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1、因动点产生的相似三角形问题关键词：动点、相似三角形动点：运动的点或者说是不确定的点，有时题目中会明确指出动点，有时题目中相关点的坐标含有参数，换言之就是在不同的条件下会有不同的位置，或者满足条件的位置有多个。相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个或多个三角形，两个三角形相似的判定定理一般说来有3个， 定理1：两个角对应相等，两三角形相似 AA” 定理2：两边对应成比例且夹角相等 “SAS” 定理3：三边对应成比例。 “SSS”相似三角形的判定这3个定理，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等应用判定定理1解题，先寻
2、找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验如果已知AD，探求ABC与DEF相似，只要把夹A和D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）两个直角三角形相似的判定方法（1） 有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似（2）两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似（3）斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似如果要讨论相似的两个三角形中有一个是直角三角形：如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另
3、一个三角形是直角三角形的问题由动点产生的相似三角形问题一般在函数和几何图中出现，其中以函数表现居多。题型一般有是否存在点P，使得：PDEABC 以P、D、E为顶点的三角形与ABC相似或者通过动点产生相似解决有关问题一般以大题为主，也有出现在填空后两题。函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题过程 ： 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角 的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设
4、所求点的坐标进而用函数解析式来表示 各边的长度，之后利用相似来列方程求解。涉及知识点： 全等相似的性质及判定，一元二次方程解法，直角三角形中锐角三角函数，勾股定理，求线段的长，要用到两点间的距离公式。例1、 (2014浙江湖州，24，12分)已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的P与x轴、y轴分别相切于点M和点N.点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点P作PEPF交y轴于点E.设点F运动的时间是t秒(t0)(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示)，求证：PEPF；(3)作点F关于点M的对称点F.经过M，E，F三点的抛物线的对称轴交x
5、轴于点Q，连结QE.在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q，O，E为顶点的三角形与以点P，M，F为顶点的三角形相似，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由(1)证明连结PM，PN.P与x轴、y轴分别相切于点M和点N，PMMF，PNON且PMPN，PMFPNE90且NPM90.PEPF，12903.在PMF和PNE中，图1PMFPNE，PEPF.(2)解分两种情况：当t1时，点E在y轴的负半轴上，如图1，由(1)得PMFPNE，NEMFt，PNPM1，bOFOMMF1t，aNEONt1.ba1t(t1)2，图2b2a.当01时，b2a；当0t1时，b2a.(3)解存在，t的值是t
6、，t，t2.图3如图3，()当1t2时，F(1t，0)，F和F关于点M对称，F(1t，0)经过M，E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，Q(1t，0)OQ1t，由(1)得PMFPNE，NEMFt，OEt1.当OEQMPF时，解得，t或t(舍去)，当OEQMFP时，图4，解得，t或t(舍去)()如图4，当t2时，F(1t，0)，F和F关于点M对称，F(1t，0)经过M，E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，Q(1t，0)OQt1.由(1)得PMFPNENEMFt，OEt1.当OEQ MPF，.，无解当OEQ MFP时，图5解得，t2或t22舍去()如图5，当01(舍去)所以当t，t，t2时，
7、使得以点Q，O，E为顶点的三角形与以点P，M，F为顶点的三角形相似例 2 （2014年衡阳28）（隐含动点） 二次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴交于A(3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,3m)（m0），顶点为D（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与OBC相似？图1 图23讨论ACD与OBC相似，先确定ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似4直角三角形ACD存在两种情况（1）因为抛物线与x轴交于A(3, 0)、B(1, 0)两点，设ya(x3)(x1)代入点C(0,3m)，得3m3a解
8、得am所以该二次函数的解析式为ym(x3)(x1)mx22mx3m图3 图4 图5（3）如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为E过点A作x轴的垂线交DE于F由ym(x3)(x1)m(x1)24m，得D(1,4m)在RtOBC中，OBOC13m如果ADC与OBC相似，那么ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为13m如图4，当ACD90时，所以解得m1此时，所以所以CDAOBC如图5，当ADC90时，所以解得此时，而因此DCA与OBC不相似综上所述，当m1时，CDAOBC例3（2014益阳市21）（几何动点） 如图1，在直角梯形ABCD中，AB/CD，ADAB，B60，AB10，BC4，点P沿线段A
9、B从点A向点B运动，设APx（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；思路点拨1第（2）题先确定PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似图文解析（1）如图2，作CHAB于H，那么ADCH在RtBCH中，B60，BC4，所以BH2，CH所以AD（2）因为APD是直角三角形，如果APD与PCB相似，那么PCB一定是直角三角形如图3，当CPB90时，AP1028所以，而此时APD与PCB不相似图2 图3 图4如图4，当BCP90时，BP2BC8所以AP2所以所以APD60此时APDCBP
10、综上所述，当x2时，APDCBP例4 （2015湘西市26） 如图1，已知直线yx3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线yx2bxc经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 图1思路点拨3MBQ与BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论解析（1）由y
11、x3，得A(3, 0)，B(0, 3)将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入yx2bxc，得 解得所以抛物线的解析式为yx22x3（2）在APQ中，PAQ45，AP3t，AQt分两种情况讨论直角三角形APQ：当PQA90时，APAQ解方程3t2t，得t1（如图2）当QPA90时，AQAP解方程t(3t)，得t1.5（如图3）图4 图5（4）由yx22x3(x1)24，得M(1, 4)由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB3由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM所以MBQBOP90因此MBQ与BOP相似存在两种
12、可能：当时，解得（如图5）当时，整理，得t23t30此方程无实根（2016湖州）如图，已知二次函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作ABx轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）【分析】（3）由题意分析可得MCP=90，则若PCM与BCD相似，则要进行分类讨论，分成PCMBDC或PCMCDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标【解答】解：（1）把点A（
13、3，1），点C（0，4）代入二次函数y=x2+bx+c得，解得二次函数解析式为y=x2+2x+4，配方得y=（x1）2+5，点M的坐标为（1，5）；（3）连接MC，作MGy轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）MG=1，GC=54=1MC=，把y=5代入y=x+4解得x=1，则点N坐标为（1，5），NG=GC，GM=GC，NCG=GCM=45，NCM=90，由此可知，若点P在AC上，则MCP=90，则点D与点C必为相似三角形对应点若有PCMBDC，则有BD=1，CD=3，CP=，CD=DA=3，DCA=45，若点P在y轴右侧，作PHy轴，PCH=45，CP=PH=把x=代入y=x+4，解得y=，P1（）；同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=代入y=x+4，解得y=P2（）；若有PCMCDB，则有CP=3PH=3=3，若点P在y轴右侧，把x=3代入y=x+4，解得y=1；若点P在y轴左侧，把x=3代入y=x+4，解得y=7P3（3，1）；P4（3，7）所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（），P2（），P3（3，1），P4（3，7）（2017怀化24.）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点是轴上的一点，且以为顶点的三角形与相似，求点的坐标；