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1、单跨超静定梁的杆端弯矩和杆端剪力19.8 Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date本本 章章 内内 容容19.1 超静定结构概述超静定结构概述19.2 力法原理力法原理19
2、.3 力法的典型方程力法的典型方程19.4 力法应用举例力法应用举例19.5 利用对称性简化计算利用对称性简化计算19.6 支座移动时超静定结构的计算支座移动时超静定结构的计算19.7 单跨超静定梁的杆端弯矩和杆单跨超静定梁的杆端弯矩和杆端剪力端剪力19.8 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算19.9 超静定结构内力图的校核超静定结构内力图的校核19.10 两铰拱的计算两铰拱的计算19.11 用弹性中心法计算无铰拱用弹性中心法计算无铰拱19.1 超静定结构概述超静定结构概述所谓超静定结构，是指那些从几何组成分析来说具有几何不变性而又有多余约束的结构。 如图19.1所示的梁具有一个多余约束
3、。又如图19.2所示的桁架具有两个多余约束。上述两个结构都属于超静定结构。 超静定结构中多余约束的选择不是惟一的。 多余约束中产生的约束力称为多余未知力。 只要确定了多余未知力，其余的计算就转化为静定结构的计算问题。 19.1.1 超静定结构的概念超静定结构的概念图19.1 图19.2 超静定结构中多余约束的数目称为超静定次数。判断超静定次数可以用去掉多余约束使原结构变成静定结构的方法进行。去掉多余约束的方式一般有以下几种：(1) 去掉一根支座链杆或切断一根链杆等于去掉一个约束，图19.3。(2) 去掉一个铰支座或拆去联结两刚片的单铰等于去掉两个约束，图19.4。(3) 将固定端支座改成铰支座
4、，或将刚性联结改成单铰联结，等于去掉一个约束，图19.5。19.1.2 超静定次数的确定超静定次数的确定(4) 去掉一个固定端支座或切开刚性联结等于去掉三个约束，图19.6。按所去掉的约束数目可以很简便地算出结构的超静定次数。如从原结构中去掉n个约束结构就成为静定的，则原结构称为n次超静定结构。图19.3 图19.4 图19.5 图19.6 19.2 力法原理力法原理图19.7(a)所示为一次超静定梁，EI为常数。图中虚线表示梁在受力后的弹性变形情况。由图中可见梁A端的线位移及角位移为零，B端竖向位移也为零。现拆去多余约束B端的支座链杆并用多余未知力X1代替B端的约束对原结构的作用，得到如图1
5、9.7(b)所示静定梁。这种去掉多余约束后所得到的静定结构，称为原结构的基本结构，待求的多余未知力X1为力法的基本未知量。 基本结构在B端不再受约束限制，因此在外力P作用下B点竖向位移向下（图19.7(c)），在X1作用下B点竖向位移向上(图19.7(d)。显然在二者共同作用下B点竖向位移将随X1的大小不同而异，由于X1是取代了被拆去约束对原结构的作用，因此基本结构的变形位移状态应与原结构完全一致，即B点的竖向位移1必须为零，也就是说基本结构在已知荷载与多余未知力X1共同作用下；在拆除约束处沿多余未知力X1作用方向产生的位移应与原结构在X1方向的位移相等。即 1=0 (a) 这就是基本结构应满
6、足的变形谐调条件，又称位移条件。若用1P和11分别表示荷载q和多余未知力X1单独作用下基本结构在X1作用处沿X1方向产生的位移，则由叠加原理根据位移条件可得下列方程1=11+1P=0 (b)若X1=1时在X1方向产生的位移为11，则有11=11X1，于是(b)式可以写成11X1+1P=0 (19.1)这就是求解多余未知力的补充方程，称为力法方程。 为了计算11和1P，分别作基本结构在荷载q作用下的弯矩图MP(图19.8(a)和在单位力X1=1作用下的单位弯矩图M1(图19.8(b)，应用图乘法可得代入力法方程式(19.1)得 321111112()233lM dxlllEIEIEI 24111
