大小的负角(通过课件，动态
13、演示这一无限旋转过程)这就是说，角度并不局限于 0360的范围，它可以为任意大小的角(与数轴进行比较)(打开课件第三版)如图(1)中的角为正角，它等于 750；(2)中，正角210，负角150，660 在生活中， 我们也经常会遇到不在 0360范围的角， 如在体操中， 有 “转体 720”(即“转体 2 周”)， “转体 1080”(即“转体 3 周”)这样的动作名称；紧固螺丝时，扳手旋转而形成的角角的概念经过这样的推广以后，就包括正角、负角和零角2象限角、坐标轴上的角的概念由于角是一个平面图形， 所以今后我们常在直角坐标系内讨论角， (板书)我们使角的顶点与原点重合， 角的始边与 x 轴的非
14、负半轴(包括原点)重合， 那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(打开课件第四版)例如图(1)中的 30、390、330角都是第一象限角，图(2)中的 300、60角都是第四象限角；585角是第三象限角(板书)如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限3终边相同的表示方法(返回课件第二版，在图(1)1(2)中分别以 O 为原点，直线 0A 为 x 轴建立直角坐标系，重新演示前面的旋转过程)在图(1)中，如果将终边 OB 按逆时针方向旋转一圈、两圈，分别得到 390，750的角，这些角的终边与 30角的终边相同，只是转过的圈数不同，它们可以用 30角来表示，如 3
15、9030十 360，75030十 2360， 在图(2)中，如果将终边 OB 按顺时针方向旋转一圈、两圈分别得到330，690的角，这些角的终边与 30角终边也相同，也只是转过的圈数不同，它们也都可以用 30的角来表示，如33030360，690302360， 由此可以发现，上面旋转所得到的所有的角(记为)，都可以表示成一个 0到 360的角与 k(kZ)个周角的和， 即：30十 k360(kZ) 如果我们把的集合记为 S，那么 S|30十 k360， kZ容易看出：所有与 30角终边相同的角，连同 30角(k0)在内，都是集合 S 的元素；反过来，集合 S 的任一元素显然与 30角终边相同。
16、【巩固深化，发展思维】1 例题讲评例 1.判断下列各角是第几象限角.(1)60；(2)585；(3)95012 解： (1)60角终边在第四象限， 它是第四象限角； (2)585360十 225，585与 225终边相同，又225终边在第三象限，585是第三象限角；(3) 95012230122360，又23012终边在第二象限，95012 是第二象限角.例 2在直角坐标系中，写出终边在 y 轴上的角的集合（用 0360的角表示）.解：在 0360范围内，终边在 y 轴上的角有两个，即 90与 270角，因此，所有与 90角终边相同的角构成集合 S1|90k360，kZ；所有与 270角终边相
17、同的角构成集合 S2|270k360，kZ；所以，终边在 y 轴上的角的集合 SS1S2|90k360，kZ|270k360，kZ.例 3写出与 60角终边相同的角的集合 S，并把 S 中适合不等式360270的元素写出来.解：S|60k360，kZ，S 中适合360270的元素是：601360300，60036060，601360420.2学生课堂练习参考练习(通过多媒体给题)。(1) (口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、 钝角来回答这两个问题.(2)与496终边相同的角是，它是第象限的角，它们中最小正角是，最大负角是。(3)时针经过 3 小时 20 分，则时针转
18、过的角度为，分针转过的角度为。(4)若、的终边关于 x 轴对称，则与的关系是；若与的终边关于 y轴对称，则与的关系是；若、的终边关于原点对称，则与的关系是；若角是第二象限角，则 180是第象限角。答案(1)是，不一定.(2)496十 k360(kZ)，三，240，136.(3)100，1200(4)十k360(kZ)；十180十 k360。(kZ)；一180十 k360(kZ)；一.五、归纳整理，整体认识(1) 请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？你知道角是如何推广的吗?(2) 象限角是如何定义的呢? 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?（3）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，
19、请向老师提出。（4）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、布置作业: 习题 1.2 第 2,3 题七、课后反思3弧度制（1 课时）洋浦实验中学吴永和一、 教学目标：1、 知识与技能（1）理解 1 弧度的角及弧度的定义； （2）掌握角度与弧度的换算公式； （3）熟练进行角度与弧度的换算； （4）理解角的集合与实数集 R 之间的一一对应关系； （5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。2、 过程与方法通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念； 比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化， 帮助学生理解掌握； 以针对性的例
20、题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式； 通过自主学习和合作学习， 树立学生正确的学习态度。3、 情感态度与价值观通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化， 化简了六十进制给角的加、 减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。二、教学重、难点重点: 理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。难点: 弧度的概念及与
