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1、第二节 直线的交点坐标与距离公式,1.两条直线的交点 直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方 程组 的解一一对应. 相交方程组有_，交点坐标就是方程组的解； 平行方程组_； 重合方程组有_.,唯一解,无解,无数组解,【即时应用】 (1)思考：如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？ 提示:当两直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两 直线平行；有无数个交点时，两直线重合.,(2)直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐标是_. 【解析】由直线l1与l2所组成的方程组 直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-1
2、6=0的交点P的坐标是 (2,-2). 答案:(2,-2),(3)直线l1：5x+2y-6=0与l2：5x+2y-16=0的位置关系是_. 【解析】由直线l1与l2所组成的方程组 无解，直线l1与l2平行. 答案:平行,2.距离,【即时应用】 (1)原点到直线x+2y-5=0的距离是_； (2)已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，则a=_； (3)两平行线y=2x与2x-y=-5间的距离为_.,【解析】(1)因为 (2)依题设及两点间的距离公式得： ,解得：a=8； (3)因为两平行线方程可化为：2x-y=0与2x-y+5=0.因此， 两平行线间的距离为： 答案:(1) (2)
3、8 (3),热点考向 1 两直线的交点问题 【方法点睛】 1.求两直线交点的方法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点 2.过直线交点的直线系方程 过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0.(不包括直线A2x+B2y+C2=0),【例1】(1)(2012福州模拟)求经过直线x+y+1=0与直线 x-y+3=0的交点，且也经过点A(8,-4)的直线方程为_； (2)已知两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0，若l1与l2相交， 求实数m、n满足的条
4、件. 【解题指南】(1)可求出两直线的交点坐标，用两点式解决；也可用过两直线交点的直线系解决；(2)两直线相交可考虑直线斜率之间的关系，从而得到m、n满足的条件.,【规范解答】(1)方法一：因为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交 点坐标为(-2,1)，直线又过A(8,-4)，所以所求直线方程为： ，即x+2y=0； 方法二：设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程为 x+y+1+(x-y+3)=0， 又因为直线过A(8,-4)，所以8-4+1+(8+4+3)=0，解得: 所以，所求直线方程为x+2y=0. 答案:x+2y=0,(2)因为两直线l1：mx+8y+n=0与
5、l2：2x+my-1=0相交，因此，当 m=0时，l1的方程为 ，l2的方程为 ，两直线相交，此 时，实数m、n满足的条件为m=0，nR；当m0时，两直线 相交， ，解得m4，此时，实数m、n满足的条件为 m4，nR.,【互动探究】本例(1)中的“且也经过点A(8,-4)”改为“与直 线2x-y=0垂直”,求该直线方程. 【解析】方法一：因为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点坐标 为(-2,1)，又直线与直线2x-y=0垂直，所以所求直线的斜率 ，因此所求直线方程为： ，即x+2y=0.,方法二：设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程为 x+y+1+(x-y+3)
6、=0，即(1+)x+(1-)y+1+3=0, 又因为直线与直线2x-y=0垂直，所以所求直线的斜率 即有 解得: ,所以，所求直线方程为x+2y=0.,【反思感悟】1.本例(1)中是求直线方程,其关键是寻找确定直线的两个条件,可以直接求交点,利用两点式得出方程,此法要注意两点的纵(或横)坐标相同时,两点式方程不适用,也可以利用直线系方程求解,其关键是利用已知点求的值； 2.考查两直线相交的条件,即斜率不等或有一条直线的斜率不存在.,【变式备选】当m为何值时，三条直线l1：4x+y-3=0与 l2：x+y=0,l3：2x-3my-4=0能围成一个三角形? 【解析】三条直线能围成三角形即三条直线两
7、两相交且 不共点，所以 解得： 又因为l1：4x+y-3=0与l2：x+y=0的交点为(1,-1)，所以 2+3m-40，解得,当m=0时，l3:2x-4=0,l1:4x+y-3=0,l2:x+y=0,l1与l3的交点 为(2,-5)， l1与l2的交点为(1,-1), l2与l3的交点为(2,-2)， 能构成三角形，符合题意. 综上可知：,热点考向 2 距离公式的应用 【方法点睛】 1.两点间的距离的求法 两点间的距离，可利用两点间的距离公式求解；当两点连线平行于x轴时，其距离等于这两点横坐标之差的绝对值；当两点连线平行于y轴时，其距离等于这两点纵坐标之差的绝对值.,2.点到直线的距离的求法
8、 点到直线的距离，可直接利用点到直线的距离公式，但要注意，此时直线方程必须为一般式. 3.两平行直线间的距离的求法 求两平行直线间的距离有两种思路： (1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离. (2)利用两平行线间的距离公式.,【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行直线方程中x，y的系数必须相等.,【例2】已知点A(2，-1)， (1)求过点A且与原点距离为2的直线l的方程； (2)求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点A且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在,请说明理由.,【解题指南】