7、1 13()3248PPqlqlM M dxlllEIEIEI 3421130388lqlXXqlEIEI得多余未知力X1求得后，即可由静力平衡条件求得其余的约束反力和内力。最后弯矩图也可以利用已经绘出的基本结构的M1图和MP图由叠加原理按下式求得M=M1X1+MP也就是将M1图的竖标乘以X1倍，再与MP图中的对应竖标相加。例如MA=MAX1+MAP=l3/8ql-1/2ql2=-1/8ql2 (上侧受拉)最后内力图如图19.9所示。综上所述，我们把这种取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构，利用计算静定结构的位移，达到求解超静定结构的方法，称为力法。用力法计算超静定结构时，解除超静定结构的
8、多余约束而得到静定的基本结构后，整个计算过程自始至终都是在基本结构上进行的，这就把超静定结构的计算问题，转化为静定结构的位移和内力计算问题。 图19.7 图19.8 图19.9 19.3 力法的典型方程力法的典型方程图19.10(a)所示的为一个三次超静定刚架。现去掉固定支座B，加上相应的多余未知力X1、X2和X3，便得到图19.10(b)所示的基本结构。由位移条件可知，基本结构在外荷载和多余未知力X1、X2及X3共同作用下，B处的水平位移1、竖向位移2和角位移3即分别沿X1、X2及X3方向的位移都应等于零，即102030a图19.10(c)、(d)、(e)、(f)分别表示了单位力X1=1、X
9、2=1、X3=1和荷载P单独作用于基本结构上时，B处沿X1、X2及X3方向的相应位移。根据叠加原理，B处应满足的位移条件可表示为1=11X1+12X2+13X3+1P=02=21X1+22X2+23X3+2P=03=31X1+32X2+33X3+3P=0式(b)就是由位移条件所建立的求解X1、X2和X3的力法方程。b对于n次超静定结构有n个多余约束，也就是有n个多余未知力x1，x2，xn，且在n个多余约束处有n个已知的位移条件，故可建立n个方程，例如原结构在荷载作用下各多余约束处的位移为零时，有11X1+12X2+1nXn+1P=0i1X1+i2X2+inXn+iP=0n1X1+n2X2+nn
10、Xn+nP=0式(19.2)为力法方程的一般形式，常称为力法典型方程。 其物理意义是：基本结构在全部多余未知力和已知荷载作用下，沿着每个多余未知力方向的位移，应与原结构相应的位移相等。 根据位移互等定理有ij=ji (c)由力法方程解出多余未知力X1,X2,Xn后，即可按照静定结构的分析方法求得原结构的反力和内力，或按下述叠加公式求出弯矩M=M1X1+M2X2+MnXn+MP (19.3)再根据平衡条件即可求其剪力和轴力。 图19.1019.4 力法应用举例力法应用举例综前所述，用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：(1) 选取基本结构。确定原结构的超静定次数，去掉所有的多余约束代之以相应的多
11、余未知力，从而得到基本结构。(2) 建立力法方程。根据基本结构在多余未知力和荷载共同作用下，沿多余未知力方向的位移应与原结构中相应的位移具有相同的条件，建立力法方程。 (3) 计算系数和自由项。首先作基本结构在荷载和各单位未知力分别单独作用在基本结构上的弯矩图或写出内力表达式，然后按求位移的方法计算系数和自由项。(4) 求多余未知力。将计算的系数和自由项代入力法方程，求解得各多余未知力。(5) 绘制内力图。求出多余未知力后，按分析静定结构的方法，绘制原结构最后内力图。最后弯矩图也可以利用已作出的基本结构的单位弯矩图和荷载弯矩图按叠加式(19.3)求得。 【例19.1】作图19.11(a)所示单
12、跨超静定梁的内力图。已知梁的EI、EA均为常数。【解】(1) 选取基本结构 原结构是三次超静定梁，去掉支座B的固定端约束，并代之以相应的多余未知力X1、X2和X3，得到图19.11(b)所示的悬臂梁作为基本结构。 (2) 建立力法方程根据原结构支座B处位移为零的条件，可以建立如下力法方程：11X1+12X2+13X3+1P=021X1+22X2+23X3+2P=031X1+32X2+33X3+3P=0(3) 计算系数和自由项分别作基本结构的荷载弯矩图MP图和单位弯矩图M1图、M2图、M3图，如图19.11(c)、(d)、(e)、(f)所示。利用图乘法求得力法方程中各系数和自由项分别为11=l3