21、角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。三、学法与教学用具在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题， 与我们常用的十进制不一样， 正因为这样， 所以有必要引入弧度制； 在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。教学用具:多媒体、三角板四、教学思路【创设情境，揭示课题】在初中几何里我们学过角的度量， 当时是用度做单位来度量角的 我们把周角的3601规定为 1 度的角， 而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制 但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概念
22、(板书课题)弧度制的单位是 rad，读作弧度【探究新知】11 弧度的角的定义(板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做 1 弧度的角(打开课件)如图 114(见教材)，弧 AB 的长等于半径 r，则弧 AB 所对的圆心角就是 1 弧度的角，弧度的单位记作 rad。在图 1（课件）中，圆心角AOC 所对的弧长 l2r，那么AOC 的弧度数就是 2rad；圆心角AOD 所对的弧长 l21r，那么AOC 的弧度数就是21rad；圆心角AOE 所对的弧长为 l，那么AOE 的弧度数是多少呢？学生思考并交流，此我们可以得到弧度制的定义2弧度制的定义：一般地，(板书)正角的弧度数是一个正数，负角的
23、弧度数是一个负数，零角的弧度数是 o；角的弧度数的绝对值|rl，其中 l 是以角作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制在弧度制的定义中，我们是用弧长与其半径的比值来反映弧所对的圆心角的大小的 为什么可以用这个比值来度量角的大小呢?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系?请同学们自主学习课本 P12P13，从课本中我们可以看出，这个比值与所取的半径大小无关，只与角的大小有关。有兴趣的同学们可以对它进行理论上的证明：(论证)如图 113（见教材） ，设为 n(n0)的角，圆弧 AB 和 AlBl的长分别为l 和 l1， 点 A 和 Al到点 O 的距
24、离(即圆的半径)分别为 r(r0)和 rl(rl0)，由初中所学的弧长公式有 l180nr，l1180nr1，所以rl11rl180n，这表明以角为圆心角所对的弧长与其半径的比值，与所取的半径大小无关，只与角的大小有关用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是 0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同但它们既然是表示同一个角，那这二者之间就应该可以进行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算3角度制与弧度制的换算现在我们知道：1 个周角360r2r，所以，(板书)3602rad，由此可以得到 180rad，1180001745rad，1rad（180）57.30571
25、8 。说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住 180rad 这一关系式今后我们用弧度制表示角时， “弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数例如，角2 就表示是 2rad 的角，sin3就表示3rad 的角的正弦，但用角度制表示角时， “度”或“”不能省去而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数，如 454rad ，不必写成 450785 弧度前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法，而角度制与弧度制可以相互转化，所以与角终边相同的角(连同角在内)， 也可以用弧度制来表示 但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致角的
26、概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集 R 之间建立一种一一对应的关系： 每一个角都有唯一的一个实数与它对应， 例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角。【巩固深化，发展思维】1例题讲评例 1把 45化成弧度。解：4518045rad4rad.例 2把53rad 化成度。解：53rad53180108.例 3利用弧度制证明扇形面积公式 S21lr，其中 l 是扇形的弧长，r 是圆的半径。证：圆心角为 1 的扇形的面积为21r2，又弧长为 l 的扇形的圆心角的大小为rl，扇形的面积 Srl21r221lr.2学
27、生课堂练习（1）填表度04560180360弧度6223说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算（2）用弧度制写出终边落在 y 轴上和 x 轴上的角集合。五、归纳整理，整体认识（1）主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊角的弧度数。（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、布置作业：习题 13 中的 1、2、6.七、课后反思4.1 锐角的正弦函数4.2 任意角的正弦函数4.3正弦函数 ysinx的图像（2 课时）洋浦实验中学吴永和一、 教学目标：1、 知识与技能（1）回忆锐角的正弦函数
