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1、 第 1 页 共 6 页 2022 届高三第一次联考 数学 试题 试卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 “03”是“30sin2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充
2、分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2已知2i12i1 iz ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3设 a，b 为非零向量，R，则下列命题为真命题的是（ ） A若0aab，则ab B若ba，则abab C若0ab，则0 D若ab，则 0abab 4已知函数 yf x的图象与函数2xy 的图象关于直线yx对称， g x为奇函数，且当0 x 时， g xf xx，则 8g （ ） A5 B6 C5 D6 5如图，抛物线 C：24yx的焦点为 F，直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，l 与 y 轴相交于E 点已知7AF ，3BF ，
3、记AEF 的面积为 S1，BEF 的面积为 S2，则（ ） AS1=2S2 B2S1=3S2 CS1=3S2 D3S1=4S2 6已知3tan20cos703 ，则的值为（ ） A3 B2 3 C3 3 D4 3 7如图，已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1，的底面为平行四边形，E，F，G 分别为棱 AA1，CC1，C1D1的中点，则（ ） 东北育才学校 福州一中 广东实验中学 湖南师大附中 华师一附中 南京师大附中 石家庄二中 西南大学附中 T8 联考 八校 第 2 页 共 6 页 A直线 BC1与平面 EFG 平行，直线 BD1与平面 EFG 相交 B直线 BC1与平面 EFG 相交，直线
4、 BD1与平面 EFG 平行 C直线 BC1、BD1都与平面 EFG 平行 D直线 BC1、BD1都与平面 EFG 相交 8设 a，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若1lnaaebbb，则（ ） Aabe B1abe Cabe D1abe 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9已知函数 sinf xAx（0A，0，2）的部分图象如图所示，则（ ） A f x的最小正周期为 B6fx为偶函数 C f x在区间0,4内的最小值为 1 D f x的图象关于直线23x 对
5、称 10某中学在学校艺术节举行“三独”比赛（独唱、独奏、独舞） ，由于疫情防控原因，比赛现场只有 9 名教师评委给每位参赛选手评分，全校 4000 名学生通过在线直播观看并网络评分，比赛评分采取 10 分制某选手比赛后，现场 9 名教师原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到 7 个有效评分如下表对学生网络评分按7，8） ，8，9） ，9，10分成三组，其频率分布直方图如图所示 教师评委 B C D E F G 有效评分 9.6 9.1 9.4 8.9 9.2 9.3 9.5 则下列说法正确的是（ ） 第 3 页 共 6 页 A现场教师评委 7 个有效评分与 9 个原始评分的中位数相同 B估
6、计全校有 1200 名学生的网络评分在区间8，9）内 C在去掉最高分和最低分之前，9 名教师评委原始评分的极差一定大于 0.7 D从学生观众中随机抽取 10 人，用频率估计概率，X 表示评分不小于 9 分的人数，则 5E X 11设双曲线 C：22221xyab（0a ，0b ）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在 C 的右支上，且不与 C 的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ） A若3a ，2b ，则 C 的两条渐近线的方程是32yx B若点 P 的坐标为（2，4 2） ，则 C 的离心率大于 3 C若 PF1PF2，则F1PF2的面积等于2b D若 C 为等轴双曲线，且122PFPF
7、，则123cos5FPF 12在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=2 3，沿对角线 AC 将矩形折成一个大小为的二面角BACD，若1cos3，则（ ） A四面体 ABCD 外接球的表面积为16 B点 B 与点 D 之间的距离为2 3 C四面体 ABCD 的体积为4 23 D异面直线 AC 与 BD 所成的角为 45 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13设函数 13xf xex的图象在点（1， 1f）处的切线为 l，则直线 l 在 y 轴上的截距为 14已知2nxx的展开式中第 3 项为常数项，则这个展开式中各项系数的绝对值之和为 （用数字作答） 15 数列 na：
8、 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， ， 称为斐波那契数列 （Fibonacci sequence） ，该数列是由十三世纪意大利数学家莱昂纳多斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列” 在数学上，斐波那契数列可表述为121aa，12nnnaaa（3n ，nN） 设该数列的前 n 项和为 Sn，记2023am，则2021a （用 m 表示） 16在平面直角坐标系中，若正方形的四条边所在的直线分别经过点 A（1，0） ，B（2，0） ，C（4，0） ，D（8，0） ，则这个正方形的面积可能为 或 （每条横线上只填写一个可能结
9、果） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 10 分） 已知函数 213sincoscos2222xxxf x （1）设 g xfx，求函数 g x的单调递减区间； （2） 设ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， D 为 BC 边的中点， 若 12fA ，3a ，求线段 AD 的长的取值范围 第 4 页 共 6 页 18 （本小题满分 12 分） 设等差数列 na的前 n 项和为 Sn，已知13a ，315Sa （1）求数列 na的通项公式； （2） 设21nnbS ， 数列 nb的前 n 项和为n
10、T， 定义x为不超过 x 的最大整数， 例如0.3=0，1.5=1当 1263nTTT时，求 n 的值 19 （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，平面 PAB平面 ABCD，PB=AB，E 为 BC 的中点 （1）若PBA=60，证明：AEPD； （2）求直线 AE 与平面 PAD 所成角的余弦值的取值范围 第 5 页 共 6 页 20 （本小题满分 12 分） 设椭圆 E：22221xyab（0ab） ，圆 C：22241xmym（0m ） ，点 F1，F2分别为 E 的左、右焦点，点 C 为圆心，O 为原点，线段 OC 的垂直平分线为 l已知 E 的离心率为
11、12，点 F1，F2关于直线 l 的对称点都在圆 C 上 （1）求椭圆 E 的方程； （2）设直线 l 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，问：是否存在实数 m，使直线 AC 与 BC 的斜率之和为23？若存在，求实数 m 的值；若不存在，说明理由 21 （本小题满分 12 分） 元旦将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛初赛阶段有个人晋级赛和团体对决赛：个人晋级赛为“信息连线”题，每位参赛者只有一次挑战机会。比赛规则为：电脑随机给出错乱排列的五句古诗词和五条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等） ，要求参赛者将它们一一配对，有三对或三对以上配对正确即可晋级。团体对决赛
12、为“诗词问答”题，为了比赛的广泛性，要求以班级为单位，各班级团队的参赛人数不少于30 人，且参赛人数为偶数为了避免答题先后的干扰，当一个班级团队全体参赛者都答题完毕后，电脑会依次显示各人的答题是否正确，并按比赛规则裁定该班级团队是否挑战成功参赛方式有如下两种，各班可自主选择其中之一参赛 方式一：将班级团队选派的 2n 个人平均分成 n 组，每组 2 人电脑随机分配给同一组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功若这 n 个小组都闯关成功，则该班级团队挑战成功 方式二：将班级团队选派的 2n 个人平均分成 2 组，每组 n 人电脑随机分配给同一组 n
13、个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这 n 个人都回答正确，则该小组闯关成功若这 2个小组至少有一个小组闯关成功，则该班级团队挑战成功 （1）甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的五组信息有且只有一组能正确配对，其余四组都只能随机配对，求甲同学能晋级的概率； （2）在团体对决赛中，假设你班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数 p（01p） ， 为使本班团队挑战成功的可能性更大， 应选择哪种参赛方式？说明你的理由 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 lnsinf xaxxx，其中 a 为非零常数 （1）若函数 f x在（0，）上单调递增，求 a 的取值范围； 第 6 页 共 6 页 （2）设3,2，且cos1sin ，证明：当2sin0a时，函数 f x在（0，2）上恰有两个极值点