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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用【精品文档】第 16 页目 录拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 物理系0801班 学 生 岳艳林 指导老师 韩新华摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最
2、后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间为自变量的函数通常在时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换1。1 拉普拉斯变换以及性质1.1 拉普拉斯变换的定义设函数当时有定义，而且积分(是一个复参量)在的某一区域内收敛，则此积分所确定的函数可写为.我们称上式为函数的Laplace变换式.
3、记为,称为的Laplace变换（或称为象函数）.若是的Laplace变换，则称为的Laplace逆变换（或称为象原函数），记为2.Laplace变换的存在定理若函数满足下列条件:在的任一有限区间上分段连续；当时，的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数及，使得成立（满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，为它的增长指数）. 则的Laplace变换在半平面上一定存在，右端的积分在的半平面内,为解析函数2.1.2 拉普拉斯变换的性质线性性质 若是常数，, ,则有, 微分性质 若,则有.高阶推广 若,则有.一般，.积分性质 若,则.位移性质 若，则.延迟性质 若,又时,则对于任一非负实数，有
4、,或2.相似性性质 若,则.卷积性质 若,，则，其中称为与的卷积3.由于从定义以及性质求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换困难且复杂，在控制工程中，常常通过查阅已编好的“拉氏变换对照表”来实现。拉氏变换对照表列出了工程上常用的时间函数及其对应的拉氏变换，可以根据该表查找原函数的象函数，或者从象函数查找原函数。对于表中不能找到的形式，可以把它展开成部分分式，再求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换。以下是本文将用到的几种常用的拉普拉斯变换函数对3:原函数象函数原函数象函数11表一：拉普拉斯变换函数表2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤像其他方法求解微分方程一样，应用拉普拉斯变换求解微分方程也有规范的步骤，
5、其一般步骤4如下：1、根据自变量的变化范围和方程及其定解条件的具体情况来决定对哪一个自变量进行拉普拉斯变换，然后对线性微分方程中每一项取拉普拉斯变换，使微分方程变为s的代数方程；2、解象函数的代数方程，得到有关变量的拉普拉斯变换表达式，即象函数；3、对象函数取拉普拉斯逆变换，得到微分方程的时域解。流程图法5如下：微分方程的解取拉普拉斯逆变换取拉普拉斯变换解代数方程原函数象函数微分方程象函数的代数方程图一：拉普拉斯变换求解微分方程的流程图拉普拉斯变换在物理和工程等领域有着广泛的应用，通过拉普拉斯变换，可以方便地对线性控制系统进行分析、研究，可以对一些级数进行求和，还可以求解微分方程1。接下来重点
6、讨论拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用。3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用3.1 初值问题与边值问题例：求解初值问题2.解：设对方程两边同时取拉普拉斯变换，有结合初始条件，有,整理展开成部分分式，有.由拉普拉斯变换函数表,可知,.由拉普拉斯变换函数表,并结合位移性质，可知，对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为例：求解边值问2.解：设对方程两边同时取拉普拉斯变换，有结合初始条件，有整理展开成部分分式，有由拉普拉斯变换函数表可知对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为为了确定，将条件代入上式可得所以，方程的解为3.2 常系数与变系数常微分方程例：求解常系数微分方程2.解：设对方程两边同时
7、取拉普拉斯变换，有结合初始条件，有整理展开成部分分式，有由拉普拉斯变换函数表并结合位移性质可知对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为 为了确定，将条件代入上式可得所以，方程的解为例：求解变系数微分方程2.解：设对方程两边同时取拉普拉斯变换，即亦即两边积分可得结合初始条件，有整理可得两边积分可得欲求待定系数c,可利用，所以从，由拉普拉斯变换函数表可知对方程两边同时求反演，可得方程的解为3.3 含函数的常微分方程例：质量为的物体挂在弹簧系数为的弹簧一端，当物体在时在方向受到冲击力(t),其中为常数。若物体自静止平衡位置处开始运动，求该物体的运动规律2.解：根据牛顿定律，有其中由胡克定律所得，是使
