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1、第九节 直线与圆锥曲线的位置关系,1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法 判断直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与圆锥 曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程： ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). (1)当a0，可考虑一元二次方程的判别式，有 0直线与圆锥曲线_； =0直线与圆锥曲线_； 0直线与圆锥曲线_.,相交,相切,相离,(2)当a=0，b0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆 锥曲线E相交，且只有一个交点， 若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 _； 若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 _.,平行,平行或重合,【即
2、时应用】 (1)思考：直线与圆锥曲线有一个公共点是直线与圆锥曲线相切的什么条件？ 提示:必要而不充分条件.因为当直线与圆锥曲线相切时，直线与圆锥曲线有一个公共点；当直线与圆锥曲线有一个公共点时，直线与圆锥曲线不一定相切，如与抛物线对称轴平行(或重合)的直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线相交；与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相交.,(2)直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1有且只有一个交点，则m2=_. 【解析】直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1联立，消去y得：(1+4m2)x2+8mx+3=0. 又因为其=(8m)2-12(1+4m2)=16m2
3、-12=0， 解得：m2= . 答案:,2.圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点， A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|=_ =_ = = .,【即时应用】 (1)抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为 ，则k值为 _. (2)过椭圆 的左焦点且倾斜角为 的直线被椭圆所截 得的弦长为_.,【解析】(1)直线方程与抛物线方程联立，消去y得： 4x2-4(1-k)x+k2=0， 所以x1+x2=1-k，x1x2= . 依题意得： 即9=(x1+x2)2-4x1x2=(1-k)2-k2， 解得：k=-4.,(2)设直线与椭圆 的交点分别为A(x1
4、,y1),B(x2,y2). 由椭圆方程 得： a=3，b=1，所以c= ， 因此，直线方程为： ，与椭圆 联立， 消去y得： 则 所以 答案:(1)-4 (2)2,热点考向 1 直线与圆锥曲线的位置关系的确定及应用 【方法点睛】 1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题.,2.直线与圆锥曲线相交的两个问题及求解方法 (1)与弦的中点有关的问题,常利用“点差法”求解； (2)与抛物线焦点弦长
5、有关的问题,要注意应用抛物线的定义. 【提醒】在研究方程组是否有实数解或实数解的个数问题时，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.,【例1】(1)已知直线y=kx-1与椭圆 相切，则k、a之间 的关系式为_. (2)已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k， k为何值时，直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点；有两个公共 点；没有公共点？ 【解题指南】(1)直线与椭圆相切，实际上是直线方程与椭圆方 程组成的方程组有唯一解，即判别式等于零； (2)直线与抛物线公共点的个数问题，即为直线方程与抛物线方 程组成的方程组解的个数问题，可将两方程联立求解.,【规范解答】(1)
6、直线y=kx-1与椭圆 联立，消去y得： (a+4k2)x2-8kx+4-4a=0， 其判别式=(-8k)2-4(a+4k2)(4-4a) =16a(a+4k2-1)=0,又因为a0, 所以a+4k2-1=0. 答案:a+4k2-1=0,(2)由题意，得直线l的方程为y-1=k(x+2)， 由 ，得ky2-4y+4(2k+1)=0(*) ()当k=0时，由方程(*)得y=1,方程组有一个解,此时，直线 与抛物线只有一个公共点. ()当k0时，方程(*)的判别式为=-16(2k2+k-1).,由=0，即2k2+k-1=0， 解得k=-1或k= , 当k=-1或k= 时，方程组有一个解， 此时，直
7、线与抛物线只有一个公共点. 由0,得2k2+k-10， 解得-1k ， 当-1k 且k0时，方程组有两个解， 此时，直线与抛物线有两个公共点.,由0，得2k2+k-10, 解得k-1或k , 当k-1或k 时，方程组无解, 此时直线与抛物线没有公共点. 综上，当k=-1或k=0或k= 时，直线与抛物线只有一个公共点； 当-1k 且k0时，直线与抛物线有两个公共点；当k-1 或k 时，直线与抛物线没有公共点.,【互动探究】本例(2)的条件不变，求k为何值时直线与抛物线 相交、相切、相离？ 【解析】直线与抛物线相交,即直线与抛物线有两个公共点或 直线与抛物线的对称轴平行(或重合),此时直线与抛物线
