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1、第二节 证明不等式的基本方法、 数学归纳法与不等式证明,1不等式的证明方法 (1)比较法 作差比较法 知道ab ab0，ab，即证 _ 作商比较法 由ab0 1，因此当a0，b0时，欲证_，即证 1,ab0,ab,(2)综合法与分析法 综合法 从已知的基本不等式出发，利用不等式的基本性质导出欲证不 等式，这种证明方法称为综合法. 所谓综合法就是由“_”导“_”，从_出发，利 用_等逐步推进，证得_ 的方法.,因,果,题设条件,已知定义、公理、定理,所要求证的结论,分析法 从_出发，执“_”索“_”，层层推求使结 论成立的_条件，直至_为 止，进而断言原不等式成立，这种方法称为分析法. (3)反
2、证法的证明步骤 第一步:假设_，也就是说_ _;第二步:结合_，进而推理论证，最后推出 _的结果，从而断定假设错误. 因而确定要证明的不等式成立.,欲证的不等式,果,因,充分,能够肯定这些充分条件已经具备,所要证的不等式不成立,不等式的反,面成立,已知条件,和已知条件或已知不等式相矛盾,(4)放缩法 所谓放缩法是证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 _或_，简化不等式，从而达到证明目的的方法.,放大,缩小,【即时应用】 (1)设0 x1，则 中最大的一个是 _. (2)对实数a和x而言，不等式x3+13a2x5ax2+9a3成立的充要条 件是_. (3)若x,y均为正数，且x+y2，求证
3、: 与 中至少有一 个小于2.当你利用反证法证明此题时，第一步是假设_. (4)设a0，b0，M ，N ，则M与N的大 小关系是_,【解析】(1)0 x1， 只需比较1+x与 的大小. 1+x .从而最大的一个是c.,(2)(x3+13a2x)(5ax2+9a3) =x35ax2+13a2x9a3 =(xa)(x24ax+9a2) =(xa)(x2a)2+5a20. 当x2a0时，有(x2a)2+5a20.由题意故只需xa0即xa，以上过程可逆.所以不等式成立的充要条件是：xa.,(3)至少有一个小于2的否定是均不小于2，假设 与 均 不小于2，即 2且 2. (4)a0，b0，N Ma (3
4、) (4)MN,2.数学归纳法 数学归纳法两大步： (1)归纳奠基：证明当n=n0时命题_; (2)归纳递推：假设n=k(kn0， kN*)时命题成立，证明当 n=_时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整 数n都成立.,成立,k+1,【即时应用】 (1)思考:在归纳假设中“n0=1”对吗? 提示:不一定，n0是使命题成立的正整数中的最小值，有时是n0=1或n0=2.有时n0的值也比较大.而不是一定从1开始取值.,(2)用数学归纳法证明“ 1)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是_. 【解析】应增加的项数为(2k11)(2k1)2k1
5、2k2k. 答案:2k,热点考向 1 应用比较法证明不等式 【方法点睛】 比较法证明不等式的两种思路 (1)作差比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差 后需要判断差的符号，作差变形的方法常常是因式分解后，把 差写成积的形式或配成完全平方式. (2)作商法要注意使用条件，如 1推出ab，这里要注意 a、b两数的符号.,【例1】(1)设x1,y1,证明x+y+ (2)1abc，证明logab+logbc+logcalogba+logcb+logac. 【解题指南】欲证第(1)题不等式成立,只需判断左右两式之差的正负性；观察第(2)题的特征,通过换底公式化归为(1)的形式,根据第(1)题的
6、结论证明.,【规范解答】(1) 由x1,y1得 从而 成立.,(2)当1abc时,记x=logab= ,则 于是由(1)得证logab+logbc+logcalogba+logcb+logac.,【反思感悟】从本题条件可知, ,从而x+y , 但由于 xy,且 ,说明不等式的基本性 质ab，cdacbd只适用于同向不等式,而反向不等式之 间不能想当然地运用.,【变式训练】若实数x1，求证：3(1+x2+x4)(1+x+x2)2. 【证明】3(1+x2+x4)-(1+x+x2)2 =3+3x2+3x4-1-x2-x4-2x-2x2-2x3 =2(x4-x3-x+1)=2(x-1)2(x2+x+1
