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1、第七、八讲 关于单纯形法概念，以前已讲过，本章讲具体计算步骤。该计算方法在计算机上计算。令A为mn矩阵，mn,行线性独立，即秩为m。非退化线性规划的标准形式为：AX=b，X0，CTX=min (1) 如果b是A的不少于m列的线性组合，则称非退化形式。设从 阶段2开始计算，即设已获得初始可行解X（这需阶段1，而 寻找第1个初始可行解亦需用到阶段2算法）。 第七、八讲第七、八讲第七、八讲第七、八讲第七、八讲第七、八讲第七、八讲 表格中，第一部分为A阵所有列关于当前基础列之表达式。第二部分为当前基础解的正分量。第三部分为当前基础阵之逆阵。第七、八讲 设在上述基础解的基础上，将非基矢量as引进基础解集
2、，即asB集；而令原基础解集B中的Vr处原基矢量离开。这两种情况表达形式示于表1-3和表1-4表1-3 原表格（用当前基础解表达矢量） a1asanbe1emV1t11t1st1nt10u11u1m Vrtr1 trs trntr0ur1urm Vmtm1 tms tmntm0um1umm第七、八讲 表1-4 新表格（用新基础解表达矢量） a1asanbe1em(V1)t11t1st1nt10u11u1m as(Vr)tr1 trs trntr0ur1urm (Vm)tm1 tms tmntm0um1umm第七、八讲 其中原表格是已经给出的与当前基础矢量相对应的单纯形表格，新基础解是由原非基矢
3、量as代入Vr所致。其新解所对应的表格形式如表1-4所示，那么新表中各个元素如何根据原表1-3求出呢？现在就对该问题进行推导。因为当前基础解和新基础解都假定是可行的非退化解，因此两表中：ti00 ，ti00 (i=1,2,m) (16)第七、八讲 则，当前基础可行解满足：AX= = = (17)因此，ti0就是X的正分量根据当前基础解来表达as：as=t1sV1+trsVr+tmsVm (18)由于基础矢量V1,Vr, Vm线性无关，因此trs0；njjjax1BjjjaxbVtmiii10第七、八讲 否则，从式(18)中说明，as可由Vi(i=1,m,ir)线性组合，这说明新基础解不是线性无
4、关的矢量构成，与假设矛盾。于是，Vr可根据式(18)表达为： Vr= (19) 从假设知，新基础解基础矢量为：(V1)=V1, ,(Vr)=as, ,(Vm)=Vm (20)为获得新表格，系数tij应满足：)(11mriiiissrsVtat第七、八讲 aj=t1j(V1)+ +trj(Vr)+ +tmj(Vm)这表明 aj = trjas+ (21)(式中， 表示 ，下同)这唯一地定义了新表格中的系数。而根据当前基础解，存在： aj = trjVr+ (22)riiijVtrimrii 1riijiVt第七、八讲 现在，把Vr用式(19)代入，则式(22)变为： aj = (23)将aj的两
5、个表达式(21)和(23)的矢量系数加以比较，便可得出下述关系：当i=r时, trj=trj/trs (24)当ir时， tij=tij(tis/trs)trj (25)riiijmriiijsrsrjVtVtatt)(1riirsrjisijsrsrjVttttatt)(11第七、八讲 对于扩充表格右边系数uij的表达更没问题。可把单位矢量ej作为扩充矩阵A，I的列，就像阶段法1做的那样，可设：e1=an+1，e2=an+2，em=an+m (26)于是，我们可定义：uij=ti,，n+j (i,j=1,2, ,m) (27)在式(24)和(25)中，用n+j代替j可得当i=r时，urj=u
6、rj/trs (28)当ir时，uij=uij(tis/trs)urj (29) 第七、八讲 上述公式的含义如下：如果用as代替Vr而形成新基础可行解，则称原表中的r行为支点行原表中的s列为支点列trs为支点元素支点行(r)：新表r行原表r行/trs非支点行(i):新表i行=原表i行i（原表r行）第七、八讲 从上所述，如果知道原表格的支点行和支点列，那么，新的表格便可应孕而生。于是如何选择支点行和支点列便是单纯形表格的关键问题，下面就分别阐述这两个问题。第七、八讲 选择支点行即是假设支点列已选定（即已知道应引进的非基础矢量），应令哪一个基础矢量离开的问题。支点行的选择原则是新解可行，即新表格中
7、的ti0（i=1,m）0(对于非退化)。即，若r行被选中，则必须满足：tr0/trs=minti0/tis：tis0，i=1, ,m这就是r行被中的充分必要条件，对于非退化情况，r行能被唯一确定。第七、八讲 在选择支点行之前，必须首先选择支点列，其原则是，新矢量进入基础解使费用尽量小，即最优性选择。旧费用为： CTX= (32) 表明基础矢量Vi的单位费用。如果决定选支点列s，那么新的解的费用是多少呢？根据： as =0 (33) 及 = AX = b (34)0101ccmmBjjjttxcicmiiisVt1miiiVt10第七、八讲 将(33)式乘以再加(34)式得：as+(35) 于是
8、，得出一组新解，其新解的费用为：cs + (36) 而 =旧费用，令 (37)故 新费用=旧费用（zscs） (38)miiisibAXVtt10)()(miiisitt10c)(miiit10cmisiiszt1c 第七、八讲 即，要使费用减少，只有zscs 0才行，这和在第五节所得结论一致。即可得出下述结论：从式（35）看出，若所有tis0,则当时，X（）永远可行，若此时，zscs 0,则最优目标值无界，即可无穷小。若zscs 0且至少有一个tis0，则s列是被选中之一，若有若干列的zscs 0,则通常选择最大的zscs 作为支点列，然后根据前面讲的选择支点行标准选取支点元素并构成新的表格
9、。第七、八讲 当选中s列作为支点列时，其新费用减少值为*（zscs）,其中，*是新基础解中as的系数。（as=(vr)）,我们有：*=tr0=tr0/trs如果，旧费用为z0,新费用为z0，则有 z0= z0 tr0 (39) 对于原扩充表格：T；U=M1A，b；I，显然缺少一些信息，即检验数信息，现可把它放在表格最后一行：z1c1，,zncn，z0；y1，ym (40) rssstcz第七、八讲 这一行称为判断行或检验行。该行各元素含义如下： 前n个元素之表达式为 zjcj= (j=1, ,n) (41) 如果aj是当前基础解集，则：zjcj =0如果aj不是当前基础解集，则： 元素z0是当
