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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流专题讲座初中数学统计与概率【精品文档】第 10 页专题讲座初中数学统计与概率 一、第三学段概率统计的定位 （一）概率的定位 1经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据。 统计最重要的是整个过程，统计就是要从数据里得到信息，在这个过程中收集、整理、描述、分析都是必须的。在教学中学生应该了解并学会如何处理统计的整个过程，不能很片面的认为统计仅仅是对内容的分析。 在小学的第一学段，即小学一到三年级，要帮助学生学会对于一些事物进行分类，其中包括一些对数据的分类，这种分类讨论，对于将来处理数据，是一个非常重要的基础。到
2、了第二学段，学生应该不仅会收集数据，还应该可以处理一些数据，这就需要把数据用某种方式表达出来，比如说统计图表。学生经过整理数据，然后描述数据，最后分析数据的整个过程。 所以整个这个过程，就像张老师强调的。在不同的年龄段，我们分析的对象不一样，分析的复杂程度不一样，但是这个基本过程始终是一样的。 在初中收集数据和在小学收集数据有什么差异。在小学收集数据，学生可能更多的是自己去收集，比如收集全班同学的身高，或者视力情况，那么到中学以后，学生不仅可以自己去收集，还可以去查阅资料，因为他学的知识多了，他可以利用现成的数据，比如说利用家长的资源，利用网络的资源，利用报纸上的一些信息，这样他数据的来源，就
3、不仅仅是自己去调查，去收集，还有从别人那现成拿来使用的。从数据来看，比小学生就灵活多了、数据的来源也丰富多了。小学一个是自己收集，一个是老师提供他一些可以供他分析的数据，在初中，希望孩子接触的数据更多一些，所以他得到数据的来源，可能就丰富一点，这是和小学一个很大的差别。 2体会抽样的必要性，通过案例了解简单随机抽样（参见例 68 ）。 体会抽象的必要性，通过案例了解简单数据抽象，也是到了第三学段特别突出的一点。当我们面对这个对象，比如说从特别特别大的时候，想了解整个北京市 18 岁男孩的身高，特别大的时候就使得误差程度，这就抽象数据，其次一个我想就是有一些抽样的破坏性的实验，我要了解灯泡的寿命
4、，我很长时间就要点，点完以后就会报废掉，点完就会报废掉，也是不可能做的，所以这个抽样的必要性呢，要通过一些实例才能够了解。 除了抽样的必要性以外，我们还应该理解抽样的合理性。抽样如果做的不好，没有代表性，得到的结论就会有所歪曲，有所看法，所以我们通过案例了解简单抽样不仅是了解这种做法，实际上了解简单数据抽样，它是比较合理的。 在初中阶段和小学阶段，一个明显的差异在收集数据上，就是我们要抽取样本。原来是以普查为主，现在要既会普查，通过普查的方式，来得到数据，又要初步的学会通过抽样的方式，特别是随机抽样的方式，来体会抽样的必要性和合理性。比如说破坏性的东西，你总是要抽取其中一部分，来替代这个整体，
5、要去体会抽样的必要性。另外，我们要体会随机的必要性，随机的必要性的核心是合理。所谓合理，就是能反应整体的面貌。如果不能反应整体的面貌，显然就不合理，比如：你了解成绩只了解实验班的成绩就不太不合理；你调查大家是不是喜欢看哪个电视剧，你只招年龄低段的人去调查，也不合理，因为随着年龄的不同，大家的爱好会发生变化。所以怎么样合理的进行抽样，是我们在初中需要体会的一件很重要的事情，这样的一个变化老师在教学中应该清楚。 3会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据。 第二学段要求学生认识这些图的意义。但在第三学段要求学生会制作这些图，包括直方图。那么在这里头绘画图我想怎么理解？用这个怎么定理？包括前