28、定义； （2）熟练运用锐角正弦函数的性质； （3）理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义； （4）掌握任意角的正弦函数的定义； （5）理解有向线段的概念； （6）了解正弦函数图像的画法； （7）掌握五点作图法，并会用此方法画出0，2上的正弦曲线。2、 过程与方法初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中， 这样一来， 我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。
29、3、 情感态度与价值观通过本节的学习， 使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识； 在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中， 体会特殊与一般的关系， 形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习， 建立数形结合的思想， 激发学习的学习积极性； 培养学生分析问题、解决问题的能力。二、教学重、难点重点: 1.任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。2.正弦函数图像的画法。难点: 1.正弦函数值的几何表示。2.利用正弦线画出 ysinx，x0， 2的图像。三、学法与教学用具在初中， 我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦， 当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆
30、交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数 ysinx 图像时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再归结为五点作图法。教学用具:投影机、三角板第一课时4.1 锐角的正弦函数4.2 任意角的正弦函数一、教学思路【创设情境，揭示课题】我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数。请同学们回忆（1）角的概念的推广及弧度制、象限角等概念； （2）初中所学的正弦函数是如何定义的？并想一想它有哪些性质？学生思考回答以后，教师小结。 （板书课题）【探究新知】在初中，我们学习了锐角的正弦函数值：sin斜边对边，如图：sinAca
31、，由于 a 是直角边，c 是斜边，所 sinA(0，1)。 由于 我们通常都是将角放到平面直角坐标系中，我们来看看会发生什么？BCAabcyP(a，b)r在直角坐标系中， （如图所示） ，设角（0，2） ）的终边与半经为 r 的圆交于点 P（a，b） ，则角的正弦值是：sinrb.根据相似三角形的知识可知，对于确定的角，rb都不会随圆的半经的改变而改变。为简单起见，令 r1(即为单位圆)，那么 sinb，也就是说，若角的终边与单位圆相交于 P，则点 P 的纵坐标 b 就是角的正弦函数。直角三角形显然不能包含所有的角，那么，我们可以仿照锐角正弦函数的定义你认为该如何定义任意角的正弦函数?一般地，
32、在直角坐标系中（如上图） ，对任意角，它的终边与单位圆交于点 P（a，b），我们可以唯一确定点 P（a，b）的纵坐标 b，所以 P 点的纵坐标 b 是角的函数，称为正弦函数，记作 ysin(R)。通常我们用 x，y 分别表示自变量与因变量，将正弦函数表示为 ysinx.正弦函数值有时也叫正弦值.请同学们画图， 并利用正弦函数的定义比较说明：3角与37角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系？它们的正弦值有什么关系？3角和38角呢？3角和35角呢？32角和314角呢？通过上述问题的讨论，容易得到：终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2k)sin (kZ)，说明对于任意一个角，每增加 2的整数
33、倍，其正弦函数值不变。 所以， 正弦函数是随角的变化而周期性变化的， 正弦函数是周期函数， 2k （kZ，k0）为正弦函数的周期。2是正弦函数的正周期中最小的一个， 称为最小正周期。 一般地， 对于周期函数 f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小的正数就叫作 f(x)的最小正周期。【巩固深化，发展思维】1 课本 P17 的思考与交流。2 课本 P18 的练习。3若点 P(3，y)是终边上一点，且 sin32，求 y 值4若角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边在函数 y3x (x0)的图像上，则 sin。二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知
34、识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？三、课后反思第二课时4.3 正弦函数 ysinx 的图像一、教学思路OMx【创设情境，揭示课题】三角函数是一种重要的函数， 从第一节我们就知道在实际生活中， 有许多地方用到三角函数。今天我们来学正弦函数 ysinx 的图像的做法。在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，最小正周期是 2，所以，关键就在于画出0，2上的正弦函数的图像。请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？作函数图像的三步骤：列表，描点，连线。【探究新知】1 正弦函数
35、线 MP下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示如右图所示，角的终边与单位圆交于点 P（x，y） ，提出问题线段 MP 的长度可以用什么来表示?能用这个长度表示正弦函数的值吗?如果不能，你能否设计一种方法加以解决?引出有向线段的概念有向线段：当的终边不在坐标轴上时，可以把 MP 看作是带方向的线段，1y0 时，把 MP 看作与 y 轴同向(多媒体优势，利用计算机演示角终边在一、 二象限时 MP 从 M 到 P 点的运动过程 让学生看清后定位， 运动的方向表明与 y 轴同向)2y0 时，把 MP 看作与 y 轴反向(演示角终边在三、四象限时 MP 从 M 到 P 点的运动过程让学生看清后定位，运动的