10、前费用， (42) mijiijcct1已达最优若所有可作支点列若, 0)2(, 0) 1 (jjjjczjczXCXCctzTTmiii100第七、八讲 最后m个元素定义为： (j=1,m) (43)其中uij =U是基础阵M之逆阵，则YT含义为： 因此，YT是方程解，在最后阶段，当所有zjcj0时，YT将是下述对偶问题最优解：YTACT, YTb=max其中，YT将满足： YTaj=zjcj。miiijjuy1c)(TTBkcaYCMYUCYkkTTT或第七、八讲 加进判断行后，表格变为： (44)判断行之计算：新判断行=旧判断行-0乘支点行 0=（zscs）/trs (45)证明从略。t
11、11t1nt10u11u1mtm1tmntm0um1ummz1c1zncnz0y1ym第七、八讲 至此，单纯形表格法的基本步骤已推导完毕，下面举例来说明单纯形表格的应用。例1-21 已知线性规划为：AX=b，X0，CTX=min其中： A= ， b= ，CT=7，1，1 (46) 例1-21应用阶段1，求出式(46)的初始基础可行解。解为了求初始基础可行解，要引进人工变量并构成新规划：AX=b，X0，CTX=min 6 5 43 2 1135第七、八讲 1 0 6 5 40 1 3 2 1135 a1a2a3e1e2be1123105e24560113 5790018其中， A= ，（X)T=
12、(x1，x2，x3，s1，s2) b= (C)T=(0 0 0 1 1)现在变成求新规划最优解问题，显然，此规划的第1个基础可行解为：s1=5,s2=13,X=0,其相应表格为：(47) 第七、八讲 初始表格判断的计算很简单： ，例如z1c1= (1,4) c1= 50 = 5从判断行看出，最大的判断元素为z3c3=9。故a3应进入基础解，支点列s=3（当然a1，a2进入也行），然后选支点行： 故支点元素为t13=3,于是用公式可计算出第2个表格。 11jjjjctcz c)(135613,35minr第七、八讲a1 a2 a3 e1 e2 ba3 10e2 21021321030331323
13、135(48)从表格（48）看出，max（zjcj）= z1c1 =2,故令a1进入基础解集，然后选支点行r： 第七、八讲支点元素为t21=2。经变换，得出下述表格(49)： 2r3/23/2 3135min， a1a2a3e1e2ba301/212/3-1/67/6a111/20-11/23/2 000-1-10(49)第七、八讲判断行zjcj全部0，故达最优，且z0=0。说明原问题存在可行解，且第1个基础可行解即为新规划的最优解：x2=0, x3=7/6, x1=3/2。于是阶段1结束。例1-22 求解（46）式的最优解。即进行阶段2。解将例1-21求得的新规划最优表格转换为原规划的初始单
14、纯形表格。转换原则是：1）表的上面m行基本不变，新表右半部uij与原表人工变量矢量所对应的tij一致。2）表的判断行，需按照原规划的目标系数重算。第七、八讲计算的初始单纯形表格如表格(50)：比较(49)与(50)，看出：把e1，e2列移往右边21a1 a2 a3 be1 e2a3 01a1 10103035/319/310/3216732232161(50)第七、八讲C2121672332319判断行不同，因阶段1时的新规划费用系数为CT=（0 0 0 1 1），而原规划为CT=7 1 1。初始解的基础矢量为a3，a1， =(1 7)。 例： z2c2= 1+ 71=3 z0= 1+ 7=3
15、5/3y1= 1+ (-1) 7= 第七、八讲13 ,37min21232167minr，21从表格（50）看出：z2c2=3为唯一正值，选s=2。选支点行：trs= V1 =a2(代替a3)最后表格： a1a2a3be1e2a20127/34/3-1/3a110-11/3-5/32/3 00-614/3-31/313/3第七、八讲则知，所有zjcj0 (j =1，2，3)，已达最优。最优基础可行解：x2= ， x1=min cost = CTX = z0 = 最优对偶分量： y1= , y2=检查条件：AX=b, X0, YTACT , CTX=YTb 。全部符合条件。 3731314331
16、313eNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E
17、3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qY
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19、G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZn
20、WkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H
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23、E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!q
24、YmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(unWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4
25、C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZn
26、WkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D
27、1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oW
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