6、面用计算器处理复杂的数据，怎么理解，就是说这个绘画图我觉得第一位，就是我要画一个，我要什么目的，我要反应什么信息，根据这个信息，我来选择画什么样的图，比如说我要反应他的百分之比是多少？比如说这个 08 年奥运竞赛上，如果你想反应中国第一，美国第二，多少那可能是一个条形图，你要反应一下中国金牌整个金牌，那可能扇形图，所以这个绘制图的话，第一位的是，在绘画图时，根据目的选择合适的图是最重要的。 关于图表制作方面，对于图的处理方面，希望老师清楚，第一，不同的统计图表，可以帮助我们整理和描述数据；第二，初中和小学的差异是什么？小学阶段要让学生会看懂、识别。初中阶段就要求学生会制作图，如制作扇形图和直方
7、图；第三，为何要画这个图，目的是什么？制作图表的目的不是仅仅会画这个图，而是希望把这些数据中的某些信息凸现出来，所以不仅要会画扇形图和直方图，还要理解这些图表对展示信息有什么作用？第四，自己选择统计图表，用合适的方式最好的表达数据中所蕴含的信息。画图的目的，不是为了画图而画图，而是为了把数据中蕴含的重要信息凸现出来，让你们看的清楚，一目了然，读图在这个过程中仍然是重要的。 4理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述（参见例 69 ）。 我们把数据进行加工后，构成了一些数字特征，其中平均数是最重要的。在这一阶段，可对平均要求最高的，了解他们是数据，几种趋势方
8、法，第一，最重要还是要平均数，其次就是众数和中位数。 刻画集中趋势的参数中最核心的是平均数，我们对平均数作一点拓展，即加权平均数。对于加权平均数，它的出现是很自然的，在教学时要让学生比较自然的认识它。简单的讲，加权平均数就是反应大家做的贡献不一样，有的贡献大一点，有的贡献小一点。比如在一组分数中 95 分的多，那么 95 分在平均分里就贡献大一点，一百分的少，那么一百分在整个平均分中，做的贡献就小一点，占的成分多一点，权重大一点，从而拓展到我们对事物的看重程度。这样的理解是循序渐进的。对于加权的认识，在高中和大学仍然是我们要不断学习的。 5体会刻画数据离中程度的意义，会计算简单数据的方差（参见
9、例 70 ）。 第一，在所有的数据特征数里，可以分成两类，一类是反映这个数据集中程度的特征数，一类是反映数据离中程度的特征数，这是反映数据性质的两类不同的特征数，学生能够理解他们的差异，而平均数，中位数，众数，它反映的意思比较接近。 第二，教师不要从抽象的定义出发来讲解，要通过具体的实例帮助学生去感悟，去认识，去理解。 6通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息（参见例 71 ）。 90 分到 100 分之间，我们班里多少个人？85 分到 90 分有多少人？这就是在算频数。我们把它画成频数直方图，这样可以了解分布的意义，频数分布也就是落在各个段这
10、个频数所占的分布。比起条形图的直观，频数直方图对信息的反应是比较全面的。它也是将来高中学习频率直方图的一个基础。学生在画图的基础上更应该通过尺度的度量来了解频数和频数分布的意义。 频数和频数分布的意义，全面地反映了这个数据带来的信息。我们要不断地理解这些数据所反映的是全面还是分布，他把整个数据的基本状况展示出来我们要把握整体。 7体会样本与总体关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。 我们可以用样本平均数和样本方差来推断总体平均数。在学习总体方差的时候，很多学生会有些困惑，他会认为算出来的样本平均数就是总体平均数。但事实上样本平均数和总体平均数是不一样的。我们应该让学生