13、/3EI22=l/EI33=l/EA12=21=-l2/2EI13=31=023=32=01P=-ql4/8EI2P= ql3/6EI3P=0(4) 求多余未知力将以上各系数和自由项代入力法方程，得 解得3241223123XX0328X +X026X0llqlEIEIEIllqlEIEIEIlEA212311X,X,X0212qlql(5) 作内力图 作M图：根据叠加公式：M=M1X1+M2X2+M3X3+MP计算A、B两端及跨中弯矩如下MAB=-1/12ql2 (上拉)MBA=-1/12ql2 (上拉)M跨中=1/24ql2 (下拉)根据三点竖标连以光滑曲线(q相对应M为抛物线)得图19.
14、11(g)所示M图。 作剪力图根据已求出的杆端弯矩和荷载，画AB梁的受力图如图19.12所示。由MA=0得所以QBA=-ql/2由Y=0得QABqlQBA=0QAB=ql+QBA=qlql/2=ql/2因为AB梁受到均匀分布荷载，剪力图应为斜直线，如图19.11(h)所示。 22BA111+Ql021212qlqlql【例19.2】作图19.13(a)所示连续梁的内力图。EI为常数。【解】(1) 选取基本结构此结构为一次超静定梁。将B点截面用铰来代替，以相应的多余未知力X1代替原约束的作用，其基本结构如图19.13(b)所示。(2) 建立力法方程位移条件：铰B两侧截面的相对转角应等于原结构B点
15、两侧截面的相对转角。由于原结构的实际变形是处处连续的，显然同一截面两侧不可能有相对转动或移动，故位移条件为B点两侧截面相对转角等于零。由位移条件建立力法方程如下11X1+1P=0(3) 计算系数和自由项分别作基本结构的荷载弯矩图MP图和单位弯矩图M1图，如图19.13(c)、(d)所示。利用图乘法求得系数和自由项分别为 (4) 求多余未知力将以上系数和自由项代入力法方程，得 11212(11)233llEIEI 21(32)48PPql lEI 2112(32)0348(32)32lPql lXEIEIPql lX(5) 作内力图 根据叠加原理作弯矩图，如图19.13(e)所示。 根据弯矩图和
16、荷载作剪力图，如图19.13(f)所示。【例19.3】作图19.14(a)所示超静定刚架的内力图。已知刚架各杆EI均为常数。【解】(1) 选取基本结构此结构为二次超静定刚架，去掉C支座约束，代之以相应的多余未知力X1、X2得如图19.14(b)所示悬臂刚架作为基本结构。(2) 建立力法方程原结构C支座处无竖向位移和水平位移，则其力法方程为11X1+12X2+1P=021X1+22X2+2P=0(3) 计算系数和自由项分别作基本结构的荷载弯矩图MP图和单位弯矩图M1图、M2图，如图19.14(c)、(d)、(e)所示。利用图乘法计算各系数和自由项分别为11= 4a3/3EI22=a3/3EI12
17、=21=a3/2EI1P=-5qa4/8EI2P=-qa4/4EI (4) 求多余未知力将以上各系数和自由项代入力法方程得 (5) 作内力图 根据叠加原理作弯矩图，如图19.14(f)所示。 根据弯矩图和荷载作剪力图，如图19.14(g)所示。 根据剪力图和荷载利用结点平衡作轴力图，如图19.14(h)所示。 334123341212450328023433,728aaqaXXEIEIEIaaqaXXEIEIEIXqa Xqa【例19.4】求图19.15(a)所示超静定桁架各杆件的内力。已知各杆EA相同。【解】(1) 选取基本结构此结构为一次超静定桁架，切断下弦杆EF代之以相应的多余未知力X1
18、，得到图19.15(b)所示静定桁架作为基本结构。(2) 建立力法方程按照原结构变形连续的条件，基本结构上与X1相应的位移，即切口两侧截面沿杆轴方向的相对位移应为零，故力法方程为11X1+1P=0(3) 计算系数和自由项基本结构分别受单位力X1=1和荷载作用引起的各杆内力列入表19.1，11、1P的计算也已在该表中示出。由表19.1得 (4) 求多余未知力将以上系数和自由项代入力法方程，得 2111127N lEAEA1111215PpN N lEAEA 11271215045XEAEAXkN(5) 计算各杆内力根据叠加原理，各杆内力为N=N1X1+NP由此式计算得到各杆轴力，结果列入表19.
