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1、6.3等比数列及其前n项和 考纲要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系,1等比数列的有关概念 (1)等比数列的有关概念 一般地，如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的比等于_，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的_，通常用字母_表示,第2项,同一常数,公比,q,2等比数列的有关公式 (1)等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1，公比为q，q0，则它的通项公式an_,a1qn1,(4)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2n
2、Sn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_,qn,【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列() (2)G为a，b的等比中项G2ab.() (3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列(),【答案】 (1)(2)(3)(4)(5)(6),1(2015课标全国)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7等于() A21B42 C63 D84 【解析】 设等比数列an的公比为q，则由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a
3、7q2(a1a3a5)22142，故选B. 【答案】 B,【答案】 A,3等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于() A6 B5 C4 D3 【解析】 数列lg an的前8项和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4 lg(a4a5)4lg(25)44. 【答案】 C,4(2015安徽)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_ 【答案】 2n1,5(2016开封模拟)正项等比数列an中，a24，a416，则数列an的前9项和等于_ 【答案】 1 022,题型一等比数列基本量的运算 【例1】 (1)(
4、2016天津河西模拟)在等比数列an中，若公比q4，S321，则该数列的通项公式an() A4n1B4n C3n D3n1 (2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_,【答案】 (1)A(2)4或4 【方法规律】 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解,【答案】 (1)D(2)3n1,题型二等比数列的判定与证明 【例2】 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2. (1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列； (2)求数列an的通项公式,【引申探究】 例2中
5、“Sn14an2”改为“Sn12Sn(n1)”，其他不变探求数列an的通项公式 【解析】 由已知得n2时，Sn2Sn1n. Sn1Sn2Sn2Sn11， an12an1， an112(an1)，又a11， 当n1时上式也成立，故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列， an122n12n，an2n1.,【方法规律】 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证,【方法规律】 (1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公
6、式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若mnpq，则有amanapaq”，可以减少运算量(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，公比为qk(q1),跟踪训练3 (1)(2016衡水模拟)已知正数组成的等比数列an，若a1a20100，那么a7a14的最小值为() A20 B25 C50 D不存在,(2)(2016珠海质量监测)等比数列an共有奇数项，所有奇数项和S奇255，所有偶数项和S偶126，末项是192，则首项a1等于() A1 B2 C3 D4,【答案】 (1)A(2)C,【思路点拨】 (1)利
7、用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n项和，根据函数的单调性证明 【规范解答】 (1)设等比数列an的公比为q， 因为2S2，S3，4S4成等差数列， 所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，,【温馨提醒】 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有 已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况 等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论 项数的奇、偶数讨论 等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论 (2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.,失误与防范 1特别注意q1时，Snna1这一特殊情况 2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10. 3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误 4等比数列性质中：Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，不能忽略条件q1.,