8、有一个 公共点,即由直线方程与抛物线方程联立所得方程二次项系数不 为0且0或二次项系数为0,由本例解法知-1k .,直线与抛物线相切,即直线与抛物线有一个公共点,且直线与 抛物线的对称轴不平行(或不重合),即由直线方程与抛物线方程 联立所得方程二次项系数不为0且=0,由本例解法知k=-1或 k= . 直线与抛物线相离,即直线与抛物线没有公共点,由本例解法 知k-1或k . 综上可知:当-1k 时,直线与抛物线相交, 当k=-1或k= 时,直线与抛物线相切, 当k-1或k 时,直线与抛物线相离.,【反思感悟】1.直线与圆锥曲线公共点有零个、一个、两个和直线与圆锥曲线的相离、相切、相交不是等价关系
9、； 2.在直线与圆锥曲线所组成的方程组消元后，要注意所得方程的二次项系数是否含有参数.若含参数，需按二次项系数是否为零进行讨论，只有二次项的系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以利用判别式的符号来判断方程解的个数，进而说明直线与圆锥曲线的位置关系.,【变式备选】已知中心在原点，一个焦点为F(0, )的椭圆截 直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程. 【解析】因为椭圆中心在原点，一个焦点为F(0, )，所以可 设椭圆的标准方程为 ,其中ab0，且有a2-b2=50， 把直线方程代入椭圆方程，消去y得：(9b2+a2)x2-12b2x+4b2 -a2b2=0.,设弦的两个端
10、点A(x1,y1)、B(x2,y2)， 则由根与系数之间的关系有： 又AB的中点的横坐标为 ，所以 解得a2=3b2，与a2-b2=50联立得：a2=75，b2=25， 所以椭圆方程为,热点考向 2 圆锥曲线中的存在性问题 【方法点睛】 存在性问题的解题步骤 (1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参数的方程或不等式(组). (2)解此方程或不等式(组),若有解即存在,若无解则不存在.,【例2】(2012江西高考)已知三点O(0，0)，A(-2，1)， B(2，1)，曲线C上任意一点M(x,y)满足 (1)求曲线C的方程； (2)动点Q(x0,y0)(-2x02)在曲线C上，曲线C在
11、点Q处的切线为l.问：是否存在定点P(0，t)(t0)，使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且QAB与PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值.若不存在，说明理由.,【规范解答】(1)由 =(x,y)(0,2)=2y, 由已知得 化简得曲线C的方程为x2=4y. (2)假设存在点P(0，t)(t0)满足条件， 则直线PA的方程是 PB的方程是,曲线C在Q处的切线l的方程是 它与y轴的交点为 由于-2x02，因此 当-1t0时， 存在x0(-2,2)，使得 即l与直线PA平行，故当-1t0时不符合题意. 当t-1时， 所以l与直线PA，PB 一定相交.,分别联立方程组 解得D，E的横坐标
12、分别是 则 又|FP|= 有,又SQAB= 于是 对任意x0(-2,2)，要使 为常数， 即只需t满足 解得t=-1.此时 故存在t=-1，使得QAB与PDE的面积之比是常数2.,【变式训练】(2012漳州模拟)设b0,椭圆方程为 抛物线方程为x2=8(y-b).如图所示， 过点F(0,b+2)作x轴的平行线，与抛 物线在第一象限的交点为G，已知抛 物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1. (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； (2)设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是 否存在点P，使得ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几 个这样的点？并说明理由.(不必具体求出这些点的
13、坐标),【解析】(1)由x2=8(y-b)得y= x2+b, 当y=b+2时得x=4,G点的坐标为(4,b+2)， y|x=4=1,过点G的切线方程为y-(b+2)=x-4即y=x+b-2， 令y=0得x=2-b, F1点的坐标为(2-b,0),由椭圆方程得F1点的坐标为(b,0), 2-b=b即b=1,即椭圆和抛物线的方程分别为 和x2=8(y-1)；,(2)过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P， 以PAB为直角的RtABP只有一个， 同理，以PBA为直角的RtABP只有一个. 若以APB为直角， 设P点坐标为(x, x2+1),A、B两点的坐标分别为 ( ，0)和( ，0)，,关于x2的
14、二次方程有一个大于零的解，x有两解， 即以APB为直角的RtABP有两个， 所以抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形.,【变式备选】已知椭圆 (ab0)的右焦点为 F2(1,0)，点N(1, )在椭圆上. (1)求椭圆方程； (2)点M(x0,y0)在圆O：x2+y2=b2上，且在第一象限，过M作圆 x2+y2=b2的切线交椭圆于P、Q两点，问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否 为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由.,【解析】(1)右焦点为F2(1,0)，c=1. 左焦点为F1(-1,0)，又点N(1, )在椭圆上, 2a=|NF1|+|NF2| a=2, 所以椭圆方程为,(2)
15、设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 (|x1|2). |PF2|2=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+3(1- ) = (x1-4)2, ,连接OM，OP，由相切条件知： |PM|2=|OP|2-|OM|2=x12+y12-3 同理可求|QF2|+|QM|= =2. 所以|F2P|+|F2Q|+|PQ|=2+2=4为定值.,热点考向 3 圆锥曲线中的最值问题 【方法点睛】 圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 (1)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.,(2)求最值