19、1的最后一栏。 下面讨论铰结排架的计算。单层工业厂房往往采用铰结排架结构(图19.16)。结构计算简图如图19.16(b)所示，因横梁与柱顶为铰结，故称这种结构为铰结排架结构。 【例19.5】计算图19.17(a)所示排架柱的内力，并作出弯矩图。【解】(1) 选取基本结构此排架是一次超静定结构，切断横梁代之以多余未知力X1得到基本结构如图19.17(b)所示。(2) 建立力法方程11X1+1P=0(3) 计算系数和自由项分别作基本结构的荷载弯矩图MP图和单位弯矩图M1图如图19.17(c)、(d)所示。利用图乘法计算系数和自由项分别如下(4) 计算多余未知力将系数和自由项代入力法方程，得解得
20、X1=-5kN(5) 作弯矩图按公式M=M1X1+MP即可作出排架最后弯矩图如图19.17(e)所示。 13521760033XEIEI图19.11 图19.12 图19.13 图19.14 图19.15 表表19.1 系数和自由项计算系数和自由项计算 图19.16 图19.17 19.5 利用对称性简化计算利用对称性简化计算所谓对称结构即： 结构的几何形状和支承情况对称于某一几何轴线； 杆件截面形状、尺寸和材料的物理性质(弹性模量等)也关于此轴对称。若将结构沿这个轴对折后，结构在轴线的两边部分将完全重合，该轴线称为结构的对称轴。图19.18所示结构都是对称结构。利用结构的对称性可使计算大为简
21、化。 图19.18 图19.19(a)所示为三次超静定刚架。对应的力法方程为11X1+12X2+13X3+1P=021X1+22X2+23X3+2P=031X1+32X2+33X3+3P=0作单位弯矩图如图19.19(c)、(d)、(e)所示。由图可见，正对称多余未知力的单位弯矩图M1和M2是对称的，而反对称多余未知力的单位弯矩图M3是反对称的。 19.5.1 选用对称的基本结构选用对称的基本结构用图乘法计算力法方程中的系数时，正对称弯矩图M1和M2分别与反对称弯矩图M3之间图乘的结果必然为零，即13=31=023=32=0这样力法方程(a)可简化为 11X1+12X2+1P=021X1+22
22、X2+2P=033X3+3P=0图19.19 (1) 对称结构承受对称荷载作用图19.20与图19.19所示结构不同之处在于承受对称荷载作用。图19.21是两跨对称刚架，在对称荷载作用下，变形曲线如图中虚线所示。(2) 对称结构承受反对称荷载作用图19.22所示为对称结构承受反对称荷载作用。 图19.23所示两跨对称刚架在反对称荷载作用下，变形曲线如图中虚线所示。 19.5.2 半刚架法半刚架法【例19.6】利用对称性作图19.24(a)所示单跨超静定梁的内力图。梁的EI为常数。【解】(1) 取半结构及其基本结构 由于结构和荷载均对称，可从跨中截面C处切开，加滑动支座取半结构如图19.24(b
23、)所示。又由于两端固定的梁，在垂直于梁轴的荷载作用下，轴向力为零。于是得到图19.24(c)所示基本结构。 (2) 建立力法方程由图19.24(b)所示半结构可见，C支座处无转角，据该位移条件可建立力法方程为11X1+1P=0(3) 计算系数和自由项分别作基本结构的荷载弯矩图MP和单位弯矩图M1，如图9.24 (d)、(e)所示。利用图乘法计算系数和自由项分别为11=1/EI1l/21=l/2EI1P=-1/EI（1/31/8ql2l/2）1=-ql3/48EI(4) 求多余未知力将以上系数和自由项代入力法方程得 3121024824lqlXEIEIqlX(5) 作内力图 据叠加原理作AC段弯
