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1、84届,普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1数集X=（2n+1），n是整数与数集Y=（4k1），k是整数之间的关系是（C）（A）XY（B）XY（C）X=Y（D）XY2如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点
2、，那么（C）（A）F=0，G0，E0.（B）E=0，F=0，G0.（C）G=0，F=0，E0.（D）G=0，E=0，F0.3.如果n是正整数，那么的值（B）（A）一定是零（B）一定是偶数（C）是整数但不一定是偶数（D）不一定是整数4.大于的充分条件是（A）（A）（B）（C）（D）5如果是第二象限角，且满足那么（A）是第一象限角（B）是第三象限角（B）（C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D）是第二象限角二（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答： 2.函数在什么区间上是增函数？答：x-2.3求方程的解
3、集答： 4求的展开式中的常数项答：-205求的值答：06要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答： 三（本题满分12分）本题只要求画出图形1设画出函数y=H(x-1)的图象2画出极坐标方程的曲线2O12X解： 1Y10O1X四（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为，且从而c与b或交于一点或互相平行1若c与b交于一点，设所以,b,c交于一点（即P点）Pbcbc2.若cb,则由所以,b,c互相平行五（本题满分14分）设c,d,x为实数，c0，x为未知数讨
4、论方程在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是： 由条件（4）知，所以再由c0，可得又由及x0，知，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及，知因此，原条件可简化为以下的等价条件组： 由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立： c0,1-d0,即c0,d1;c0,1-d0,即c0,d1.再由条件（1）（5）及（6）可知从而，当c0,d1且时，或者当c0,d1且时，原方程有解，它的解是六（本题满分16分）1设，实系数一元二次方程有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1，Z2求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2求
5、经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）解：1.因为p,q为实数，z1,z2为虚数，所以由z1,z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，所以椭圆短轴在x轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|,焦距离=2c=|z1-z2|=,长轴长=2a=2.因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴设椭圆左顶点为A（x,y），因为椭圆的离心率为，所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的，从而左焦点F的坐标为设
6、d为点M到y轴的距离，则d=1根据及两点间距离公式，可得这就是所求的轨迹方程七（本题满分15分）在ABC中，A，B，C所对的边分别为,b,c，且c=10，P为ABC的内切圆上的动点求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值解：由，运用正弦定理，有因为AB，所以2A=-2B，即A+B=由此可知ABC是直角三角形由c=10，如图，设ABC的内切圆圆心为O，切点分别为D，E，F，则YB（0，6）DEOP（x,y)XOC（0，0）A（8，0）AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2.如图建立坐标系，则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P的
7、坐标为(x,y),则因为P点在内切圆上，所以，S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为从而因为，所以S最大值=80+8=88，S最小值=80-8=72八（本题满分12分）设2，给定数列xn,其中x1=,求证： 1231证：先证明xn2(n=1,2,）用数学归纳法由条件2及x1=知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知再由归纳假设知不等式成立，所以不等式也成立从而不等式xn2对于所有的正整数n成立(归纳法的第二步也可这样证： 所以不等式xn2(n=1,2,）成立）再证明由条件及xn2(n=1,2,）
8、知因此不等式也成立（也可这样证：对所有正整数n有还可这样证：对所有正整数n有所以）2证一：用数学归纳法由条件x1=3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k1)时成立当n=k+1时，由条件及知再由及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式也成立，从而不等式对所有的正整数n成立证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法： 由条件知再由及归纳假设可得3证：先证明若这是因为然后用反证法若当时，有则由第1小题知因此，由上面证明的结论及x1=可得即，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线L相切于点A，一动点P自切点A沿直线L向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M又知当AP=时，点P的速度为V求这时点M的速度MO1DCAPL解：作CDAM，并设AP=x，AM=y，COD=由假设，AC的长为，半径OC=1，可知考虑APMDCM，而（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次） 3