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1、关于中值定理与倒关于中值定理与倒数应用习题课数应用习题课现在学习的是第1页，共16页( ) , , F xa cc b函函数数在在区区间间、上上连连续续，( )( )( )( ) ( )()f bf aF xf xf axaba 令令2( , ) ( , ),a cc b 1 1在在区区间间、至至少少各各存存在在一一点点 、( )( )( )0,F aF cF b且且( , ) ( , )a cc b在在区区间间、可导，可导，由由罗罗尔尔中中值值定定理理知知：12()()0FF 。使得使得12( ),Fx 由由于于在在上上连连续续，12(,) 在在上上可可导导，12(,)( , ),a b 间
2、间至至少少存存在在一一点点因此在区因此在区使得使得( )( )0Ff 。现在学习的是第2页，共16页2( )0,2(0,2)(0)(2)1,(1)0,(0,2)( )( )f xfffff 例例设设在在区区间间连连续续，在在区区间间可可导导，且且证证明明：在在上上至至少少存存在在一一点点 ，使使得得证证( )( )xF xe f x 令令( )(1,2)F x由由于于在在区区间间连连续续，2(1)0,(2),FFe且且由连续函数介值定理知：由连续函数介值定理知：( )1F 一一点点 ，使使得得。在在区区间间( (1 1, ,2 2) )上上至至少少存存在在( )0, (0, )F x 又又由由
3、于于在在 连连续续，在在上上可可导导，(0)F 且且( )1,F 由罗尔中值定理知，由罗尔中值定理知，( )0,F 至至少少存存在在一一点点 , ,使使得得: :(0, )(0,2) 在在区区间间上上( )( )0ff 即即现在学习的是第3页，共16页( )(0,1)f x由由于于函函数数在在区区间间上上取取到到最最大大值值，证证3( )0,1,(0,1)( ),|( )|,:|(0)(1)|yf xf xfxMffM 例例设设函函数数在在区区间间 上上二二阶阶可可导导 且且在在上上取取到到函函数数的的最最大大值值证证明明。( )0, ,1(0, ) ( ,1)fxcccc 由于函数在、连续，
4、在区间、由于函数在、连续，在区间、上可导，上可导，12|(0)(1)| |()|()|(1)fffcfcM( )0,cfc 因因此此在在区区间间( (0 0, ,1 1) )上上存存在在一一点点 ，使使得得由拉格朗日中值定理得：由拉格朗日中值定理得：2(1)(1)( )()(1)fffcfc 21 1各存在一点 、 ，各存在一点 、 ，(0, ) ( ,1)cc在在区区间间、上上1(0)(0)( )()fffcfc 使得使得现在学习的是第4页，共16页4( )( , )( ):( )( , )f xa bf xfxa b 例例设设在在区区间间可可导导，且且无无界界，证证明明在在区区间间上上也也
5、无无界界。证证 用反证法用反证法( )( , )|( )|fxa bfxM 如如果果函函数数在在区区间间上上有有界界，即即0( , ),a bxx则则对对区区间间上上任任一一定定点点任任一一动动点点00|( )| |()|( )|f xf xfxx ( )( , ),f xa b即在区间上有界 矛盾即在区间上有界 矛盾0,xx 在在 与与之之间间存存在在一一点点中值定理得,中值定理得,由由拉拉格格朗朗日日00( )()( )()f xf xfxx 使得使得0|()|()f xM ba( )( , )fxa b 矛盾表明在矛盾表明在上无界。上无界。现在学习的是第5页，共16页例例5设函数设函数)
6、(xfy 在区间在区间 1 , 0可导，可导，在区间在区间 1 , 0上上, 1)(0 xf且且, 1)( xf证明：证明： 在区间在区间)1 , 0(有且仅有一点有且仅有一点, 使得使得.)( f证证令令,)()(xxfxF 显然显然)(xF在在 1 , 0连续，连续，且且, 0)0()0( fF01)1()1( fF由闭区间上连续由闭区间上连续函数介值定理得：函数介值定理得：在区间在区间)1 , 0(上至少存在一点上至少存在一点, 使得使得0)( F即即 )(f如果在区间如果在区间)1 , 0(另有一点另有一点, 使得使得, 0)( F, 在以在以为端点的闭区间上使用罗尔中值定理得，为端点