24、矩图，如图19.24(f)所示。CB段根据对称关系得出。 根据弯矩图和荷载作剪力图，如图19.24(g)所示，其中CB段剪力图是根据剪力图本身的反对称关系求得。 【例19.7】试计算图19.25(a)所示刚架，并绘出内力图。【解】(1) 选取基本结构此结构是三次超静定对称刚架，取对称形式基本结构如图19.25 (b)所示，X1、X2为对称多余未知力，X3为反对称多余未知力。(2) 建立力法方程根据前面分析，力法方程将分为两组，即11X1+12X2+1P=021X1+22X2+2P=033X3+3P=0(3) 计算系数和自由项作荷载弯矩图MP和单位弯矩图M1、M2、M3，分别如图19.25(c)
25、、(d)、(e)、(f)所示。利用图乘法求得各系数和自由项分别为11=72/EI22=8/EI12=21=18/EI33=60/EI1P=-486/EI2P=-180/EI3P=526.5/EI(4) 求多余未知力将以上各系数和自由项代入力法方程，经整理后得72X1+18X2-486=018X1+8X2-180=060X3+526.5=0解得X1=2.57kN,X2=16.72kNm,X3=-8.78kN(5) 作内力图最后弯矩图如图19.25(g)所示，剪力图和轴力图分别如图19.25(h)、(i)所示。 【例19.8】作图19.26(a)所示三次超静定刚架的弯矩图。已知各杆EI均为常数。【
26、解】(1) 取半结构及其基本结构 分解荷载为简化计算，首先将图19.26(a)所示荷载分解为对称荷载和反对称荷载的叠加，分别如图19.26(b)、(c)所示。 取半刚架由于图19.26(c)是对称结构在反对称荷载作用下，故从对称轴截面切开，应加可动铰支座得半结构如图19.26(d)所示。 选取基本结构该半刚架为一次超静定结构，去掉可动铰支座并代之以多余未知力X1得图19.26(e)所示悬臂刚架作为基本结构。(2) 建立力法方程由图19.26(d)所示半结构可见，E支座处无竖向位移，于是可得力法方程为11X1+1P=0(3) 计算系数和自由项作基本结构的荷载弯矩图MP和单位弯矩图M1,分别如图1
27、9.26(f)、(g)所示。利用图乘法计算系数和自由项分别为11=56/3EI1P=-80/EI(4) 计算多余未知力将11、1P代入力法方程得 解得 X1=4.29kN(5) 作弯矩图据叠加原理作ACE半刚架弯矩图，如图20.26(h)所示，其中BDE半刚架弯矩图根据反对称荷载作用下弯矩图应是反对称的关系得出。 156800XEIEI图19.20 图19.21 图19.22 图19.23 图19.24 图19.25 图19.26 19.6 支座移动时超静定结构的计算支座移动时超静定结构的计算用力法计算超静定结构在支座移动所引起的内力时，其基本原理和解题步骤与荷载作用的情况相同，只是力法方程中
28、自由项的计算有所不同，它表示基本结构由于支座移动在多余约束处沿多余未知力方向所引起的位移iC，可用18.6节所述方法求得。另外还应注意力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处沿多余未知力方向的位移条件，也就是原结构在多余未知力方向的已知实际位移值i，当i与多余未知力方向一致时取正值，否则取负值。 【例19.9】图19.27(a)所示超静定梁，设支座A发生转角，求作梁的弯矩图。已知梁的EI为常数。【解】(1) 选取基本结构原结构为一次超静定梁，选取图19.27(b)所示悬臂梁为基本结构。(2) 建立力法方程原结构在B处无竖向位移，可建立力法方程如下11X1+1C=0(3) 计算系数和自由项 作单位
