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1、第三节不等式同步练习（课时2基本不等式）一、基础巩固知识点1利用基本不等式比较大小1.若0a1,0b1,P=m+4m1,Q=5,则P,Q的大小关系为()A.Pm2C.m2m1D.m1,m2的大小无法确定知识点2利用基本不等式求最值4.已知a0,b0,且2a+b=4,则ab的最大值为()A.14B.4C.12D.25.2022江苏扬州高一期末考试若x2,则x+1x2的最小值为()A.2B.3C.4D.56.2022甘肃金昌一中高一期末考试若x0,则4xx2+1的最大值为()A.2B.3C.4D.57.已知a0,b0,则4a+b+1ab的最小值是()A.2B.22C.4D.58.(多选)已知正数x
2、,y满足x+y=2,则()A.xy的最大值是1B.1x+1y的最小值是2C.x2+y2的最小值是4D.1x+4y的最小值是929.若对任意x0,x3+5x2+4xax2恒成立,则实数a的取值范围是.10.已知x0,y0,且2x+8y-xy=0.求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.11.求下列函数的最值.(1)y=x2+2x1(x-2)的最大值.知识点3利用基本不等式证明不等式12.证明下列不等式,并讨论等号成立的条件.(1)若-1x1,则x2(1x2)12;(2)若ab0,则|ba+ab|2.13.已知a,b,c均为正实数.(1)求证:a+b+cab+bc+ac.(2)若a+b=1,
3、求证:(1+1a)(1+1b)9.知识点4基本不等式的实际应用14.2022河南驻马店高一期末考试某批救灾物资随41辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长360 km,为安全起见,两辆汽车的间距不得小于v2900 km(车长忽略不计),要使这批物资尽快全部到达灾区,则v=()A.70B.80C.90D.100 15.2022北京石景山高一期末考试某人计划建造一个室内面积为1 500 m2的矩形温室大棚,并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池,其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5 m宽的通道,两养殖池之间保留2 m宽的通道.设温室的一边长度为x m,两
4、个养殖池的总面积为y m2,如图所示.(1)将y表示为x的函数;(2)当x取何值时,y取最大值?最大值是多少?二、能力提升1. 已知x0,y0,x+2y=3,则x2+3yxy的最小值为()A.3-22B.22+1C.2-1D.2+12.2022重庆高一期末考试已知2a-b=2,且0a+b0,y0,x+2y=1,则xy2x+y的最大值为.5.2022江苏南京高一期末考试若正实数a,b满足a+b+2=ab,则a+b-2的最小值为;3a1+7b1的最小值是.6. 中国汉代数学名著九章算术中有一问题为“设一直角三角形(如图1)的两直角边长分别为a和b,求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长”.
5、数学家刘徽利用出入相补原理给出了上述问题如图2和图3所示的解答,则图1中直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为,当内接正方形的面积为1时,则图3中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为.7.2022安徽芜湖高一期末考试设a,b,c为正实数,且a+b+c=1.证明:(1)1a+b+1b+c+1c+a92;(2)a3+b3+c3ab+bc+ca3abc2.8.为发展空间互联网,抢占6G技术制高点,某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解,该企业研发部原有100人,年人均投入a(a0)万元,现把研发部人员分成两类:技术人员和研发人员,其中技术人员有x名(xN*且
6、45x75),调整后研发人员的年人均投入增加4x%,技术人员的年人均投入调整为a(m-2x25)万元.(1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入,则调整后的技术人员最多有多少人?(2)是否存在实数m同时满足两个条件:技术人员的年人均投入始终不减少;调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.参考答案一、基础巩固1.D2.C3.C4.D5.C6.A7.C8.ABD9.(-,910.(1)xy=2x+8y216xy,当且仅当2x=8y,即x=16,y=4时等号成立,xy8,xy64,xy的最小值为64.(2)由2x+
7、8y=xy,得2y+8x=1,x+y=(x+y)(2y+8x).=10+2xy+8yx10+22xy8yx=18,当且仅当2xy=8yx,即x=12,y=6时等号成立,x+y的最小值为18.11.(1)y=x2+2x1=(x1)+12+2x1=x-1+3x1+2=2-(1-x)+31x2-2(1x)31x=2-23,当且仅当1-x=31x,即x=1-3时取等号,所以y=x2+2x1(x0),则x=t2-2,y=t2t2+1=12t+1t122t1t=24,当且仅当2t=1t,即t=22,即x=-32时,等号成立.故y=x+22x+5(x-2)的最大值为24.12.证明(1)因为-1x1,所以0
8、x21,1-x20,所以x2(1x2)x2+(1x2)2=12,当且仅当x2=1-x2,即x=22时,等号成立.(2)因为ab0,当ab0时,|ba+ab|=ba+ab2baab=2,当且仅当a=b0时等号成立.当ab01500x50,所以3x300.则养殖池的总面积y=(x-3)(1500x-5)=1 515-4500x-5x,3x300,(2)由(1),知y=1 515-(4500x+5x)1 515-24500x5x=1 515-300=1 215,当且仅当4500x=5x,即x=30时等号成立,所以当x=30时,y取最大值,为1 215.二、能力提升1.B2.A 3.C4.195.23
9、276.aba+b27.证明(1)由题意,得1a+b+1b+c+1c+a=12(2a+2b+2c)(1a+b+1b+c+1c+a)=12(a+b)+(b+c)+(c+a)(1a+b+1b+c+1c+a)=12(3+a+bb+c+b+ca+b+c+ab+c+b+cc+a+c+aa+b+a+bc+a)12(3+2a+bb+cb+ca+b+2c+ab+cb+cc+a+2c+aa+ba+bc+a)=92(当且仅当a=b=c=13时等号成立).(2)由题意,得a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)(1-c)ab,b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)(1-a)bc,c3+a3=(c+a)(c2+
10、a2-ca)(1-b)ca,由+,得2(a3+b3+c3)ab+bc+ca-3abc,即a3+b3+c3ab+bc+ca3abc2(当且仅当a=b=c=13时等号成立).8.(1)依题意可得调整后研发人员有(100-x)人,年人均投入为(1+4x%)a万元,则(100-x)(1+4x%)a100a,解得0x75.又45x75,xN*,所以调整后的技术人员最多有75人.(2)假设存在实数m满足条件.由条件,得a(m-2x25)a,得m2x25+1.又45x75,xN*,所以当x=75时,2x25+1取得最大值7,所以m7.由条件,得(100-x)(1+4x%)aa(m-2x25)x,不等式两边同除以ax,得(100x-1)(1+x25)m-2x25,整理得m100x+x25+3,因为100x+x25+32100xx25+3=7,当且仅当100x=x25,即x=50时等号成立,所以m7.综上,得m=7.故存在实数m为7满足条件.学科网（北京）股份有限公司