11、理解样本可以反映总体的某些问题，但是它和总体的还是有差异的。 8能解释统计结果，根据结果做出简单的判断和预测，并能进行交流（参见例 71 ）。 9通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势（参见例 72 ）。 国民经济总产值，调查了经济发展中的物价上升趋势，根据这些数值可以做解释。比如这几个月，通货膨胀上升的趋势，它是随机测的，并没有把所有的消费水平，物价都算进去，但是我们要根据所得到的这些数据，作出一些简单的判断和预测，而基础就建立在我们的样本、图表和数据特征上。当然我们要认识到，这样的预测是有误差的，甚至还会有扭曲。 （二）事件的概率 1能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所
12、有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率（参看例 73 、例 74 ）。 在某种意义上，所谓简单随机事件，就是指古典概型。首先，我们要了解一个古典概率模型，我们可以列表，画图，把所有的结果都列出来，这是一个计算的过程，方法。虽然计算方法很重要，但是了解古典概率这种等和的模式是非常必要的。第二，教师应该通过实验来让孩子认识到，通过大量地重复实验，可以用频率来估计概率。也是要来首先应该是不确定和随机的，其次才是定性，大量重复实验体现频率问题，即频率稳定性。所以你不能指望向全班咱们扔硬币扔一百次就出现 50 次正面，有的老师就不知道怎么处理的，处理的次数一次，孩子就不对，就不应该
13、，实际上第一位是随机的，这东西太正常了，其次呢，这是怎么样，大量重复实验体现频率问题，频率稳定性，比如说掷出现正负二分之一，掷一个色子出现六分之一，这个二分之一，还是两次，出现一次，六分之一，也不是六次出现一次，他是大量地实验，所以我想我们老师在这些把握上，可能还不够，否则给孩子带来些误导。 第一，初步地理解古典概型，古典概型怎么样进行计算；第二，理解随机现象。什么样的现象是随机现象呢？一个最重要的特征，就是可以重复，经过大量重复，得到一个估计概率的一个重要概念频率。那么这个频率是估计概率的一个重要的概念。小学阶段，某些随机现象的可能性是不一样的。初中阶段，要理解一个特殊的随机现象，对概率的一
14、个基本定位分为两种。一个是具体的古典概型，一个是一般的，即通过大量重复实验用频率去估计概率。 二、统计概率的本质 （一）统计 要了解统计这门课程，需要先理解统计的概念。一般来说，统计主要研究如何搜集数据，如果整理数据，以及如何从数据得到我们所需要的信息。所以统计的核心词是信息，一切都是为了寻找并得到所需的信息。研究如何搜集数据，如何整理所收集的数据来凸现这个信息，无论是算平面数、算中位数，还是画图表、频数分布直方图，都是为了需要凸显的信息，判断是否能够通过统计得到所需的信息，而以此得出的统计推断靠性有多大等等。所以它的核心问题就是信息，而要得到这样的信息，我们就要关注整个过程。因此它跟我们其他
15、的那些数学上的定义、定理、证明不太一样，它是一个从数据里归纳出结论的过程。 统计课程有以下几个关键词。第一，从数据中提取信息，是统计的第一要务。我们围绕着要得到的信息去收集数据，设计整理描述数据的方法，比如说选择不同的图式，无论是直方图、扇形图、折线图，还是其他的图式，都是希望通过它们将信息清晰、准确、直观地反映出来。第二，统计解决问题是靠一个过程来解决的，这个过程包括数据的收集、描述、整理，以及从数据中提取信息，并且用这些信息来说明问题的过程。第三，统计处理问题是一个归纳的过程，特别是在初中阶段，我们不仅要会搜集所有的数据，整个收集过程都是去体现一个归纳的思维，用部分去说明整体，这样才能解决
