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1、2018届高三模拟考试试卷(十三) 数学 20183(满分160分,考试时间120分钟)参考公式:柱体的体积公式V柱体Sh,其中S为柱体的底面积,h为高一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分1. 已知集合U1,0,1,2,3,A1,0,2,则UA_2. 已知复数z1ai,z234i,其中i为虚数单位若为纯虚数,则实数a的值为_3. 某班40名学生参加普法知识竞赛,成绩都在区间40,100上,其频率分布直方图如图所示,则成绩不低于60分的人数为_ (第3题) (第4题)4. 如图是一个算法流程图,则输出的S的值为_5. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C,以线段AC,BC为邻边
2、作矩形,则该矩形的面积大于32 cm2的概率为_6. 在ABC中,已知AB1,AC,B45,则BC的长为_7. 在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C与双曲线x21有公共的渐近线,且经过点P(2,),则双曲线C的焦距为_8. 在平面直角坐标系xOy中,已知角,的始边均为x轴的非负半轴,终边分别经过点A(1,2),B(5,1),则tan()的值为_9. 设等比数列an的前n项和为Sn.若S3,S9,S6成等差数列,且a83,则a5的值为_10. 已知a,b,c均为正数,且abc4(ab),则abc的最小值为_11. 在平面直角坐标系xOy中,若动圆C上的点都在不等式组表示的平面区域内,则面积最大
3、的圆C的标准方程为_12. 设函数f(x)(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点,则实数m的取值范围是_13. 在平面四边形ABCD中,已知AB1,BC4,CD2,DA3,则的值为_14. 已知a为常数,函数f(x)的最小值为,则a的所有值为_二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,设向量a(cos ,sin ),b(sin ,cos ),c(,)(1) 若|ab|c|,求sin()的值;(2) 设,0,且a(bc),求的值16. (本小题满分14分)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,
4、ABAC,点E,F分别在棱BB1,CC1上(均异于端点),且ABEACF,AEBB1,AFCC1.求证:(1) 平面AEF平面BB1C1C;(2) BC平面AEF.17. (本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,B1,B2是椭圆1(ab0)的短轴端点,P是椭圆上异于点B1,B2的一动点当直线PB1的方程为yx3时,线段PB1的长为4.(1) 求椭圆的标准方程;(2) 设点Q满足:QB1PB1,QB2PB2.求证: PB1B2与QB1B2的面积之比为定值 18. (本小题满分16分)将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮(如图),并沿虚线l1,l2裁
5、剪成A,B,C三个矩形(B,C全等),用来制成一个柱体现有两种方案:方案: 以l1为母线,将A作为圆柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面;方案: 以l2为侧棱,将A作为正四棱柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面(1) 设B,C都是正方形,且其内切圆恰为按方案制成的圆柱的底面,求底面半径;(2) 设l1的长为x dm,则当x为多少时,能使按方案制成的正四棱柱的体积最大? 19. (本小题满分16分)设等比数列a1,a2,a3,a4的公比为q,等差数列b1,b2,b3,b4的公差为d,且q1,d0.记ciaibi
6、(i1,2,3,4)(1) 求证:数列c1,c2,c3不是等差数列;(2) 设a11,q2.若数列c1,c2,c3是等比数列,求b2关于d的函数关系式及其定义域;(3) 数列c1,c2,c3,c4能否为等比数列?并说明理由 20. (本小题满分16分)设函数f(x)xasin x(a0)(1) 若函数yf(x)是R上的单调增函数,求实数a的取值范围;(2) 设a,g(x)f(x)bln x1(bR,b0),g(x)是g(x)的导函数 若对任意的x0,g(x)0,求证: 存在x0,使g(x0)0; 若g(x1)g(x2)(x1x2),求证: x1x24b2. 2018届高三模拟考试试卷(十三)数