16、常见的解法有两种：几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值. 【提醒】求最值问题时，一定要注意特殊情况的讨论.如直线斜率不存在的情况，二次式最高次项的系数的讨论等.,【例3】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线 y=-3上，M点满足 ,M点的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l的距离的最 小值.,【解题指南】(1)可设点M的坐标为(x,y)，依已知等式即可得出 曲线C的方程.(2)可先设点P
17、的坐标，求出切线，然后利用点到 直线的距离公式求出距离的解析式，求其最值即可.,【规范解答】(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1), 所以 =(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2). 再由 ,可知： , 即(-x,-4-2y)(x,-2)=0. 所以曲线C的方程为y= x2-2.,(2)设P(x0,y0)为曲线C：y= x2-2上一点，因为y= x, 所以l的斜率为 x0, 因此直线l的方程为y-y0= x0(x-x0)， 即x0 x-2y+2y0-x02=0. 则O点到l的距离 又y0= x02-2, 所以 当且仅当x0=0时取等号，所以O点到l的距
18、离的最小值为2.,【反思感悟】1.本题第(1)问是求轨迹方程，采用的是直接法求轨迹方程，依据题设中的等式求解即可； 2.第(2)问是求点到直线的距离的最值，解决此类问题一般是依据题设条件得出函数解析式，利用函数的单调性或求导数或利用基本不等式求得最值.,【变式训练】已知椭圆M： (ab0)的离心率为 且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 (1)求椭圆M的方程； (2)设直线l与椭圆M交于A,B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的 右顶点C，求ABC面积的最大值,【解析】(1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形 周长为 所以2a+2c= 又椭圆的离心率为 ，即 ,所以 所以a=3，
19、c= .所以b=1，椭圆M的方程为,(2)方法一：不妨设BC的方程为y=n(x-3)(n0),则AC的方程 为 由 ,得( +n2)x2-6n2x+9n2-1=0， 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，因为3x2= 所以 同理可得,所以 设t=n+ 2，则 当且仅当 时取等号， 所以ABC面积的最大值为,方法二：由题意，不妨设直线AB的方程为x=ky+m. 由 ,消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2-9=0， 设A(x1,y1)，B(x2,y2)， 则有 . 因为以AB为直径的圆过点C，所以 由 得(x1-3)(x2-3)+y1y2=0.,将x1=ky1+m,x2=ky2+m代入，得 (
20、k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0. 将代入，解得m= 或m=3(舍). 所以m= (此时直线AB经过定点D( ，0),与椭圆有两 个交点)，,所以 设 则 所以当 时，SABC取得最大值,1.(2013宁德模拟)若椭圆mx2+ny2=1与直线x+y-1=0交于A， B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为 则 的值 等于( ) 【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0), 而,2(2012重庆高考)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线 于A，B两点，若|AB|= |AF|BF|，则|AF|=_.,【解析】由题意可设A(
21、x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)，直线AB的方 程为 联立 消去y整理得 所以 又由焦点弦的性质可知|AB|=x1+x2+1= 联立解得 所以 答案：,3.(2012龙岩模拟)如图,已知 椭圆C： (ab0)的离 心率为 ，直线L:x=my+1过椭圆 C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两 点，点A，F，B在直线G：x=a2上 的射影依次为D，K，E.,(1)求椭圆C的方程. (2)试探索当m变化时，直线AE是否经过一定点N？若是,求出N的 坐标并给予证明；否则说明理由. (3)设梯形ABED的面积为S1，AOB的面积为S2，求 的最小值. 【解析】(1)L:x=my+1与x轴的交点为(
22、1，0),依题意可知,c=1. 又e= ,a=2,椭圆C的方程为,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由 (3m2+4)y2+6my-9=0 由对称性知，如果直线AE经过定点，则定点必在x轴上，F(1,0)，K(4,0),当m=0时，直线L垂直于x轴，则ABED为矩形，AE与x轴的交点是 AE的中点N( ,0) 猜想：当m变化时，AE经过定点N( ,0) 下证：设A(x1,y1)，N( ,0)，E(4,y2)三点共线 显然成立，所以AE经过定点N( ,0),(3)由(2)S梯形ABED= (|AD|+|BE|)|DE| = (4-x1)+(4-x2)|y1-y2| = (6-m(y1+y2)|y1-y2| 所以当m=0时， 的最小值为6.,