7、) =2(x-1)2(x+ )2+ . x1，从而(x-1)20,且(x+ )2+ 0， 2(x-1)2(x+ )2+ 0， 3(1+x2+x4)(1+x+x2)2.,热点考向 2 分析法与综合法 【方法点睛】 分析法与综合法在证明中的应用 在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程，有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的.,【例2】已知a1，n2，nN*. 求证： 【解题指南】观察本题特征,通过乘方运算,将其化归为不含有 根式的不等式,证之. 【规范解答】方法
8、一：欲证 ，即证 . 令a1=t0，则a=t+1.也就是证 ，即 成立.,方法二：因本题左式含有根号,所以通过换元法, 设a=xn，x1. 则原不等式可化为 , 即证 .联想到等比数 列前n项和1+x+xn1= ,因x1,故1+x+xn1n显然成 立,得证.,【反思感悟】 1.当欲证的不等式中含有分式或根式时,通常利用分析法,通过去分母或乘方运算,进行恒等变形,化归为整式不等式,再利用综合法证之. 2. 所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，从本题证明过程可知,中间步骤利用了放缩法,对于展开式,可通过舍去其中的若干项达到缩小的目的,或增加若干项达到放
9、大的目的;对于值为正数的分式,通过对分母的放大或缩小达到缩小或放大的目的.,【变式训练】当n3,nN时，求证：2n2(n+1). 【证明】2n=(1+1)n= =2(n+1),2n2(n+1).,【变式备选】求证：a2+b2ab+a+b-1. 【证明】(a2+b2)-(ab+a+b-1) =a2+b2-ab-a-b+1 = (2a2+2b2-2ab-2a-2b+2) = (a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1) = (a-b)2+(a-1)2+(b-1)20, a2+b2ab+a+b-1.,热点考向 3 反证法 【方法点睛】 反证法的基本思想 反证法的基本思想是否定结论就
10、会导致矛盾它可以用下面的程序来表示：“否定推理矛盾肯定” “否定”假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成立. “推理”从已知条件和假设出发，应用一系列的论据进行推理.,“矛盾”通过推导，推出与“实际需要”不符、与“公理”矛盾、与“已知定理”矛盾、与“定义”矛盾、与“题设”矛盾、自相矛盾等 “肯定”由于推理过程正确，故矛盾是由假设所引起的，因此，假设是错误的，从而肯定原结论是正确的,【例3】已知a，bR，且ab1，用反证法求证： (a2)2 【解题指南】本题是一个肯定性的结论,可利用反证法,假设其 不成立,将约束条件代入其中,消去b,得到一个关于a的不等式, 再通过配方法得到矛盾的结果,证之.
11、,【规范解答】假设(a2)2(b2)2 ， 则 a2b24(ab)8 . 由ab1，得b1a，于是有a2(1a)212 . 所以(a )20，这与(a )20矛盾. 故假设不成立，所以(a2)2(b2)2 .,【互动探究】若本题条件“a,bR”改为“a0,b0，”其余条件不变,如何用反证法证明: 【证明】假设 设a=cos2,b=sin2, 则 = =,即 即sin221. 这与sin221矛盾. 假设不成立. ,【反思感悟】1.用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实相违背等，推导出的矛盾必须是明显的. 2.宜用反证法证明的题型： (1)易导出
12、与已知矛盾的命题；(2)一些基本定理； (3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至少”、“至多”命题等.,3.注意事项：应用反证法证明命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”、“至少一个”的否定是“不存在”等.,【变式备选】已知a,b,c,dR,且a+b=c+d=1,ac+bd1, 求证:a,b,c,d中至少有一个是负数. 【证明】假设a,b,c,d都是非负数， a+b=c+d=1， (a+b)(c+d)=1， 又(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bdac+bd， 即ac+bd1,这与ac+bd1矛盾， 所以a,b,c,d中至少有一个是负数.,
