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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流线性代数试卷及答案【精品文档】第 9 页 线性代数A 试题（A 卷）试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号一二三四五六 七总 分得分阅卷人一 单项选择题（每小题3分，共30分）1设经过初等行变换变为，则（ ）.(下面的分别表示矩阵的秩)。； ； ； 无法判定与之间的关系。2设为阶方阵且，则（ ）。 中有一行元素全为零； 有两行（列）元素对应成比例；中必有一行为其余行的线性组合； 的任一行为其余行的线性组合。3. 设是阶矩阵(), ,则下列结论一定正确的是: ( )4下列不是维向量组线性无关的充分必要条件是
2、（ ）存在一组不全为零的数使得；不存在一组不全为零的数使得的秩等于；中任意一个向量都不能用其余向量线性表示5设阶矩阵，若矩阵的秩为，则必为（ ）。1； ； ； .6四阶行列式的值等于（ ）。； ； .7设为四阶矩阵且，则的伴随矩阵的行列式为（ ）。； ； ； 8设为阶矩阵满足，为阶单位矩阵,则（）； ； ； 9设，是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。与的秩相同； 与的特征值相同；与的特征矩阵相同； 与的行列式相同；10设为阶矩阵,则以为特征值是的（ ）。充分非必要条件； 必要非充分条件；既非充分又非必要条件； 充分必要条件； 二填空题（每小题3分，共18分）1计算行列式。2. _。3
3、二次型对应的对称矩阵为 。4已知，是欧氏空间的一组标准正交基，则向量在这组基下的坐标为 。5已知矩阵的特征值为则_。6设均为3维列向量，记矩阵，。如果，则 。三(8分) , 求。四（10分）设向量组，。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。五（12分）讨论线性方程组解的情况，并在有无穷多解时求其解。六（14分）设，（1）、求出的所有特征值和特征向量；（2）、求正交矩阵，使得为对角矩阵。七（8分）对任意的矩阵,证明：(1) 为对称矩阵, 为反对称矩阵；(2) 可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。线性代数A参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）123
4、45678910BCDABDCCCD二、填空题（每小题3分，共18分）1、 256； 2、 ； 3、；4、 ； 5、 4； 6、 2 。三 解：因为矩阵A的行列式不为零,则A可逆,因此.为了求,可利用下列初等行变换的方法：（6分）所以.（8分）四解：对向量组作如下的初等行变换可得：（5分）从而的一个极大线性无关组为，故秩2（8分）且，（10分）五解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：(1) 当即系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.（5分）(2) 当系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.（6分）(3) 当此时方程组有无穷多组解.方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为
5、故原方程组与下列方程组同解: 令可得上述非齐次线性方程组的一个特解;它对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个元素,令可得为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为（12分）六解：（1）由于的特征多项式故的特征值为（二重特征值），。（3分）当时，由，即：得基础解系为，故属于特征值的所有特征向量为, 不全为零的任意常数。（6分）当时，由，即：得基础解系为，故属于特征值的所有特征向量为, 为非零的任意常数。-(8分)(2)将正交化可得：。再将其单位化得：将单位化得：。（12分）则是的一组单位正交的特征向量，令则是一个正交矩阵，且。（14分）七证明：(1) 因为, 因此为对称矩阵。（2分）同理,因为,因此为反对称矩阵。（4分）(2) 因为（6分）而由(1) 知为对称矩阵, 为反对称矩阵,因此任何矩阵 都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。（8分）