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1、常见函数的导数常见函数的导数1. 常数函数的导数常数函数的导数 设设y=f(x)C，C为常数，则为常数，则C =0.证明：证明：f(x)=C， y=f(x+x)f(x)=CC=0. 0yxC = 0lim0 xyx 2. 函数函数y=x的导数的导数设函数设函数y=f(x)=x，x= 00()( )()limlim1xxf xxf xxxxxx 即即x=1.3. 函数函数y=x2的导数的导数设函数设函数y=f(x)=x2， (x2)= 2200()( )()limlimxxf xxf xxxxxx 0lim(2)2xxxx 即即(x2)=2x.4. 函数函数y=x3的导数的导数设函数设函数y=f
2、(x)=x3，(x3)= 3300()( )()limlimxxf xxf xxxxxx 2220lim(33)3xxx xxx 即即(x3)=3x2.5. 函数函数y= 的导数的导数1x设函数设函数y=f(x)= ，(x0)1x001()( )111( )limlim()xxf xxf xxxx xxx 2011lim()xx xxx 211 ( )(0)xxx 6. 函数函数y= 的导数的导数x设函数设函数y=f(x)= (x0)，x00()( )()limlimxxf xxf xxxxxxx 01lim()2xxxxxxx 1 ()(0)2xxx 由此我们推测，由此我们推测， 对任意的幂
3、函数对任意的幂函数y=x，当，当Q时，都时，都有有1()(Q)xx例例1求下列函数的导数：求下列函数的导数：（1）y=x12；（；（2） ；（；（3） .41yx53yx解：（解：（1）y =(x12)=12x11；（2） 3253555233()()55yxxxx4554()4yxxx （3） 例例2设曲线设曲线 和曲线和曲线 在它们的交在它们的交点处的两条切线的夹角为点处的两条切线的夹角为，求，求tan的值的值.21yx1yx解：联立曲线方程解：联立曲线方程 211yxyx解得两曲线的交点为解得两曲线的交点为(1，1)。 设两曲线在交点处的切线斜率分别为设两曲线在交点处的切线斜率分别为k1
4、，k2，则，则 311121()|2|2xxkxx 22111( )|1xxkxx 由两直线的夹角公式得由两直线的夹角公式得tan= 21121 ( 2)1| |11( 1) ( 2)3kkk k 练习题练习题1f(x)1的导数是（的导数是（ ） A0 B1 C不存在不存在 D不确定不确定A2yf (x) ，则函数，则函数yf(x)可以是可以是下列各式中的哪一个（下列各式中的哪一个（ ） A B C2x3 D21x1x1x312xB3曲线曲线yx3在点在点P处切线斜率为处切线斜率为k，当，当k3时的时的P点坐标为（点坐标为（ ） A(2，8) B(1，1)，(1，1) C(2，8) D( ，
5、)2118B4曲线曲线 上一点上一点P(4, )处处的切线方程是（的切线方程是（ ）（A）5x+16y+8=0 （B）5x16y+8=0（C）5x+16y8=0 （D）5x16y8=010yxx47A5点点P在曲线在曲线y=x3x+ 上移动时，过上移动时，过P点的切线的倾斜角的取值范围是（点的切线的倾斜角的取值范围是（ ） （A）0, ) （B）(0, ) , ) （C）0, )( , （D）0, ) , )322222434343D6某质点的运动方程是某质点的运动方程是s=t3(2t1)2，则在则在t=1时的瞬时速度为时的瞬时速度为 。7已知已知f(x)=则则f(0)= .1011nnnna
6、 xa xaxa108曲线曲线y 在点在点(1，1)处的切线方程处的切线方程是是 。52x2x5y+3=09函数函数y=f(x)满足满足f(x1)12xx2，则，则yf (x)= .2x10质点运动方程是质点运动方程是St4，则质点运动，则质点运动加速度为加速度为 a=12t2基本初等函数导数公式表基本初等函数导数公式表1. 常数函数的导数常数函数的导数y=f(x)C，C为常数，则为常数，则C =0.2.幂函数幂函数y=x，当，当Q时，时，1()(Q)xx3. 指数函数的导数指数函数的导数y=ax (a0，a1) y=ax lna 4. 对数函数的导数对数函数的导数y=logax(a0，a1，
7、x0) y= 1lnxa5. 正弦函数的导数正弦函数的导数y=sinx y=cosx 6. 余弦函数的导数余弦函数的导数y=cosx y=sinx 例例3求下列函数的导数：求下列函数的导数：（1）f(x)=x5+2x4+x3； （2） g(x)=3x+lnx ; （3）h(x)=cosx+sinx.解解: (1) f (x)=5x4+8x3+3x2； (2) g(x)=3xln3+ ； 1x(3) h(x)=sinx+cosx.例例4求下列切线的方程：求下列切线的方程： （1）y=sinx在点在点A( ， )处的切线；处的切线； （2）y=cosx在点在点B( ， )处的切线处的切线.621213解：（解：（1）因为）因为y=sinx，所以，所以y=cosx， 所以所以 63|2xy即即k= 23故所求切线的方程为故所求切线的方程为6 x12y+6 =033（2）因为）因为y=cosx，所以，所以y=sinx， 所以所以 33|2xy 即即k= 32故所求切线的方程为故所求切线的方程为 3 x+6y3 =0.33练习下列命题中正确的是（练习下列命题中正确的是（ ） （A） （B） （C）(3x)=3x （D）(3x)=3xln31(log)axxln10(log)axxD说明：本小题考察公式记忆说明：本小题考察公式记忆