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1、江苏省常州市八校 2021-2022 学年高三上学期 12 月联考数学试题 一、单选题 1. 若集合且，则（ ） A B C D 2. 已知， 是虚数单位，若，则（ ） A B C D 3. 已知双曲线 ：，则“”是“直线是 的一条渐近线”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4. 函数的部分图象为（ ） A B C D 5. 已知非零向量 ， 满足，则向量 与向量的夹角为（ ） A B C D 6. 有 5 把外形一样的钥匙，其中 3 把能开锁，2 把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3 次
2、就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（ ） A B C D 7. 已知数列的前 项和为，且，若，则称项为“和谐项，则数列的所有“和谐项”的平方和为（ ） A B C D 8. 设，若，则 的范围（ ） A B C D 二、未知 9. 下列说法正确的有（ ） A若，则 B若复数满足，则 C若平面向量 、 满足，则 D在中，若，则为锐角三角形 10. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，
3、则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ） A该半正多面体的体积为 B该半正多面体过三点的截面面积为 C该半正多面体外接球的表面积为 D该半正多面体的顶点数 、面数 、棱数 满足关系式 11. 数列满足，其前 项和为，下列选项中正确的是（ ） A数列是公差为 的等差数列 B除以 的余数只能为 或 C满足的 的最大值是 D 12. 已知椭圆的左，右两焦点分别是，其中.直线与椭圆交于两点.则下列说法中正确的有（ ） A的周长为 B若的中点为，则 C若的最小值为，则椭圆的离心率 D若，则椭圆的离心率的取值范围是 三、填空题 13. 圆柱上?下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为 8
4、，则该圆柱的表面积为_. 14. 已知的展开式中 x 的系数等于 8，则 a等于_ 四、未知 15. 已知函数，当时，恒成立，则实数 的取值范围为_. 16. 在中，设 ， ， 分别为角 ， ， 对应的边，记的面积为，且，则的最大值为_. 五、解答题 17. 已知中，D是 AC 边的中点， (1)求 AC 的长； (2)的平分线交 BC 于点 E，求 AE的长 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，是以为斜边的等腰直角三角形，点 E 为的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 19. 已知等差数列an中，公差 d0，S11=77，且 a2，a61，a11成等比数列. (1)求数列a
5、n的通项公式； (2)若 Tn为数列的前 n 项和，且存在 nN*，使得 Tnan+10 成立，求实数 的取值范围. 20. 如图，椭圆 ：（）的离心率为，直线 ：与 只有一个公共点. （1）求椭圆 的方程. （2）不经过原点 的直线 与平行且与 交于 ， 两点，记直线，的斜率分别为，证明：为定值. 21. 数独是源自 18 世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行?每一列?每一个粗线宫（）内的数字均含 19，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛. （1）赛前小明在某数独 APP上进行一段时间的训练，每天的解题
6、平均速度（秒）与训练天数 （天）有关，经统计得到如表的数据： （天） 1 2 3 4 5 6 7 （秒） 990 990 450 320 300 240 210 现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过 100 天训练后，每天解题的平均速度 约为多少秒？ （2）小明和小红在数独 APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜 4 局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为 ，已知在前 3 局中小明胜 2 局，小红胜 1 局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.参考数据（其中） 1845 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 22. 已知 (1)讨论的单调性； (2)当时，对任意都有成立，求实数 a 的最大值