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1、第二节 等差数列及其前n项和,1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差 等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数 叫做等差数列的_，一般用字母d表示；定义的表达式 为：_(nN*).,同一个常数,公差,an+1-an=d,【即时应用】 判断下列数列是否为等差数列(请在括号中填写“是”或 “否”). (1)数列0，0，0，0，0， ( ) (2)数列1，1，2，2，3，3， ( ) (3)数列 ( ) (4)数列a,2a,3a,4a， ( ),【解析】(1)(4)中从第二项开始，每项与前一项的差为同一常数；而(2)(3)并不是同一常数，故(1)(4)为等差数
2、列，(2)(3)不是. 答案:(1)是 (2)否 (3)否 (4)是,2.等差数列的通项公式 若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为 an=_.,a1+(n-1)d,【即时应用】 (1)在等差数列an中，a5=10,a12=31,则数列的通项公式为 _. (2)等差数列10，7，4，的第20项为_. 【解析】(1)a5=a1+4d,a12=a1+11d, ,解得 an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)3=3n-5.,(2)由a1=10,d=7-10=-3,n=20,得 a20=10+(20-1)(-3)=-47. 答案:(1)an=3n-5 (2)-47,3.等差中项 若a，
3、A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A= .,【即时应用】 (1)A= 是a，A，b成等差数列的_条件. (2)若等差数列an的前三项依次为a,2a+1,4a+2,则它的第五 项为_.,【解析】(1)若A= ,可知2A=a+b,可推出A-a=b-A,所以 a,A,b成等差数列；反之，若a,A,b成等差数列，则A= . 故A= 是a，A，b成等差数列的充要条件. (2)由题意知2a+1是a与4a+2的等差中项，即 , 解得a=0,故数列an的前三项依次为0，1，2，则a5=0+41=4. 答案:(1)充要 (2)4,4.等差数列的前n项和公式 若已知等差数列an，首项a1和末项an，则
4、其前n项和公式 Sn= ，或若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其 前n项和公式Sn= .,【即时应用】 (1)在等差数列an中，a1=5,an=95,n=10,则Sn=_. (2)在等差数列an中，a1=100,d=-2,n=50,则Sn=_. (3)在等差数列an中，d=2,n=15,an=-10,则Sn=_.,【解析】(1) (2) =50(100-49)=2 550. (3)由an=a1+(n-1)d得, -10=a1+(15-1)2,解得a1=-38, 答案:(1)500 (2)2 550 (3)-360,热点考向 1 等差数列的基本运算 【方法点睛】 1.等差数列运算问题的通性
5、通法 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.,2.等差数列前n项和公式的应用方法 等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数n、首项a1和第n项 an，则利用 ,如果已知项数n、首项a1和公差d，则 利用,【例1】(1)(2012福建高考)等差数列an中,a1+a5=10,a4= 7.则数列an的公差为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (2)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上 而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3 节的容积共4升，则第5节的容积为_升. (3)(2011福建高考)已知等差
6、数列an中，a1=1,a3=-3. 求数列an的通项公式； 若数列an的前k项和Sk=-35，求k的值.,【规范解答】(1)选Ba1+a5=2a3=10，a3=5，所以d=a4-a3=2. (2)方法一：设自上第一节竹子容量为a1,依次类推，数列an 为等差数列. 又a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3, a7+a8+a9=3a1+21d=4. 解得,方法二：设自上第一节竹子容量为a1，则第九节容量为a9,且数 列an为等差数列. a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4, 即4a5-10d=3 3a5+9d=4 联立解得 答案:,(3)设等差数列an的公差为d， 由a1=1,a3
7、=-3可得1+2d=-3，解得d=-2. 从而an=1+(n-1)(-2)=3-2n. 由知an=3-2n, 由Sk=-35得2k-k2=-35. 即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5. 又kN*,故k=7.,【互动探究】本例第(3)题中，若将“a1=1,a3=-3”改为 “a1=31,S10=S22”，试求 Sn； 这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值.,【解析】S10=a1+a2+a10, S22=a1+a2+a22，又S10=S22， a11+a12+a22=0， ,即a11+a22=2a1+31d=0, 又a1=31,d=-2, Sn=na1+ =31n-n(n-1)=
8、32n-n2.,方法一：由知Sn=32n-n2, 当n=16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256. 方法二：由Sn=32n-n2=n(32-n),欲使Sn有最大值，应有1n32, 从而Sn( )2=256, 当且仅当n=32-n，即n=16时，Sn有最大值256.,【反思感悟】1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1,an,d,n,Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程解决问题的思想. 2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.,【变式备选】在等差数列an中， (1)已知a15=33,a4