29、弯矩图M1如图19.27(c)所示，可由图乘法求得11=l3/3EI1C=-RC=-(l)=-l(4) 求多余未知力将11、1C代入力法方程得(5) 作弯矩图由于支座移动在静定的基本结构中不引起内力，故只需将M1图乘以X1值即可 3112033lXlEIEIXl112330ABBAMM XEIEIMlllM 【例19.10】图19.28(a)所示为一次超静定刚架，梁、柱截面尺寸如图19.28(a)所注。E=20GPa。已知支座D的移动分别为DH=8cm，DV=4cm。试计算刚架由此而引起的内力，并画出内力图。【解】取支座A的水平反力为多余未知力，则力法方程为：11X1+1=011为X1=1作用
30、时支座A沿X1方向的位移(图19.28(c)）。因此111112M M dx324144=EIEIEI由式(18.8)得Ki=-RC故 1=-(18)+(04)=8cm=0.08m代入式(a)中得 由X1的计算式可见，在支座移动的情况下，多余未知力与刚架抗弯刚度的绝对值有关。代入已知数据可得X1=-16.7kN由M=MC+M1，可绘出弯矩图，进而绘出剪力图、轴力图，分别如图19.28(d)、(e)、(f)所示。 1112123241440.08()0.080,324144XXEIEIEIEI图19.27 图19.28 19.7 单跨超静定梁的杆端弯矩和杆端剪力单跨超静定梁的杆端弯矩和杆端剪力常
31、见的单跨超静定梁，通常有两端固定、一端固定另端铰支和一端固定另端定向支承三种形式，如图19.29所示。它们在各种荷载作用下或由于其它因素影响所引起的杆端弯矩和杆端剪力值均可用力法求得。为了今后使用方便起见，表19.2给出各种等截面单跨超静定梁，在各种不同荷载作用下及支座移动时所引起的杆端弯矩和杆端剪力值。 说明：(1) 杆端弯矩和杆端剪力使用双下标，其中第一个下标表示该杆端弯矩(或杆端剪力)所在杆端的名称；两个下标一起表示该杆端弯矩(或杆端剪力)所属杆件的名称。(2) 表中杆端弯矩以对杆端顺时针转向为正，反之为负；杆端剪力以使杆件产生顺时针转动趋势为正，反之为负。(3) 如荷载指向或支座移动方
32、向与表中所示相反时，其相应的杆端弯矩和杆端剪力应相应改变正、负号。(4) 由于一端固定另端固定铰支的梁，和一端固定另端可动铰支的梁，在垂直于梁轴的荷载作用下，两者的数值相等，因此，表中所列的一端固定另端可动铰支的梁，在垂直于梁轴荷载作用下的杆端弯矩和杆端剪力值，也适用于一端固定另端固定铰支的梁。 图19.29 表表19.2 19.8 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算用力法计算超静定结构，是根据基本结构在荷载作用和全部多余未知力共同作用下内力和位移应与原结构完全一致这个条件来进行的。也就是说，在荷载及多余未知力共同作用下的基本结构与在荷载作用下的原超静定结构是完全相同的。计算超静定结构的
33、位移时可以用原超静定结构已经求出的弯矩图与静定的基本结构的单位荷载弯矩图用图乘法求位移，具体步骤是：(1) 绘出原超静定结构的弯矩图(即MP图)；(2) 选择一个最简单的基本结构作为虚拟状态，并绘出相应的弯矩图(即M图)；(3) 按图乘法求位移。【例19.11】试求图19.30(a)所示超静定刚架横梁BC中点D的竖向位移DV。【解】绘出刚架的弯矩图如图19.30(b)所示，再将此图改成易于图乘的简单的图形组合，如图19.30(c)所示。采用悬臂刚架作为基本结构，并绘出单位荷载作用于D点的弯矩图如图19.30(d)所示。因此22241213172(43282123181)23033( )160D