16、问题。这是解决问题的一种重要的方法，也是一种重要的思维，更是一种重要的推理。 （二）概率 概率研究的是随机现象。随机现象实际就是在相同条件下，可以做大量地重复实验，其结果不确定，但是在大量实验中呈现出一种规律性，我想这三点是随机现象的根本特点。所以不用去给概率下定义，概率的定义也不在我们讨论的范围，但是有几个要界定清楚的问题，比如说结果是在实验之前无法确定的，一些老师如果把握不好，就会把一些在实验之前结果就完全确定的现象当做随机现象来处理。例如，火星上有没有生命，这是完全确定的，要么就有，要么就没有，只是我们不知道，这是未知现象，必须跟随机现象区分开来。 在中学阶段，我们的老师要帮助我们的学生
17、学会识别，什么是随机现象。随机现象有三个基本特征。第一个特征就是在一定条件下，可以重复实验。凡是不能重复的，条件不确定的，就不是随机的。第二个特点，就是在我们研究实验之前，无法知道这次实验的结果。凡是能知道结果的，一定不是随机的。第三个特点，就是由前两个特点衍生出的一个概念频率，即大量实验某一个结果出现的次数。我们说在大量实验的前提下，这个频率将稳定在某一个数值，这是反映了我们随机现象的规律性，它的规律性就是稳定。这三个基本条件，是我们对随机现象进行基本判定的基础。 随机性跟频率稳定性相比，随机性是第一位的，所以教师要和孩子们做一些探究，比如扔 100 次硬币，出现 41 次正面，这是非常正常
18、的，不能指望每次一扔都出现 50 次频率。 三、统计概率教学中的困惑 1关于概率的定义的问题。有很多老师感觉没有定义不踏实，于是要抠这个定义，结果越抠越乱。 概率的确切定义是一个很难说清楚的问题，从某种意义上来说，它是一个哲学问题而非数学问题。所以在数学上对它进行的是一个公平化的定义，所谓的公平化，就是把它定义成一个具有可加性和非负性的量，也就是说把它跟长度、面积、质量、体积之类等同起来。这样的做法实际上在数学领域里是很常见的，比如在几何中，我们不讨论线和点的定义，只讨论它们之间的关系。既然在数学里有这样一个处理定义问题的方法，我们就只强调和把握概率最基本的特点在相同条件下做重复实验，实验之前
19、其结果不可预料，而它的频率则是稳定的。我想这样对我们理解、计算和应用概率，都是很有帮助的。而具体去抠什么是概率，甚至去抠什么是实验，不但无助于我们对概率的理解，反而会造成学生的迷惑。所以说虽然定义在数学里非常重要，但不能把它绝对化，因为它是一个无限上推，不可能完成的任务。所以我们在这里讲概率统计，特别强调案例的教学，希望通过大量例子来帮助大家理解其实质，而不是去苛求准确的定义。 2天气预报经常说，降水概率是 80% ，学生的理解有很大的偏差 在杭州问一个老太太，说下雨概率是 80% 怎么理解，她说 80% 地区下雨，实际上你要理解什么，我们谈到概率，就是说在相同条件下，也就是说明天如果预报降雨
20、的概率是 80% ，一定是我观测的气象条件，在我历史上的资料里头，有跟明天近似，几乎相等的情况下，那在历史中记录了，凡是这样天气里头，大概有 80% 都是下雨了，有 20% 没下雨，因此我就说，又出现这样情况了，那么根据历史的资料，那么我应该是 80% ，也就是说一定是在相应条件下，做重复实验的这些频率稳定性来看的，所以一定不是去抠这样一些东西。 关于概率的几个基本特征，对这几个基本特征的认识，就足以使我们能够很好地区分什么是随机现象，什么不是随机现象，并且如何用随机现象来帮助我们解决一些问题，就够了，那么对于我们的学生和老师来说，没有必要他们必须建立起一个完整地确切的一个定义，专门研究数学的
21、人，或者专门研究概率的人，他们会以某种公平的形势，给出一个自圆其说的定义，有了这三个特征，我们就可以去解释这些现象。在概率里面呢，一定是重视，而不是在所谓严格性去抠，就是说这个必然事件，什么不可能事件，是不是随机事件呢，都是随机性特定的，我觉得像这些东西，其实很清楚，我们把它规定进来了，我们在算时间概率，它也算是其中的一员对不对，就是像这样的一些东西的话，都没有必要在这使劲去抠它。 整个统计，对于定义的看法，都是应该这样，就是你要关注他的意义，比如说中位数，中位数的特征，就在于比它多的那一半，比它少的，那么如果你是偶数个，你这中位数定这么一点，定这么一点，都是无所谓的，因为我最关注的就是比他多
