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1、含绝对值不等式的解法87573 Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date1若若a0，且，且|x|a，则，则_；若；若a0，且，且|x|c(c0)型不等式的解法：型不等式的解
2、法：(1)换元法：令换元法：令taxb，则，则|t|c，故，故_ ，即，即_或或_，然后再求然后再求x，得原不等式的解集，得原不等式的解集xa或或xaaxc或或tcaxbc3解解|xa|xb|c、|xa|xb|c型型不等式，除分段讨论法外，还可用不等式，除分段讨论法外，还可用_ (课本上叫做图象法、几课本上叫做图象法、几何法何法)函数法或几何意义函数法或几何意义 解下列不等式解下列不等式(1)|2x5|7x.(3)|x23x1|a，|x|a的解集形式的解集形式【解】【解】(1)原不等式等价为原不等式等价为72x57.122x2，6x1，原不等式解集为原不等式解集为x|6x7x，可得可得2x57
3、x或或2x52或或x2或或x4变式训练变式训练1解不等式解不等式|2x1|23x. 解不等式解不等式1a与与|x|a的解法来转的解法来转化该不等式化该不等式考点二双向的绝对值不等式双向的绝对值不等式例例2法二：原不等式可转化为法二：原不等式可转化为72x1或或12x7，3x9或或5x1，原不等式解集为原不等式解集为x|5x1或或3x9【名师点评】【名师点评】本例题是不等式的一种常见本例题是不等式的一种常见题，第二种解法要比第一种解法更为简题，第二种解法要比第一种解法更为简单也可根据绝对值的意义解题单也可根据绝对值的意义解题变式训练变式训练2解不等式解不等式1|x2|3. 已知集合已知集合Ax|
4、2x|5，Bx|xa|3，且，且ABR，求，求a的取值范围的取值范围【思路点拨】【思路点拨】化简两个集合，求出解集形化简两个集合，求出解集形式，通过两解集区间端点的关系求式，通过两解集区间端点的关系求a.考点三含参数的绝对值不等式含参数的绝对值不等式例例3【解】【解】Ax|2x|5x|x2|5x|5x25x|3x2.【思路点拨】【思路点拨】可用零点分段讨论，可用图可用零点分段讨论，可用图象法，也可用绝对值几何意义求解象法，也可用绝对值几何意义求解形如形如|xm|xn|)a的不等式的求解的不等式的求解例例4其图象如图其图象如图【名师点评】【名师点评】法一关键是找零点，法二关法一关键是找零点，法二
5、关键是正确作出图象键是正确作出图象变式训练变式训练1解不等式：解不等式：|x2|x1|3x.形如形如|xm|xn|)xp的不等式的解法的不等式的解法例例5【解】【解】原不等式变为原不等式变为|x1|x2|3x，当当x2时，原不等式变为时，原不等式变为x1x23x，即即x6，x6；当当1x3x，即即x2，x ；当当x3x，即，即x0，x0.综上可知，原不等式解集为综上可知，原不等式解集为x|x6【名师点评】【名师点评】以上例题用的解法叫零点分以上例题用的解法叫零点分段讨论法，含绝对值两个或两个以上的不等段讨论法，含绝对值两个或两个以上的不等式常用此法首先找到使每个绝对值等于零式常用此法首先找到使
6、每个绝对值等于零的点，然后分段讨论，再求各段结果的并的点，然后分段讨论，再求各段结果的并集一般地，集一般地，n个零点把数轴分成个零点把数轴分成n1段段变式训练变式训练2解不等式：解不等式：|x1|3x5|4x4.当当x1时，有时，有x13x54x4.44成立，成立，原不等式解集为原不等式解集为x|x1 (1)对任意对任意xR，若，若|x3|x2|a恒恒成立，求实数成立，求实数a的取值范围的取值范围(2)关于关于x的不等式的不等式a|x3|x2|的解集非的解集非空，求实数空，求实数a的取值范围的取值范围(3)关于关于x的不等式的不等式a|x3|x2|在在R上无上无解，求实数解，求实数a的取值范围
7、的取值范围形如形如|xm|xn|)a恒成立的问题恒成立的问题例例6【思路点拨】【思路点拨】对对(1)来说，来说，af(x)对对xR恒恒成立等价于成立等价于af(x)的最小值，求的最小值，求f(x)的最小值，的最小值，只需使用含绝对值的重要不等式只需使用含绝对值的重要不等式|x3|x2|(x3)(x2)|5，求出，求出|x3|x2|的最小值，则问题获解的最小值，则问题获解对对(2)(3)来说，问题的关键是如何转化，是来说，问题的关键是如何转化，是求函数求函数f(x)|x3|x2|的最大值还是最的最大值还是最小值小值【解】【解】(1)f(x)|x3|x2|(x3)(x2)|5，即即f(x)min5
8、，af(x)的某些值，由题意的某些值，由题意af(x)min，同上得，同上得a5.(3)问题可转化为对一切问题可转化为对一切xR恒有恒有af(x)af(x)min，可知，可知a5.【名师点评】【名师点评】解关于恒成立问题时注意等解关于恒成立问题时注意等价转化思想的应用价转化思想的应用f(x)a恒成立恒成立f(x)maxa恒成立恒成立f(x)mina.变式训练变式训练3若不等式若不等式|x3|x5|8.答案：答案：(8，) 求使不等式求使不等式|x4|x3|a有解的有解的a的取的取值范围值范围【错解】【错解】|x4|x3|x43x|1.|x4|x3|有最小值为有最小值为1.a1时原不等式有解时原不等式有解【错因】【错因】“|x4|x3|a有解有解”理解错理解错上述解法是无解的情况上述解法是无解的情况例例误区警示误区警示法二：设数法二：设数x、3、4在数轴上对应的点分别在数轴上对应的点分别为为P、A、B，由绝对值的几何意义，知，由绝对值的几何意义，知|PA|PB|1时，不等式有解时，不等式有解