13、热点考向 4 数学归纳法 数学归纳法的关键及放缩法 (1)用数学归纳法证明不等式的关键是第二步，因为第二步在归纳假设的基础上又构成了一个新的命题，这时要用到不等式证明的基本方法. (2)放缩法是证明不等式的基本思路，具体放缩方法有公式放缩和利用函数的单调性放缩等.常用技巧有：舍去一些项；在和或积中放大或缩小某些项；扩大或缩小分式的分子或分母等.,【例4】(2012湖北高考) (1)已知函数f(x)rxxr (1r)(x0)，其中r为有理数，且0r1.求f(x)的最小值. (2)试用(1)的结果证明如下命题： 设a10，a20，b1，b2为正有理数若b1b21，则 a1b1a2b2. (3)请将
14、(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你 所推广的命题 注：当为正有理数时，有求导公式(x)x1.,【解题指南】利用导数意义求函数f(x)的最小值，从而得到一个不等式xrrx(1r)，并由此证明第(2)(3)问，其中第(3)问利用数学归纳法证之，关键是如何构造一个与(1)中结论相同的表达式.,【规范解答】(1)f(x)rrxr1r(1xr1)， 令f(x)0，解得x1. 当0 x1时，f(x)0， 所以f(x)在(0,1)上是减函数； 当x1时，f(x)0， 所以f(x)在(1，)上是增函数 故函数f(x)在x1处取得最小值f(1)0.,(2)由(1)知，当x(0，)时，有f(x)f
15、(1)0，即 xrrx(1r). 若a1，a2中有一个为0，则 a1b1a2b2成立； 若a1，a2均不为0，又b1b21，可得b21b1，于是 在中令x ，rb1，可得 b1 +1-b1, 化简得 a1b1+a2(1-b1)， 即 a1b1a2b2.,综上，对a10，a20，b1，b2为正有理数且b1b21，总有 a1b1a2b2. (3)(2)中命题的推广形式为： 若a1，a2，an为非负实数，b1，b2，bn为正有理数 若b1b2bn1， 则 a1b1+a2b2+anbn. 用数学归纳法证明如下： ()当n1时，b11，有a1a1，成立,()假设当nk时，成立，即若a1，a2，ak为非负
16、实 数，b1，b2，bk为正有理数，且b1b2bk1， 则 a1b1+a2b2+akbk, 当nk1时，已知a1，a2，ak，ak1为非负实数，b1， b2，bk，bk1为正有理数，且b1b2bkbk11， 此时0bk11，即 1bk10，于是,因 =1，故由上式可得 = 从而 .,而(1-bk+1)+bk+1=1，故由得 =a1b1+a2b2+ak+1bk+1, 故当nk1时，成立 由()()可知，对一切正整数n，所推广的命题成立,【变式训练】设an (nN*),证明： 【证明】当n1时， n1时不等式成立. 假设当nk(k1,kN*)时,不等式成立， 即,则当nk1时， 因为 ，所以 ，即
17、nk1时不等式也成立. 综上所述，对所有的nN*，不等式 恒成立.,【变式备选】已知各项均为正数的等比数列an，公比q1， 且满足a2a4=64,a3+2是a2,a4的等差中项. (1)求数列an的通项公式； (2)设An=an+1-2,Bn= ，试比较An与Bn的大小，并证明 你的结论. 【解析】(1) an0,a3=8. a3+2是a2,a4的等差中项，,2(a3+2)=a2+a4,即20= +8q,即2q2-5q+2=0, 解得q=2或q= (舍去)， 数列an的通项公式为 (2)由(1)得 当n=1时，A1=2，B1=(1+1)2=4，A1B4；,由上可猜想，当1n3时，AnBn.下面用数学归纳法给出证明： 当n=4时，已验证不等式成立. 假设当n=k(k4，kN*)时，AkBk成立， 即2k+1-2(k+1)2, 则当n=k+1时,Ak+1=2k+2-2=2(2k+1-2)+2k2+4k+4=(k+1)+12 =Bk+1,即当n=k+1时不等式也成立， 由知，当n4(nN*)时,AnBn.,