22、的那一半，比他少的那一半，假设 10 数，从这，这样它的缺点就在于它不为 1 ，我们有时候把这两数求一下，统计一下，但是你事情搁在这儿了，因为我们关注的是有一半比他多的，有一半比它说的。这是最关注的，抠这些东西就没有太大的意思。这样就等于把这个变成算术了，完全失去了，我们引入中位数这个概念的实质性的作用，所以有中位数，也可能产生四分位数，也可能产生八分位数，那都是根据在具体情景的需要，引入的这些概念，来反映集中的程度，或者集中偏差的程度等等等等。同样像众数，出现最多的那数，众数，它是反映这个数据里的一个信息。 3有时候考试的时候，画图，对于这个直方图有一个数，属于它好，什么半开半避这些怎么看待
23、这件事情。 画图的基本方法，当然要会，分组画图，但是呢，在很多细节里头，都不是很多，特别是我们数据中，抽样地来，有它的随机性，有误差，你说是左边避右边开，还是右边避左边开，都是问题不大，你比如说这个直方图，我们有了直方图以后，我们有时候把那个每一个小矩形的中间，连成一个折线，那么有的学生，有的老师就问了，这个我最右边这是在那儿，这边就没有了，这点要不要连呢，下面要不要连，就争吵这个问题，但是你要知道，比如说我考虑的是这个身高，比如说，我量初三人的身高，这一块是 1 米 4 到 1 米 65 的，那么为什么不可能就这个别还会有 1 米 3 ，未尝估计一下是不可以的，还是可以的，但是如果我考虑这个
24、，我这预期这孩子的年龄，他是从 0 开始的，0 到 5 ，5 到 10 的话，你再连着这边出现负的就没有意义了。 统计它有很强的实际背景，但这实际背景需要结合，比如说出了一个矿难，我就非常关心死亡的人数，或者出了一个禽流感，这个人数，这个频数，这个数就变得非常平等，你说百分比就不行，一般人也不接受，但是如果从我考察一个学校里头，这老年人里头多少高血压的，可能百分比比那个频数，频率比频数就更重要了，在不同情况下，我关注的东西都是跟实际联系的，所以绝对不是直接地就抽象去做一个定义的。 4有一些教学中，讨论所谓用概率来讨论公平性的问题这个问题怎么看？ 我们并没有给公平在数学上给一个很明确的意思，不太
25、主张在我们这个大量地去来讨论这个问题，现在这些问题问得越来越复杂了。比如说咱们两个人说这有一张票，我们两个人要一张票，只能有一个人去，我们就开始扔硬币，或者说掷一个色子，二四六我就去，这个显得就很公平，因为我们的机会是一样的，你看掷出一三五我去，掷出六他去，就不公平了，但是公平程度应该可能不止在这个概率的问题，还应该有一个得到的好处有多少的问题，比如说咱俩概率都一样，扔出正面你拿走，扔出反面，这有两张票，扔出正面你拿走这个，扔出反面我拿走这个，这两票的价值非常非常不一样，我们俩概率当然相等，但是这个也是不一样。所以这东西我觉得是一个比较复杂的问题，在现实中，所以我觉得没有在这个必要，虽然我们非
26、常主张我们概率的一些应用，包括你在班上组织一些活动，抽签什么的，但是过分地去讨论公平问题。 决定公平的因素是多方面的，其中概率相等是影响公平的一个因素，在不同情况下，影响公平的主要因素是谁，我们要清楚，也许并不一定是概率相等不相等是主要因素，如果两张票的面额不一样，那么你这个概率相等不相等的作用就没有那么大了，所以公平是一个相对复杂一点的问题，如果我们老师一定愿意用这样的一个情景来理解概率，一定要界定清楚，让学生体会到，在这个情景中，这个概率是起了主要作用的，而不要让学生产生误解，只有概率是决定公平性唯一标准，那么这样就误导了学生的理解。 5老师举出来的例子，引入的例子，可能不是我们所谓随机现