8、物体回到平衡位置的弹簧的恢复力。所以，物体运动的微分方程为这是二阶常系数非齐次微分方程，对方程两边取拉普拉斯变换，设并考虑到初始条件，则得如果记有由拉普拉斯变换函数表可知对方程两边同时取反演，从而方程的解为可见，在冲击力作用下，运动为一正弦振动，振幅是角频率是称为该系统的自然频率（或称固有频率）。3.4 常微分方程组例：求解三维常微分方程组2解：设对方程组的两个方程两边分别取拉普拉斯变换并结合初始条件，有解该方程组，整理展开成部分分式，有取其逆变换，可得原方程组的解3.5 拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用形如的方程称为阶常系数非齐次线性微分方程，这里为常数，为连续函数。我们平时用到
9、的主要有三种形式：,6.该非齐次微分方程的解即该非齐次微分方程的特解与对应的齐次微分方程的通解。对于该方程的通解可用多种方法求特解，如：比较系数法、常数变易法、算子法等。下面将用拉普拉斯变换法求解该方程的特解。设为求特解令初始条件为零，对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到，下面结合f(x)的三种形式分别作介绍。（1）此时，对其进行部分分式分解，令，则该齐次微分方程特解的形式与自由项f(x)有关，也就是说与变换项有关；对应的齐次微分方程的通解由决定，只要该项分母中不含有特解因子，则特解只取决于7。若则，即相应的拉普拉斯变换特解为对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为例：求解常系数线性齐次
10、方程的特解。解：设令初始条件为零，对方程两边同时取拉普拉斯变换，有整理展开成部分分式，有此时则对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为若令，同理，相应的拉普拉斯变换特解为例：求解常系数线性齐次方程的特解。解：设令初始条件为零，对方程两边同时取拉普拉斯变换，有则此时令则相应的拉普拉斯变换特解为对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为（2）. 例：求微分方程的特解。解：设令初始条件为零，对方程两边同时取拉普拉斯变换，有则此时令相应的拉普拉斯变换特解为对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为（3）例：求解微分方程的特解7。解：设令初始条件为零，对方程两边同时取拉普拉斯变换，有
11、令相应的拉普拉斯变换特解为对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为3.6 拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广对于阶常系数线性齐次微分方程满足以下两个引理8：引理1 n阶常系数线性齐次方程的解（积分曲线）具有平移不变性。也就是说，若y=y(x)为n阶常系数线性齐次方程的一个解，则对任意的常数c,也是n阶常系数线性齐次方程的解。引理2 若为n阶常系数线性齐次方程的一个解，经平移后变为则也是n阶常系数线性齐次方程的解。下面给出利用拉普拉斯变换方法求解三阶常系数线性齐次方程满足在任意点的初始条件的解。设方程的解为这样，我们便将初值点平移到了点，于是可用如下的拉普拉斯变换方法求解该初值问题。
12、令设对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到由拉普拉斯变换的导数性质以及高阶导数推广可得，结合初始条件，有整理可得对上式两边同时取拉普拉斯逆变换，可得进行变量还原，便得到所求初值问题的解为例：求解二阶常系数线性齐次方程，该方程满足初始条件8解：首先转化初值条件设对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到即整理成部分分式，有由拉普拉斯变换函数表可知由拉普拉斯变换函数表可知对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为变量还原，得到原初值问题的解为4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用4.1 齐次与非齐次偏微分方程例：求解齐次偏微分方程2解：对该定解问题关于y取拉普拉斯变换，并利用微分性质及初始条件可得这样，原定解
13、问题转化为含参数s的一阶常系数线性非齐次微分方程的边值问题：方程可转化为解此微分方程，可得其通解为其中c为常数。为了确定常数c，将边界条件代入上式，可得所以，由拉普拉斯变换函数表可知由拉普拉斯变换函数表可知方程两边取反演，从而原定解问题的解为例：求解非齐次偏微分方程2解：对该问题关于t取拉普拉斯变换，并利用微分性质及初始条件可得这样，原定解问题转化为含参数s的二阶常系数线性非齐次微分方程的边值问题：方程可转化为解此微分方程，可得其通解为其中为了确定常数将边界条件代入上式，可得所以，由拉普拉斯变换函数表可知由拉普拉斯变换函数表并结合延迟定理可知方程两边取反演，从而原定解问题的解为（或）4.2 有
14、界与无界问题例：求解有界偏微分方程2解：对该定解问题关于t取拉普拉斯变换，记这样，原定解问题转化为含参数s的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题：该方程的通解为其中是常数。为确定常数，将边界条件代入上式，可得即将边界条件代入上式，可得因此从而为了求的拉普拉斯逆变换，注意到分母为所以逆变换是周期为的关于的周期函数。根据周期函数的拉普拉斯变换式，其中表明是以为周期的周期函数，即由拉普拉斯变换函数表并结合延迟定理可知同理可知方程两边取反演，从而原定解问题的解为其中为单位阶跃函数，即例：求解无界偏微分方程2解：对该问题关于t取拉普拉斯变换，记这样，原定界问题转化为含参数s的二阶常系数线性齐次微分方程的
