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1、你身边的高考专家4.4.3 参数方程的应用参数方程的应用(2) -圆的参数方程圆的参数方程即的函数都是纵坐标、的横坐标点根据三角函数定义圆半径为的坐标为如果点,),(0yxPOPPryxPsincosryrx并且对于并且对于 的每一个允许值的每一个允许值,由方程组由方程组所所确定的点确定的点P(x,y),都在圆都在圆O上上. o思考思考1：圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程是什么呢的圆的参数方程是什么呢？-555-5rp0P(x,y) 我们把方程组我们把方程组叫做圆心在原点、半径为叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，的圆的参数方程，是参数是参数.sincos11ryrx
2、5-5-55v(a,b)oP(x,y)O1),(111yxP(a,b)r11111( , ),( , )( ,),O a brOrOP x yOP x y圆心为、半径为 的圆可以看作由圆心为原点 、半径为 的圆平移得到 设圆上任意一点是圆 上的点平移得到的由平移公式 有又又所以所以sincosrbyraxbyyaxx11思考思考2：圆心为圆心为O1(a,b),半径为半径为r 的圆的参数方程是什么呢的圆的参数方程是什么呢？例例1 1、已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0+2x-6y+9=0，将它化为将它化为参数方程。参数方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+
3、2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1，参数方程为参数方程为sin3cos1yx(为参数为参数)练习：练习： 1.填空：已知圆填空：已知圆O的参数方程是的参数方程是sin5cos5yx(0 2 )如果圆上点P所对应的参数 ，则点P的坐标是 35 5 5 32,22QQ如果圆上点 所对应的坐标是则点 对应的参数 等于235,25322cos2.()2sin.,2.,2.xyABCD 选择题：参数方程为参数 表示的曲线是圆心在原点 半径为 的圆圆心不在原点 但半径为 的圆不是圆以上都有可能A半径为表示圆心为参数
4、方程、填空题sin2cos2) 1 (:3yx的圆，化为标准方程为化为参数方程为把圆方程0142)2(22yxyx（2，-2）112222yxsin22cos21yx解法解法1:设设M的坐标为的坐标为(x,y),点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点坐标公式得由中点坐标公式得: 点点P的坐标为的坐标为(2x- -12,2y)(2x- -12)2+(2y)2=16即即 M的轨迹方程为的轨迹方程为(x- -6)2+y2=4点点P在圆在圆x2+y2=16上上xMPAyO例例2. 如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点,
5、点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?xMPAyO解法解法2:设设M的坐标为的坐标为(x,y),可设点可设点P坐标为坐标为(4cos,4sin)点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点公式得由中点公式得:点点M的轨迹方程为的轨迹方程为x =6+2cosy =2sinx =4cosy =4sin圆圆x2+y2=16的参数方程为的参数方程为:例例2. 如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点, 点点A是是x轴上的定点
6、轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?例例3. 已知点已知点P(x,y)是圆是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上上动点动点,求（求（1） x2+y2 的的最值最值, （2）x+y的最值的最值, （3）P到直线到直线x+y- 1=0的距离的距离d的最值的最值. 解：圆解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即即(x- 3)2+(y- 2)2=1，用参数用参数方程表示为方程表示为sin2cos3yx由于点由于点P在圆上，所以可设在圆上，所以可设P（3+cos，2+sin），），（1） x2+y2 = (3
7、+cos)2+(2+sin)2 =14+4 sin +6cos=14+2 sin( +).13(其中其中tan =3/2) x2+y2 的的最大值为最大值为14+2 ，最小值为，最小值为14- 2 。1313(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin（ + ）24 x+y的最大值为的最大值为5+ ，最小值为，最小值为5 - 。 22(3)2)4sin(2421sin2cos3d显然当显然当sin（ + ）= 1时，时，d取取最大值，最最大值，最小值，分别为小值，分别为 ， 。4122221例例3. 已知点已知点P(x,y)是圆是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上上动点动点,求（求（1） x2+y2 的的最值最值, （2）x+y的最值的最值, （3）P到直线到直线x+y- 1=0的距离的距离d的最值的最值. 小小 结结: :1、圆的参数方程、圆的参数方程2、圆的参数方程与普通方程的互化、圆的参数方程与普通方程的互化3、求轨迹方程的三种方法：、求轨迹方程的三种方法：相关点点问题（代入法）；相关点点问题（代入法）； 参数法；定义法参数法；定义法4、求最值、求最值