7、的闭区间上使用罗尔中值定理得， 至少存在至少存在一点一点),1 , 0(0 x使得使得, 0)(0 xF即即, 01)(0 xf这与这与1)( xf矛盾，矛盾，矛盾表明矛盾表明 在在)1 , 0(是唯一存在的。是唯一存在的。现在学习的是第6页，共16页例例6 求下列极限求下列极限30arcsin1. limsinxxxx 解解30arcsinlimxxxx （等阶代换）（等阶代换）原式=原式=220111lim3xxx 洛必塔法则洛必塔法则222012lim31xxxx 等等阶阶代代换换222011lim31xxxx 16 现在学习的是第7页，共16页212.limln( sin)xxxx解解
8、120sinlnlimxttttt 令令原式 =原式 =20sin1limtttt 等阶代换等阶代换20cos1lim3ttt 洛洛必必塔塔法法则则20sinln(11)limtttt 30sinlimtttt 16 现在学习的是第8页，共16页3. 22)2(sinlnlim xxx解解原式原式)2(4sincoslim2 xxxx xxx2coslim4122sinlim412xx 81 4. 301)1ln(limxxexx 解解原式原式21103limxexxx )1(31)1(lim20 xxexxx 2096limxxxeeexxxx 6196lim0 xexx现在学习的是第9页，
9、共16页5.xxxxcot)sin11(lim0 解解原式原式xxxxxxcossinsinlim20 xxxxxxcoslimsinlim030 2031coslimxxx 61 16.lim ()xxxxe 解解ln()limxxxex 1lim1xxxexe e 原原式式1lim1xxxexe 洛必塔法则洛必塔法则1 现在学习的是第10页，共16页tan30227.limxxxx 解解(tan)ln2301lim2x xxxex 原原式式30tanlimln2xxxx 四则运算四则运算220sec1limln23xxx 洛洛必必塔塔法法则则220(1cos )(1cos )limln23
10、cosxxxxx 30tanlim2ln2xxxxx 等阶代换等阶代换ln23 现在学习的是第11页，共16页1ln8.lim (arctan )2xxx 解解ln(arctan )2limlnxxx 122lim1arctan2xxxxx 221lim(1)xxx 洛必塔洛必塔1e 原原式式211arctan2lim1xxxx 洛必塔洛必塔1limarctan2xxx 四四则则运运算算1 现在学习的是第12页，共16页0000209.( )(2 )2 ()3 ()limhf xxf xhf xhf xh 设设在在点点处处二二阶阶导导数数存存在在，求求解解0002(2 )2()lim2hfxh
11、fxhh 洛必塔洛必塔原式原式000000(2 )()2lim2()()limhhfxhfxhfxhfxh 四四则则运运算算0002()()3()fxfxfx 二二阶阶导导数数定定义义思考：如果条件换成二阶导数连续，如何做简单？思考：如果条件换成二阶导数连续，如何做简单？现在学习的是第13页，共16页例例7 设设)(xf具有二阶连续导数，且具有二阶连续导数，且, 0)0( f证明证明 0)0(0)()(xfxxxfxg可导，且导函数连续。可导，且导函数连续。证证显然当显然当0 x时，时，)(xg是可导的，是可导的， 且且2)()()(xxfxfxxg 是连续的。是连续的。xgxggx)0()(lim)0(0 xfxxfx)0()(lim0 20)0()(limxfxxfx xfxfx2)0()(lim0 )0(21f 现在学习的是第14页，共16页所以所以)(xg是可导的。是可导的。又因为又因为)(lim0 xgx 20)()(limxxfxfxx xxfxfxxfx2)()()(lim0 )(lim210 xfx )0(21f )0(g 所以所以)(xg 在在0 x处连续，处连续，即即)(xg 连续。连续。现在学习的是第15页，共16页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第16页，共16页