15、边值问题：解此微分方程可得通解为,其中,为常数。为确定常数,，将边界条件代入上式，可得;将边界条件代入上式，可得.因此，.所以，.从而，由拉普拉斯变换函数表，可知。由拉普拉斯变换函数表，可知.如果令显然,由导数性质可知,亦即,由位移性质,可知由卷积定理可得令最后可得该定解问题的解为5 综合比较，归纳总结从以上的例题可以看出，用拉普拉斯变换方法求解微分方程有如下的优缺点113： 拉普拉斯变换对像函数要求比傅里叶变换弱，其使用面更宽。但拉普拉斯变换像其他变换一样都有其局限性，只有满足其存在定理时才可以使用拉普拉斯变换。而在微分方程的一般解法中，并没有任何限制；用拉普拉斯变换方法求解微分方程，由于同
16、时考虑初始条件，求出的结果便是需要的特解。而微分方程的一般解法中，先求通解，再考虑初始条件确定任意常数，从而求出特解的过程比较复杂；零初始条件、零边界条件使得拉普拉斯变换方法求解微分方程更加简单。而在微分方程的一般解法中，不会因此而有任何简化；用拉普拉斯变换求解微分方程，对于自变量是零的初始条件，求其特解是非常方便的。但微分方程的一般解法并没有简化；用拉普拉斯变换方法求解微分方程，对方程的系数可变与否、对区域有界与否、对方程和边界条件齐次与否并无特殊关系。而在微分方程的一般解法中，会遇到很多困难；用拉普拉斯变换方法求解微分方程组，可以在不知道其余未知函数的情况下单独求出某一个未知函数。但在微分
17、方程的一般解法中通常是不可能的；拉普拉斯变换可以使解个自变量偏微分方程的问题，转化为解个自变量的微分方程的问题，逐次使用拉普拉斯变换，自变量会逐个减少，有时还可将解n个自变量偏微分方程的问题最终转化为解一个常微分方程的问题，比微分方程的一般解法更为简单、直接；比较系数法和常数变易法只需进行代数运算和积分运算，要求相对较低。相比之下，算子法要先将方程化为算子形式然后利用算子的性质进行分解，对初学者而言要求相对较高，然而算子法却具备比较系数法和常数变易法无法具备的应用条件，有适应面广、计算量小、准确度高、简单易行的特点。结束语通过列举拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用，可以看出拉普拉斯变换是一种特
18、别成功的数学方法，求解微分方程的步骤比较明确、规律性比较强、思路清晰且容易掌握。灵活使用拉普拉斯变换，可以巧妙地推出一些复杂问题的答案，便于学生理解进而提高教学质量。参考文献1 李高翔.拉普拉斯变换在微分方程组求解中的应用J .高等函授学报,2009，22(3):22-24.2 张元林.工程数学积分变换（第四版）M.北京:高等教育出版社,2003：68-138.3 梁昆淼.数学物理方法(第三版)M.北京:高等教育出版社,1998：120-121.4 黄会芸.拉普拉斯变换在高等数学中的应用J.潍坊教育学院学报,2009,22(4):44-45.5 全生寅.论解N阶常微分方程的Laplace变换法
19、J.青海大学学报,2000(5):61-62.6 李曼生,陈莉.拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用J.广西右江民族师专学报,2006(3):5-8.7 张刁民.拉普拉斯变换求二阶常系数非齐次微分方程的特解J.河南教育学院学报,2005(1):27-28.8 李连忠,何乐亮.拉普拉斯变换应用的一个推广J.山东师范大学学报,2007(1):148.9 姜立新.Laplace变换的应用研究J.枣庄学院学报,2010,27(2).37-40.10 唐妍霞.利用Laplace变换求解一维波动方程的定解问题J.河北北方学院学报,2010(3):16-19.11 王振芳.拉普拉斯变换及其应用J.雁北师范学院
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21、e Laplace transform in solving ordinary differential equation, the typical application of partial differential equation, for example, comprehensive comparison, summarizes the Laplace transform in solving differential equations and the advantage of the limitations.Key words: Laplace transform; Laplac
22、e inverse transform; ordinary differential equation; partial differential equation; particular integral致谢 感谢我的导师韩新华老师，她渊博的专业知识，言谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处事的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的细心指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！在论文即将完成之际，我的心情无法平静，本论文顺利完成，还有许多可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！