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1、第三节 二元一次不等式(组)与简单的 线性规划问题,1.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x， y)，叫做二元一次不等式(组)的_，所有这样的有序数对 (x，y)构成的集合称为_.,解,二元一次不等式(组)的解集,【即时应用】 (1)思考：二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点有何关系？ 提示：二元一次不等式(组)的解集可以看成平面直角坐标系内的点构成的集合,所有以不等式(组)的解为坐标的点都在平面直角坐标系内,就构成了一个平面区域.,(2)设点P(x,y)，其中x，yN，满足x+y3的点P的个数为_. 【解析】当x=0时，y可取0，1
2、，2，3,有4个点； 当x=1时，y可取0，1，2,有3个点； 当x=2时，y可取0，1,有2个点； 当x=3时，y可取0,有1个点,故共有10个点. 答案：10,2.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域,边界直线,边界直线,公共部分,(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定 二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线 上的点(x0,y0)作为_来进行判定，满足不等式的，则平 面区域在测试点位于直线的一侧,反之在直线的另一侧.,测试点,【即时应用】 (1)如图所表示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为_. (2)以下各点(0
3、,0);(-1,1);(-1,3);(2,-3);(2,2)在x+y-10所表示的平面区域内的是_. (3)如果点(1，b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间，则b应取的整数值为_.,【解析】(1)由图可知边界直线过(-1,0)和(0,2)点,故直线方程为2x-y+2=0. 又(0,0)在区域内,故区域应用不等式表示为2x-y+20. (2)将各点代入不等式可知(0,0),(-1,1),(2,-3)满足不等式,故在平面区域内. (3)令x=1,代入6x-8y+1=0，解得y= ； 代入3x-4y+5=0，解得y=2. 由题意得 b2,又b为整数，b=1. 答案：(1)2x
4、-y+20 (2) (3)1,3.线性规划的有关概念,不等式(组),一次,解析式,一次,(x,y),可行解,最大值或最小值,最大值,最小值,【即时应用】 (1)思考：可行解和最优解有何关系？最优解是否唯一？ 提示:最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优 解不一定唯一，有时只有一个，有时有多个. (2)已知变量x,y满足条件 ,则z=x+y的最小值为 _,最大值为_.,【解析】不等式组 所表示的平面 区域如图所示,作出直线x+y=0，可观察知 当直线过A点时z最小.由 得 A(1,1),此时zmin=1+1=2；当直线过B点时 z最大.由 得B(2,2),此时zmax=2+2=4. 答
5、案：2 4,(3)若变量x,y满足约束条件 则z=x-2y的最大值为 _. 【解析】不等式组 所表示的平面区域如图所示.作出 直线x-2y=0，可观察出当直线过A 点时z取得最大值.由 此时zmax=1+2=3. 答案：3,热点考向 1 二元一次不等式(组)表示的平面区域 【方法点睛】 1.二元一次不等式表示的平面区域的画法 在平面直角坐标系中,设有直线Ax+By+C=0(B不为0)及点P(x0,y0),则 (1)若B0,Ax0+By0+C0,则点P在直线的上方,此时不等式Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0的上方的区域.,(2)若B0,Ax0+By0+C0,则点P在直线的下方,此时不等
6、式Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0的下方的区域. (注：若 B为负,则可先将其变为正) (3)若是二元一次不等式组,则其平面区域是所有平面区域的公共部分. 2.求平面区域的面积 求平面区域的面积，要先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积.,【提醒】在画平面区域时，当不等式中有等号时画实线，无等号时画虚线.,【例1】已知不等式组 (1)画出该不等式组所表示的平面区域； (2)设该平面区域为S,求当a从-3到6连续变化时，x-y=a扫过S 中的那部分区域的面积.,【解题指南】(1)先画出各个不等式对应的直线(画成实线),再通过测试点确定区域. (2)通过直线变动确定扫过的
7、图形形状再求面积. 【规范解答】(1)不等式x-y+50表示 直线x-y+5=0上的点及右下方的点的集 合，x+y0表示直线x+y=0上的点及右 上方的点的集合，x3表示直线x=3上 及其左方的点的集合.不等式组表示的 平面区域即为图示的三角形区域.,(2)由题意可知x-y=a扫过S的部分区域如图所示： DC=9,CDE的边CD上的高为 所求区域的面积,【反思感悟】1.作平面区域时要“直线定界,测试点定域”,同时注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点. 2.求平面区域的面积,要先确定区域,若是规则
8、图形可直接求，若不规则可通过分割求解.,【变式训练】如图，在平面直角坐标 系中，已知ABC三个顶点的坐标分 别为 A(0,1),B(-2,2),C(2,6),试写 出ABC及其内部区域所对应的二元 一次不等式组,并求出该区域的面积.,【解析】由已知得直线AB、BC、CA的方程，直线AB：x+2y-2=0, 直线BC：x-y+4=0,直线CA：5x-2y+2=0. 原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左 端，结合式子的符号可得不等式组为： 由题图可知,直线BC与y轴的交点坐标为D(0,4), ,热点考向 2 简单的线性规划问题 【方法点睛】 1.利用线性规划求目标函数最值的步骤
