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1、第三节 变换的不变量与矩阵的特征向量,1.矩阵的特征值、特征向量的相关概念 非零向量 被变换A变到自己的倍向量_,称0为A的 特征值，称 为A的属于特征值0的特征向量，非零倍向量 _也是属于同一个特征值0的特征向量.,【即时应用】 (1)思考：属于特征值0的特征向量是否唯一？ 提示：不唯一，若 是矩阵A的属于特征值0的一个特征 向量，则对任意的非零常数k，k 也是矩阵A的属于特征值 0的特征向量,所以不唯一.,(2)思考：属于特征值0的特征向量间是什么关系？ 提示：属于特征值0的特征向量有无数个，它们是共线向量.,2.矩阵的特征矩阵及特征多项式,2-(a+d)+(ad-bc),【即时应用】 已
2、知矩阵M ，则矩阵M的特征值为_. 【解析】矩阵M的特征多项式为f() 232，令f()0，解得11，22. 答案：1,2,3.矩阵An的计算 (1)矩阵A的特征值为1,2,其对应的特征向量分别是X1,X2,则 ，设出矩阵An后列方程组求An. (2)若任意向量X=t1X1+t2X2,则An(t1X1+t2X2)=,【即时应用】 矩阵M= 有特征向量 对向量= 计算M4为_. 【解析】由特征多项式f()=2-3+2,令f()=0,得1=2,2=1，特征矩阵为 以它为系数矩阵的,方程组是 ，可知与特征值2,1对应的一个特 征向量分别为1,2，从而设=m1+n2得 ， 解得 ，即=1+22, 从而
3、 答案：,热点考向 1 22矩阵的特征值与特征向量的求法 【方法点睛】 求二阶矩阵的特征值与特征向量的步骤 第一步：求特征矩阵，由矩阵A= 得到特征矩阵,第二步：求特征多项式2-(a+d)+(ad-bc). 第三步：求特征多项式的根，即解2-(a+d)+(ad-bc)=0. 第四步：求特征向量.将特征值代入特征矩阵，解以它为系数矩阵的二元一次方程组，得非零解对应的向量即为特征向量.,【例1】已知矩阵A= ，其中aR，若点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P(0，-3). (1)求实数a的值； (2)求矩阵A的特征值及特征向量. 【解题指南】本题条件中矩阵A尚未确定，首先根据条件，利用 待定系
4、数法得实数a的值,再根据特征多项式求矩阵A的特征值及 特征向量.,【规范解答】(1)由 得a+1=-3， a=-4. (2)由(1)知A= , 矩阵A的特征矩阵为 ，特征多项式为(-1)2-4， 即2-2-3. 解2-2-3=0， 得矩阵A的特征值为-1或3. 将=-1代入特征矩阵得 ，解方程组,得y=2x，(x,y)=(t,2t)，t为任意实数，t0时 为特征向量. 同理可得当=3时，特征向量为,【反思感悟】1.当特征多项式2-(a+d)+(ad-bc)=0 无解时，矩阵无特征值. 2.特征向量不唯一，不为零，是共线向量.,【变式训练】求矩阵M= 的特征值和特征向量. 【解析】矩阵M的特征矩
5、阵为 ， 特征多项式为(+1)(-3)-(-2)( )，即2-2-8， 解2-2-8=0得矩阵M的特征值为1=4，2=-2. 将1=4代入特征矩阵得 ，,以它为系数矩阵的方程组为 解得y= ,即(x,y)=(t, ). 当t0时得特征向量 同理可得当2=-2时的特征向量为,热点考向 2 已知特征值，特征向量求二阶矩阵 【方法点睛】 已知特征值，特征向量求二阶矩阵的方法 设出矩阵A，利用Ax0=0 x0，列出方程组，解方程组即可求出矩阵A.,【例2】(2012龙岩模拟)已知矩阵A= ,A的一个特征 值=2，属于的一个特征向量是 ，求矩阵A与其逆矩 阵. 【解题指南】充分利用特征值，特征向量的定义
6、及求解方法列 出相应的关系式后求解.,【规范解答】由 得 ,解得 =14-2(-1)=6，,【互动探究】试求出题中矩阵A的另一个特征值及其特征向量. 【解析】由例题知A= 其特征矩阵为 特征多项式为(-1)(-4)-(-2)1，即2-5+6， 解2-5+6=0得矩阵A的特征值为1=2，2=3， 矩阵A的另一个特征值为3. 将2=3代入特征矩阵得 ，以它为系数矩阵的方程组为,，解得y=x，即(x,y)=(t,t)， 当t0时，得特征向量,【反思感悟】求已知矩阵的特征值及其对应的特征向量，解题关键是熟练应用定义，解方程组.,热点考向 3 利用特征值，特征向量求An 【方法点睛】 1.利用特征值，特
7、征向量求An的步骤 第一步：求矩阵A的特征值1，2，其对应的特征向量分别是 x1,x2. 第二步：设出An，由定义知 第三步：列出方程组，解方程组得An.,2.求Anx的方法 (1)求出矩阵A的特征值1，2及其对应的特征向量x1,x2. (2)令x=t1x1+t2x2，列方程组求出t1,t2. (3),【例3】(2012厦门模拟)已知矩阵M= 向量= (1)求矩阵M的特征值1，2和特征向量1和2； (2)求M6的值. 【解题指南】矩阵M，向量已知，可先根据求特征值，特征向 量的步骤求1,2及1，2，再求M6.,【规范解答】(1)M= 的特征多项式为 (-7)(+3)-6(-4)，即2-4+3，
8、 解2-4+3=0，得矩阵的特征值为1=1，2=3， 当1=1时，得相应的特征向量1= (t0)； 当2=3时，得相应的特征向量2= (t0). (2)由(1)不妨令t=1，则1= ，2= ，令=m1+n2 解得 ， 解得m=3,n=1. 因此,【反思感悟】1.利用特征值，特征向量可以简化计算An，Anx的过程. 2.要注意分清公式中字母的具体意义，防止代入错误.,【变式训练】已知矩阵A= ,求A10. 【解析】矩阵A的特征矩阵为 ，特征多项式为 (-1)(-1)-(-1)(-1)， 即2-2,解方程2-2=0，得特征值1=0,2=2, 将1=0代入特征矩阵得 解方程组 得y=-x. 即(x,y)=(t,-t),t为任意实数,当t0时，得到属于特征值1=0的特征向量 同理属于特征值2=2的特征向量X2= (t0). 取t=1，得 设 ,代入得,即 ，解得a=b=c=d=512,