36、方向表明与 y 轴反向)师生归纳：MP 是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段MP 是从 MP，而 PM 则是从 PM。不论哪种情况，都有 MPy依正弦定义，有 sinMPy，我们把 MP 叫做的正弦线(投影仪出示反馈练习) 当为特殊角，即终边在坐标轴上时，找出其正弦线。演示运动过程，让学生清楚认识到：当终边在 x 轴上时，正弦线变为一个点，即 sin0。2作图的步骤边作边讲（几何画法）y=sinxx0,2（1）作单位圆，把O 十二等分（当然分得越细，图像越精确）（2）十二等分后得对应于 0,6,3,2,2等角，并作出相应的正弦线，（3）将 x 轴上从 0 到 2一段分成 12 等份(26.2
37、8)，若变动比例，今后图像将相应“变形”（4）取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合（5）描图（连接）得 y=sinxx0,2（6）由于终边相同的三角函数性质知 y=sinxx2k，2(k+1) （kZ，k0）与函数 y=sinxx0,2图像相同，只是位置不同每次向左（右）平移 2单位长。可以得到 ysinx 在 R 上的图像3 五点作图法：由上图我们不难发现，在函数 y=sinx，x0,2的图像上，起着关键作用的有以下五的终边PMOxyx6yo-12345-2-3-41个关键点关键点： (0,0)(2,1)(,0)(23,-1)(2,0)。描出这五个点后，函数 y=sinx，x0,2的图像的
38、形状就基本上确定了。因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法” 。【巩固深化，发展思维】1例题讲评例 1用“五点法”画出下列函数在区间0，2上的简图。（1）ysinx（2）y1sinx解： （1）列表x02232ysinx01010描点得 ysinx 的图像： （略，见教材 P22）2学生练习教材 P22二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表
39、现怎样？你的体会是什么？三、布置作业作业：习题 14 第 1,2 题四、课后反思4.4 正弦函数的性质（2 课时）洋浦实验中学吴永和一、 教学目标：1、 知识与技能（1）进一步熟悉单位圆中的正弦线； （2）理解正弦诱导公式的推导过程； （3）掌握正弦诱导公式的运用； （4）能了解诱导公式之间的关系，能相互推导； （5）理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性； （6）能熟练运用正弦函数的性质解题。2、 过程与方法通过正弦线表示,2,从而体会各正弦线之间的关系；或从正弦函数的图像中找出,2， 让学生从中发现正弦函数的诱导公式；通过正弦函数在 R 上的图像，让学生探索
40、出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法， 巩固练习。3、 情感态度与价值观通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。二、教学重、难点重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。三、学法与教学用具在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式； 通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用； 在正弦函数的图像中，直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认
41、识；理解掌握正弦函数的性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。教学用具:投影机、三角板第一课时正弦函数诱导公式一、教学思路【创设情境，揭示课题】在上一节课中， 我们已经学习了任意角的正弦函数定义， 以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即 sin(2k)sin (kZ)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求 0360的角的正弦函数值。 如果还能把 0360间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。【探究新知】1 复习： （公式 1）sin(360k+) = sin2 对于任一 0到 360的角，有四种可能（其中为不大于 90的非负角
42、）+=为第四象限角），当为第三象限角），当为第二象限角），当为第一象限角，当36027036027018018018090180)900（以下设为任意角）3 公式 2：设的终边与单位圆交于点 P(x,y)，则 180+终边与单位圆交于点 P(-x,-y)，由正弦线可知：sin(180+) = sin4公式 3：如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得：sin() = sin,5 公式 4：由公式 2 和公式 3 可得：sin(180) = sin180+() = sin() = sin,同理可得：sin(180) =sin,6公式 5：sin(360) = sin【巩固深化，发展思维】1 例题
43、讲评例 1求下列函数值xyoP(x,-y)P(x,y)MxyoP(x,y)P，(-x,-y)（1）sin(1650)；（2）sin(15015)；(3)sin(47)解： （1）sin(1650)sin1650sin(4360210)sin210sin(18030)sin3021(2) sin(15015)sin15015sin(1802945)sin29450.4962(3) sin(47)sin(24)sin422例 2化简：()()()()()+sin3sinsin3sin2sin解： （略，见教材 P24）2 学生练习教材 P24 练习 1、2、3二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾
44、本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？三、课后反思第二课时正弦函数的性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中， 我们已经学习了正弦函数的 ysinx 在 R 上图像， 下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？【探究新知】让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：（1）正弦函数的定义域是什么？（2）正弦函数的值域是什么？（3）它的
45、最值情况如何？（4）它的正负值区间如何分？（5）(x)0 的解集是多少？师生一起归纳得出：1 定义域：y=sinx 的定义域为 R2值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|1（有界性）再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以 ysinx 的值域为-1，1x6yo-12345-2-3-413最值：1对于 ysinx当且仅当 x2k2,kZ 时 ymax1当且仅当时 x2k2, kZ 时 ymin12当 2kx(2k+1)(kZ)时 ysinx0当(2k-1)x2k(kZ)时 ysinx04周期性： （观察图象） 1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2规律是：每隔 2重复出现一次
46、（或者说每隔 2k,kZ 重复出现）3这个规律由诱导公式 sin(2kx)sinx 也可以说明结论：ysinx 的最小正周期为 25.奇偶性sin(x)sinx(xR)ysinx(xR)是奇函数6单调性增区间为22k，22k（kZ） ，其值从1 增至 1；减区间为22k，232k（kZ） ，其值从 1 减至1。【巩固深化，发展思维】1 例题讲评例 1利用五点法画出函数 ysinx1 的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。解： （略，见教材 P26）2课堂练习教材 P27 的练习 1、2、3二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？（
47、2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？三、布置作业：习题 14 第 3、4、5、6、7 题四、课后反思5余弦函数（2 课时）洋浦实验中学吴永和一、 教学目标：1、 知识与技能（1）了解任意角的余弦函数概念； （2）理解余弦函数的几何意义； （3）掌握余弦函数的诱导公式； （4）能利用五点作图法作出余弦函数在0，2上的图像； （5）熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质； （6）能区别正、余弦函数之间的关系； （7） 掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。2、 过程与方法类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在
48、正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定义推广到更加一般的情况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函x20223sinx10101数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。3、 情感态度与价值观使同学们对余弦函数的概念有更深的体会； 会用联系的观点看问题， 建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。二、教学重、难点重点:余弦函数的概念和诱导公
49、式，以及余弦函数的性质。难点: 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。三、学法与教学用具我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况； 现在我们就应该与正弦函数的概念作比较， 得出余弦函数的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图的方法作出 ycosx 在0，2上的图像，并由图像直观得到其性质。教学用具:投影机、三角板第一课时余弦函数的概念和诱导公式一、教学思路【创设情境，揭示课题】在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sin斜边邻边。同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可以得到
50、余弦函数的定义。下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本 P30P31.【探究新知】1余弦函数的定义在直角坐标系中，设任意角与单位圆交于点 P（a，b）,那么点 P 的横坐标 a 叫做角余弦函数，记作：acos(R).通常我们用 x，y 分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示为 ycosx(xR).如图，有向线段 OM 称为角的余弦线。其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角的终边上任意一点 P 的坐标（a，b） ，求出|OP|，记为 r，则角的正弦和余弦分别为：sinrb，cosra.在今后的解题中，我们可以直接运用这种方法，简化运算过程。2余弦函数的诱导公式从右图不难看出，角和角