9、5=153,求a66； (2)已知S8=48,S12=168,求a1和d； (3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8. 【解析】(1)方法一：设首项为a1,公差为d，依题意条件得 ,解方程组得 a66=-23+(66-1)4=237.,方法二：由 ,得 ,由an=am+(n-m)d,得 a66=a45+(66-45)4=237. (2) 解方程组得,(3)a6=10,S5=5, ,解方程组得 a8=a1+7d=-5+73=16； S8=8a1+28d=8(-5)+283 =44.,热点考向 2 等差数列的判定 【方法点睛】 等差数列的判定方法 (1)定义法：对于n2的任意自然数，验证an-
10、an-1为同一常数； (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n3,nN*)成立； (3)通项公式法：验证an=pn+q； (4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.,【提醒】等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式和前n项和的公式的方法主要适合在选择题中简单判断.,【例2】已知数列an中， (n2,nN*),数列 bn满足bn= (nN*). (1)求证：数列bn是等差数列； (2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由. 【解题指南】利用定义法证明数列bn是等差数列；先求bn， 再求an,最后利用函数的单调性求最大项和最小项.,【规范解答】(1) (n2,
11、nN*) 数列bn是以 为首项，以1为公差的等差数列.,(2)由(1)知 ,则 设 ，则f(x)在区间(-, )和( ，+)上为 减函数. 当n=3时，an取得最小值-1，当n=4时，an取得最大值3.,【反思感悟】本例中在用定义法证明bn是等差数列时，不 管用bn+1-bn还是用bn-bn-1需要考虑运算中是否包含了b2-b1这一 运算.这是容易被忽视的问题.,【变式训练】(1)已知数列an中，a1=-1,an+1an=an+1-an,则 数列an的通项公式为_. (2)已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn-1= 0(n2), 求证： 是等差数列.,【解析】(1)an+1an
12、=an+1-an 数列 是公差为-1的等差数列，且 =-1+(n-1)(-1)=-n. 答案:,(2)an=Sn-Sn-1,且an+2SnSn-1=0(n2)， Sn-Sn-1+2SnSn-1=0(n2)， 又Sn0， ,又 数列 是以2为首项，2为公差的等差数列.,热点考向 3 等差数列的性质及应用 【方法点睛】 等差数列的常见性质 (1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),则am+an=ap+aq=2ak. (2)若an,bn都是等差数列，k,mR,数列kan+mbn仍为等差 数列. (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍为等差数列(mN*). (4),(5)项数为偶数2
13、n的等差数列an: S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1). S偶-S奇=nd, (6)项数为奇数(2n+1)的等差数列an: S2n+1=(2n+1)an+1.,【例3】(1)Sn为等差数列an的前n项和，S2=S6，a4=1,则a5=_. (2)已知等差数列an中，a1+a2+a3=40,a4+a5+a6=20,则前9项 之和等于_. (3)设等差数列an的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn=324(n6),求数列an的项数及a9+a10. 【解题指南】(1)根据S2=S6，先求a4+a5的值，再求a5. (2)根据S3,S6-S3,S9-S6成等差数
14、列求解. (3)根据前6项与最后6项的和求出a1+an,再求n及a9+a10.,【规范解答】(1)S2=S6， S6-S2=a3+a4+a5+a6=0， 2(a4+a5)=0,即a4+a5=0， a5=-a4=-1. 答案:-1,(2)设等差数列an的前n项和为Sn,则S3,S6-S3,S9-S6成等差数 列， 且S3=40，S6-S3=20. S9-S6=20+(-20)=0，S9=S6=60. 答案:60,(3)由题意知a1+a2+a6=36 an+an-1+an-2+an-5=180 +得 (a1+an)+(a2+an-1)+(a6+an-5)=6(a1+an)=216， a1+an=3
15、6, 又 ,18n=324,n=18. a1+a18=36,a9+a10=a1+a18=36.,【互动探究】若本例中第(1)题条件不变，改为求此等差数列的前多少项的和最大，并求出最大值. 【解析】在本例中第(1)题已求解出a5=-1, 又a4=1,得公差d=-2,此等差数列的前4项和，即S4最大. 且S4=1+3+5+7=16.,【反思感悟】1.在等差数列an中，若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak是常用的性质，本例第(1)、(3)题都用到了这个性质，在应用此性质时，一定要观察好每一项的下标规律，不要犯a2+a5=a7的错误. 2.本例第(2)题也可先求a1,d,再求a7+
16、a8+a9,但不如用性质简单.,【变式备选】等差数列an的前n项和为Sn，已知am-1+am+1-am2= 0,S2m-1=38,求m的值. 【解析】am-1+am+1=2am, am-1+am+1-am2=2am-am2=0， 解得am=0或am=2. 又a1+a2m-1=2am, am0,am=2,2m-1=19, 解得m=10.,1.(2012辽宁高考)在等差数列an中，已知a4+a8=16,则该 数列前11项和S11=( ) (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 【解析】选B.由于an为等差数列，所以a1+a11=a4+a8=16， S11= 故选B.,2.(2013宁德
17、模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,若m1,且am-1+am+1-am2-1=0,S2m-1=39,则m等于( ) (A)39 (B)20 (C)19 (D)10 【解析】选B.数列an为等差数列， 则am-1+am+1=2am， 则am-1+am+1-am2-1=0可化为2am-am2-1=0, 解得：am=1. 又S2m-1=(2m-1)am=39,则m=20.故选B.,3.(2012浙江高考)设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和,则下列命题错误的是( ) (A)若d0 (D)若对任意nN*,均有Sn0,则数列Sn是递增数列 【解析】选C.若数列an为递增数列,但数列的前若干项可能为负数，则存在nN*，Sn0故选项错误,4.(2012北京高考)已知an为等差数列，Sn为其前n项和.若 a1= S2=a3，则a2=_ Sn=_. 【解析】S2=a3,a1+a2=a3， d=a3-a2=a1= a2=a1+d=1,Sn= 答案：1,