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1、-实验目的1 学习由实际问题去建立数学模型的全过程；2 训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题；3 应用matlab软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab程序来求解其中的数学模型； 4 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力；通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。应用实验（或综合实验）一、实验内容从17901980年间美国每隔10年的人口记录如表综2.1所示：表综2.1年 份179018001810
2、1820183018401850人口(106)3.95.37.29.612.917.123.2年 份1860187018801890190019101920人口(106)31.438.650.262.976.092.0106.5年 份193019401950196019701980人口(106)123.2131.7150.7179.3204.0226.5用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。二、问题分析1：Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r。记时刻t的
3、人口为x(t），（即x(t）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x0，于是得到如下微分方程：2：阻滞增长模型（或Logistic模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x的减函数，如设r(x)=r(1-x/xm)，其中r为固有增长率(x很小时)，xm为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：三、数学模型的建立与求解 根据Malthus 模型的基本假设，和Logistic模型，我们可以分别求得微分方程的解析解，y1=x0*exp(r*x);y2= xm/(1+x0*exp(-r*x) 对于17901980年间美
4、国每隔10年的人口记录，分别用matlab工具箱中非线性拟合函数的命令作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序lsqcurvefit进行拟合，检验结果进一步讨论模型的改进，预测美国2010年的人口数量。四、实验结果及分析 对于Malthus 模型 作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序lsqcurvefit得到拟合函数为y=(3.54e-011)*exp(0.0149*x), 当x=2010时，预测的人口为359.491617801800182018401860188019001920194019601980050100150200250xy fitted curve由于资源、环境等因素对人
5、口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，运用Logistic模型对微分方程的解进行拟合，得到y2= 360.4/(1+53.11 *exp(-0.02342*(x-1790) 到2010年时，预计人口数量为y2 = 275.6894，作图可以看出两条曲线拟合程度较高相比基本模型，改进模型更接近实际。 五、附录（程序等）Malthus 模型1、 编写拟合函数的文件fitful2.mfunction y=fitful2(a,x) y=a(1).*exp(a(2).*x);2、 运行的脚本文件clc,cleara0=50,0.02;xdata=1790:10:1980; ydata=3
6、.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5;a,resnorm,residual,flag,output=lsqcurvefit(fitful2,a0,xdata,ydata)xi=1790:10:1980;yi=fitful2(a,xdata)plot(xdata,ydata,r-o,xi,yi,b-+)xlabel(x),ylabel(y=f(x);Logistic模型程序：x=1790:10:1980; y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5;st_ = 500 30 0.2 ;ft_ = fittype(a/(1+b*exp(-k*(x-1790),. dependent,y,independent,x,. coefficients,a, b,k);cf_ = fit(x,y,ft_,Startpoint,st_)plot(cf_,fit,0.95);hold on,plot(x,y,*) 第 9 页-