9、 一般用图解法求解,其步骤是：第一步,画出约束条件对应的可行域；第二步，将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点；第三步，将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值.,2.目标函数最值问题分析 (1)线性目标函数的最大值和最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定. (2)目标函数通常具有相应的几何意义，如截距、斜率、距离等.,【例2】已知实数x,y满足 (1)若z=x-2y,求z的最大值和最小值； (2)若z=x2+y2,求z的最大值和最小值； (3)若z= ,求z的最大值和最小值.,【解题指南】(1)作出可行域与直线x-2y=0，观察确定最优
10、解； (2)由几何意义可确定z=x2+y2为可行域内的点到原点的距离的 平方，以此求解； (3)由几何意义可知所求为可行域内的点与原点连线的斜率的 最值,以此求解. 【规范解答】不等式组 表示的平面区域如图所示,图中的阴 影部分即为可行域.,由 得A(1,2); 由 得B(2,1)； 由 得M(2,3). (1)由z=x-2y得 由图可知,当直线 经过点B(2,1)时,z取得最大值,经 过点M(2,3)时,z取得最小值. zmax=2-21=0,zmin=2-23=-4.,(2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线x+y-3=0,垂足为N,则直线 l 的方程为y=x,由 得 在线段AB 上,也在
11、可行域内. 观察图可知,可行域内点M到原点的距离最大,点N到原点的距离 最小. 又 即 z的最大值为13,最小值为 .,(3)由图可得,原点与可行域内的点A的连线的斜率值最大,与点B的连线的斜率值最小, 又 z的最大值为2,最小值为 .,【互动探究】若将本例中第(3)问目标函数 修改为 则z的最大值和最小值又将如何求？ 【解析】由本例图可知，目标函数的几何意义是可行域内的点与P(4,-3)点连线的斜率, 由图可知，点P(4,-3)与A连线时斜率最大，与M连线时斜率最小. 又 故z的最大值为- ,z的最小值为-3.,【反思感悟】1.求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等
12、于0，将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的点便是最优解. 2.对于目标函数具有明确的几何意义时,则应确定其几何意义是什么,如本例(2)中是与原点距离的平方而非距离，忽视这一点则极易错解.,【变式备选】已知平面区域D由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D上有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=x+my(m0)取得最小值，则m=( ) (A) (B) (C)1 (D)4,【解析】选C.方法一：由A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)的坐标位置 知，ABC所在的区域在第一象限，故x0,y0.由z=x+my得 它表示斜率为- ，在y轴上的截距为
13、的直线, 因为m0，则要使z=x+my取得最小值，必须使 最小，此时需 方法二：把m的值逐一代入检验，只有m=1符合题意，故选C.,热点考向 3 线性规划的实际应用 【方法点睛】 线性规划的实际应用问题的解法与步骤 线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：,(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线l； (2)平移将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置； (3)求值解方程组求出A点的坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出
14、最值.,【例3】(2012江西高考)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:,为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为() (A)50,0(B)30,20(C)20,30(D)0,50,【规范解答】选B.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z，则z关于x,y的关系式为z=4x0.55-1.2x+6y0.3-0.9y=x+0.9y， 且x,y满足约束条件为 画可行域如图，,设l1：y= ，将l1上下平移可知，当直线z=x+0.9y过点 A(30,2
15、0)(注：可联立方程组 解得点A坐 标)时，z取最大值，因此，当总利润z最大时，x=30亩， y=20亩.,【变式训练】铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表： 某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为_百万元,【解析】设购买铁矿石A、B分别为x万吨、y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则 目标函数z=3x+6y， 由 得 记P(1,2)，,画出可行域可知，当目标函数z=3x+6y过点P(1，2)时，z取到最小值15. 答案:15,1.(2012福建高考)若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束
16、条件 则实数m的最大值为( ),【解析】选B如图，函数y=2x的图象经过点A(1,2),当m1时,y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件.当m1时,y=2x图象上不存在点(x,y)满足约束条件,故m的最大值为1.,2.(2012山东高考)已知变量x,y满足约束条件 则目标函数z=3x-y的取值范围是( ),【解析】选A.画出约束条件 表示的可行域如图所 示,由目标函数z=3x-y得直线y=3x-z，当直线平移至点B(2,0) 时,目标函数z=3x-y取得最大值为6,当直线平移至点A( ,3) 时,目标函数z=3x-y取得最小值为 所以目标函数z=3x-y的 取值范围是,3.(2013莆田模拟)若变量x,y满足 若2x-y的 最大值为-1，则a=_.,【解析】令2x-y=z，则y=2x-z,因为 2x-y的最大值为-1,所以2x-y=-1,由 图象可知当直线经过点C时，直线的 截距最小，此时z有最大值，由 答案:-1,