9、(1)因为已知直线过点A，因此可选择点斜式方程，利用到原点的距离为2列方程，解方程即可，但要注意对斜率不存在的讨论；(2)易知最大距离时的直线与AO垂直，这样问题即可解决；(3)可由(2)知道距离的最大值，从而得出直线是否存在.,【规范解答】(1)过点A的直线l与原点距离为2，而点A的坐标 为(2,-1). 当斜率不存在时，直线l的方程为x=2，此时，原点到直线l的 距离为2，符合题意； 当斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x-2)，即 kx-y-2k-1=0，由已知得 解得 ，此时直线l的方程为3x-4y-10=0, 综上可知：直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.,(2)易知，
10、过点A与原点O距离最大的直线是过点A与AO垂直的直 线，由lAO，得klkOA=-1，所以kl= ，由直线的点斜式得 y+1=2(x-2)，即2x-y-5=0，即直线2x-y-5=0是过点A且与原点 距离最大的直线l的方程，最大距离是 (3)由(2)可知，过点A不存在到原点距离超过 的直线，因此 不存在过点A且与原点距离为6的直线.,【反思感悟】 1.在解答本题时，直线斜率存在时,根据题设条件，由点到直线的距离公式得关于斜率的方程，这是很关键的问题,同时注意讨论斜率不存在的情况； 2.另外，求距离的最值时，除了考虑距离公式所要求的条件，以防漏解、错解外，还要注意数形结合思想的应用.,【变式训练
11、】已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0，在坐标 平面内求一点P，使PA=|PB|，且点P到直线l的距离为2. 【解析】设点P的坐标为(a,b). A(4，-3)，B(2,-1)， 线段AB的中点M的坐标为(3，-2)， 线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3, 即x-y-5=0. 由题意知点P(a,b)在上述直线上，a-b-5=0.,又点P(a,b)到直线l：4x+3y-2=0的距离为2， ,即4a+3b-2=10, 联立可得 所求点P的坐标为(1，-4)或( ).,【变式备选】过点P(-1,2)引一直线，使两点A(2,3)，B(-4,5) 到该直线的距离相等，求这
12、条直线的方程. 【解析】方法一：当斜率不存在时，过点P(-1,2)的直线方程 为：x=-1，A(2,3)到x=-1的距离等于3，且B(-4,5)到x=-1的 距离也等于3，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为k，过点P(-1,2)的直线方程 为：y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0，,依题设知： 解上式得： 所以，所求直线方程为：x+3y-5=0； 综上可知,所求直线方程为x=-1或x+3y-5=0.,方法二：依题设知：符合题意的直线共有两条，一条是过点 P(-1,2)与AB平行的直线，另一条是过点P及AB中点的直线. 因为A(2,3)，B(-4,5)，所以 因此，过点P与AB平行
13、的直线的方程为： ,即x+3y-5=0； 又因为A(2,3)，B(-4,5)的中点坐标D(-1,4)， 所以过点P及AB中点的直线方程为x=-1； 综上可知,所求直线方程为x=-1或x+3y-5=0.,热点考向 3 对称问题 【方法点睛】 1.对称中心的求法 若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称，则由中点坐标公 式求得a、b的值，即,2.轴对称的两个公式 若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l：Ax+By+C=0(A0)对称， 则线段MN的中点在对称轴l上，而且连接MN的直线垂直于对称轴l. 故有,3.对称问题的类型 (1)点关于点对称；(2)点关于直线对
14、称； (3)直线关于点对称；(4)直线关于直线对称. 以上各种对称问题最终化归为点关于点对称、点关于直线对称.,【例3】(2012龙岩模拟)已知直线l：2x-3y+1=0，点A(-1,-2).求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标； (2)直线l关于点A的对称直线l的方程. 【解题指南】(1)可设对称点A的坐标为(m,n)，利用AA与直线l垂直以及线段AA的中点在直线l上，得出关于m、n的方程组，解方程组即可得A的坐标； (2)本题实质上是求直线的方程，可想法找到两个点的坐标，即可求出直线l的方程.也可在l上任取一点，利用该点关于点A的对称点在直线l上即可得出方程.,【规范解答】(1)设对称
15、点A的坐标为(m,n)，由已知可得 解得,(2)方法一：在l上任取两点(1,1)与( )，则它们关于 点A(-1，-2)的对称点坐标为(-3,-5)与( ) l的方程为: 化简得2x-3y-9=0. 方法二:设点P(x,y)为l上任意一点，则点P关于点A的对称点 为P(-2-x,-4-y)，又因为P在直线l上，所以， 2(-2-x)-3(-4-y)+1=0， 即2x-3y-9=0.,【反思感悟】1.此题是点关于线对称，线关于点对称，这类问题都要抓住对称这一特征解决问题. 2.(1)利用方程思想，(2)利用中点坐标公式，找到已知点与未知点之间的关系，最后利用曲线方程的概念代入求解.,【变式训练】
16、求直线m：3x-2y-6=0关于直线l：2x-3y+1=0对称 的直线m的方程. 【解析】由 解得m与l的交点 E(4,3)，E点也在直线m上. 在直线m：3x-2y-6=0上取一点A(2,0)，设A点关于直线l的对称 点B的坐标为 (a,b)，则,由 解得B( ). 由两点式得直线m的方程为 即9x-46y+102=0.,1.(2013厦门模拟)若直线l与直线y=1和x-y-7=0分别交于点M，N，且线段MN的中点为P(1，-1)，则直线l的斜率等于( ) (A) (B) (C) (D),【解析】选B.设l与y=1交于点M(m,1)，l与x-y-7=0交于点 N(n+7，n).由中点坐标公式
17、得m=-2,n=-3，即M(-2，1)，,2.(2012三明模拟)曲线 与直线y=2x+m有两个交 点，则m的取值范围为( ) (A)m4或m-4 (B)-4m4 (C)m3或m-3 (D)-3m3,【解析】选A.因为曲线 的图 象如图所示，若与直线y=2x+m有两个交 点，则m4或m-4，应选A.,3.(2012浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_.,【解析】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为 对于y=x2+a，y=2x=1，故切点为 切点 到直线l:y=x的距离为 解得 由 消去y得x2-x+a=0，由=1-4a0 可得 答案：,4.(2012南平模拟)设直线l经过点A(-1,1)，则当点B(2,-1)与 直线l的距离最远时，直线l的方程为_. 【解析】当l与过两点的直线垂直时，B(2,-1)与直线l的距离最 远，因为 ，所以kl= ,因此所求直线的方程 为：y-1= (x+1)，即3x-2y+5=0. 答案:3x-2y+5=0,