7、学附加题(满分40分,考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A,B,C,D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分若多做,则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修41:几何证明选讲)如图,A,B,C是圆O上的3个不同的点,半径OA交弦BC于点D.求证:DBDCOD2OA2.B. (选修42:矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,0),B(3,0),C(2,2)设变换T1,T2对应的矩阵分别为M,矩阵N,求对ABC依次实施变换T1,T2后所得图形的面积C. (选修44:坐标系与参数方程)在极坐标系中,求以点P(2,)为圆心且与直线l:sin
8、()2相切的圆的极坐标方程D. (选修45:不等式选讲)已知a,b,c为正实数,且abc,求证:2.【必做题】 第22,23题,每小题10分,共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 在某公司举行的年终庆典活动中,主持人利用随机抽奖软件进行抽奖:由电脑随机生成一张如图所示的33表格,其中1格设奖300元,4格各设奖200元,其余4格各设奖100元,点击某一格即显示相应金额某人在一张表中随机不重复地点击3格,记中奖总金额为X元(1) 求概率P(X600);(2) 求X的概率分布及数学期望E(X)23. 已知(1x)2n1a0a1xa2x2a2n1x2n1,nN*.记Tn(2k
9、1)ank.(1) 求T2的值;(2) 化简Tn的表达式,并证明:对任意的nN*,Tn都能被4n2整除 2018届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考)数学参考答案及评分标准1. 1,32. 3. 304. 1255. 6. 7. 48. 9. 610. 811. (x1)2y2412. (1,)13. 1014. 4,15. 解:(1) 因为a(cos ,sin ),b(sin ,cos ),c(,),所以|a|b|c|1,且abcos sin sin cos sin()(3分)因为|ab|c|,所以|ab|2c2,即a22abb21,所以12sin()11,即sin().(6分)(2) 因为
10、,所以a(,)故bc(sin ,cos )(8分)因为a(bc),所以(cos )(sin )0.化简得sin cos ,所以sin().(12分)因为0,所以0,所以cos x对xR恒成立因为(cos x)max1,所以1,从而0a1.(3分)(2) 证明: g(x)xsin xbln x1,所以g(x)1cos x.若b0,使g()1cos()0.(5分)取x0e,则0x01.此时g(x0)x0sin x0bln x011bln e10,使g(x0)0.(8分) 依题意,不妨设0x11.由(1)知函数yxsin x单调递增,所以x2sin x2x1sin x1.从而x2x1sin x2si
11、n x1. (10分)因为g(x1)g(x2),所以x1sin x1bln x11x2sin x2bln x21,所以b(ln x2ln x1)x2x1(sin x2sin x1)(x2x1),所以2b0.(12分)下面证明,即证明,只要证明ln t1),所以h(t)0在(1,)上恒成立所以h(t)在(1,)上单调递减,故h(t), 即x1x24b2.(16分)2018届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明:延长AO交圆O于点E,则BDDCDEDA(ODOE)(OAOD)(5分)因为OEOA,所以DBDC(OAOD)(OAOD)OA2OD2.所以D
12、BDCOD2OA2.(10分)B. 解:依题意,依次实施变换T1,T2所对应的矩阵NM.(5分)则,.所以A(0,0),B(3,0),C(2,2)分别变为点A(0,0),B(6,0),C(4,4)从而所得图形的面积为6412.(10分)C. 解:以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系xOy.则点P的直角坐标为(1,)(2分)将直线l:sin2的方程变形为sin coscos sin2,化为普通方程,得xy40.(5分)所以P(1,)到直线l:xy40的距离为2.故所求圆的普通方程为(x1)2(y)24.(8分)化为极坐标方程,得4sin.(10分)D. 证明:因为a,b,c为正
13、实数,所以2(当且仅当abc取“”)(10分)22. 解:(1)从33表格中随机不重复地点击3格,共有C种不同情形,则事件“X600”包含两类情形:第一类是3格各得奖200元;第二类是1格得奖300元,1格得奖200元,1格得奖100元其中第一类包含C种情形,第二类包含CCC种情形,所以P(X600).(3分)(2) X的所有可能值为300,400,500,600,700,则P(X300),P(X400),P(X500),P(X700).所以X的概率分布列为X300400500600700P(8分)所以E(X)300400500600700500.(10分)23. 解:由二项式定理,得aiC(i0,1,2,2n1)(1) T2a23a15a0C3C5C30.(2分)(2) 因为(n1k)C(n1k)(2n1)C,(4分)(8分)Tn(2n1)C(2n1)(CC)2(2n1)C.因为CN*,所以Tn能被4n2整除(10分)