27、象，对这样的一些情况有什么样的建议？ 概率的最基本的三条，相同条件下做重复实验，结果不确定，和频率稳定性，把这三条我觉得我们把握住了，这样我们就不会出现大的偏差，否则有时候我们老师自己也有讲糊涂，把这些东西全都混在一起，我觉得，因为在初中我没有怎么教，但是我非常希望在初中开发一些好的例子，这些例子不一定是很难，但是呢，比如说要让他觉得还是有用的，别管你是估计鱼也好，估计什么，有用，另外让他知道，因为概率嘛，他既然结果不确定，很多人就觉得，学概率有什么用啊，但实际上你要让他体会，你比如说有两个工厂，这个工厂生产的产品，四平米只有百万分之一，那个四平米只有十分之一对不对，那么如果我不知道，我去买那
28、十分之一的产品，我可能买到好的，十分之一，如果我告诉你概率了，说这个百万分之一，你去上这买去，偏偏那个百万分之一就让你给买到了，好像学到概率没什么，知道以后也没什么用，但是首先我们要知道，第一这是随机现象，本性无法避免的，现实，这随机现象就是这样，但是他对我们还是有指导作用，也就是说如果我是买，还是要去买这个产品，也就是说我们能通过一些简单的例子，让孩子对这个了解的随机现象。 6通过活动的形式，来帮助我们学生去理解和认识，统计和随机现象，这样是不是一种好的处理方式? 用活动的方式来让学生做能非常好地发挥学生的积极性，他的热情非常非常好，自己去搜集数据，自己去先设计搜集方案，搜集数据，去查资料，
29、然后来做，然后互相之间评价，评比，他就特别能容易挑出别人的毛病，这毛病实际上也可能就是他自己也有的毛病，然后有一个区分提高，我觉得这样一个过程，能让他终身不忘，他这样统计的结果。而我们要讲这个步骤，第一步怎么做，第二步怎么做，这东西我想就丧失掉了这样的意义了。 四、教师专业发展的有关问题 概率统计进入中小学课程，对于教师的专业发展提出了挑战。那么我们老师应该如何不断地提高自己来应对挑战呢？以下从三个角度给老师提出一些建议。 首先，数学方面，因为概率统计进入到中学，初中，时间还不是很长，而概率统计，特别是概率这些感觉都不是很好理解的一个概念，咱们国家进入市场经济也比较晚，有些情况不是靠做一道题，
30、两道题就能弄清楚的，像抽签跟顺序无关，你尽管做题得出的结论，但是在心理上，还是不舒服，就很多这样的问题还是在这存在的，所以我想对我们来说呢，在数学上有一个提高的过程，当然对我们初中老师来说，起码应该把高中中的概率和统计的内容，你应该要比较熟悉，因为大学学的可能比较远了，或者也不太熟悉，但是因为你的课是给高中，他进一步学习，是要在高中学的，起码你应该了解一下高中对抽样他讲了一些什么东西，他在统计过程里，更强调一些什么东西，包括概率，包括古典概型，这些东西，我觉得这是一个非常重要，最起码应该要了解，这样咱们很好地把握初中的教学，如果你对高中的定位，各方面都不太熟的话，可能不太有利于对初中的教学，所
31、以我想在这一点就特别希望我们老师能够关心一下高中的概率统计的教学。 其次，要了解数学模型和实际问题的关系，那么数学模型是一个被理想化了的一个东西，但是实际问题是具有多种因素的问题，那么在我们解决问题的过程中，我们需要对我们的模型进行选择，来解决问题，我想这是我们在概率里头需要学到一些东西，另外我们希望他的教学模式和初中一样，案例出发，能采取活动更好，这样才能让学生学习概率的积极性调动起来，关于统计呢，我想和初中一样，一定要帮助在初中的基础上，能够完善和提升我们统计处理问题的全过程，包括数据的收集，数据的整理，数据的描述，从数据中提取信息，并用这些信息解决问题，只是我们抽样的方式整理和描述数据的方式，以及我们提取信息的多少发生了一定的变化，我们解决问题的广度，我们解决问题的深度，发生了一定的变化，另外呢，我们也希望老师能掌握几个基本的重要的统计模型，比如说回归分析，独立性检验等等，这些学习我们希望初中的老师依然能够了解，在统计的教学中，和概率一样，我们仍然强调案例教学，活动教学，强调过程，强调抓住本质的东西。 最后，要了解学生，了解学生喜欢做什么，那我们就设计学生喜闻乐见的事情，对学生有挑战的事情。做中学，在开发案例的过程中提高自己的教育的本领，教育自己驾驭学生的本领，也提升自己的数学素养。