34、VqaaaqaaaEIqaaaqaEI 图19.3019.9 超静定结构内力图的校核超静定结构内力图的校核校核应当从两方面进行，一是静力平衡条件的校核，二是位移条件的校核。现分述如下：(1) 静力平衡条件的校核取结构的整体或取其中的任何局部作为隔离体考察其受力是否满足静力平衡条件。如不满足，则说明计算有误。现举例如下： 【例19.12】对例19.3所示结构进行静力平衡条件的校核。 【解】对于例19.3所示刚架，取立柱顶端的BC杆以及AB杆绘出其受力图，如图19.31(a)、(b)所示。现校核此两杆是否满足静力平衡条件。 (1) BC杆： 3302828340773107214BXqaqaYqa
35、qaqaaMqaaqaqa(2) AB杆以上都满足静力平衡条件。 223302828440773110281428BXqaqaYqaqaMqaaqaqa图19.31 【例19.13】对例19.11所示刚架进行位移条件的校核。【解】绘出刚架受力图及弯矩图如图19.32(a)、(b)所示。原结构在C截面没有角位移。现在来求C截面的角位移C。取基本结构如图19.32(c)所示，并绘出单位荷载的弯矩图M图。则证明满足位移条件。333114110445453CqaqaqaEI图19.32 19.10 两铰拱的计算两铰拱的计算两铰拱(图19.33(a)、(b)和无铰拱(图19.33(c)是工程中常用超静定
36、拱的两种主要类型。 超静定拱的受力特点在于弯矩较小，主要是承受轴向压力。无铰拱在荷载作用下，弯矩比两铰拱较为均匀，但受支座移动的影响较大。两铰拱在支座发生的竖向位移不大时，并不引起内力。当拱的基础比较弱时，如支承在砖墙或独立柱上的两铰拱式屋盖结构，通常可在两铰拱底部设置拉杆以承担水平推力，如图19.33(b)所示，而外部支座约束是静定的，因而支座发生移动时对拱体受力无影响。 图19.33 两铰拱是一次超静定结构(图19.34(a)，用力法计算时，常选用简支曲梁为基础结构如图19.34(b)所示，水平推力X1为基本未知量。由原结构在支座B处沿X1方向的位移等于零的条件，可建立力法方程11X1+1
37、P=0 此时11和1P的计算公式如下： 19.10.1 两铰拱的内力计算两铰拱的内力计算22111111002111110PPPM MNdsdsEIEAM MdsEI设规定弯矩以使拱的内侧纤维受拉为正，轴力以使截面受压为正，取图19.34(c)所示坐标系，则基本结构在X1=1作用下，任意截面内力为M1=-yN1=cos在竖向荷载作用下，简支曲梁的水平支座反力等于零，于是简支曲梁任意截面的弯矩MP和等跨度同荷载的简支梁相应截面的弯矩M5相等，即MP=M0 将式(b)、式(c)代入式(a)得 将式(d)代入力法方程可解得 221100010coslllPydsdsEIEAyMdsEI0011221
38、100coslPllyMdsEIXydsdsEIEA 按上式计算X1时，因为拱轴为曲线，不能用图乘法代替直接积分。当X1求出之后，两铰拱内力的计算方法与三铰拱完全相同。因此，在竖向荷载作用下两铰拱的内力计算公式为M=M0-HyQ=Q0cos-HsinN=Q0sin+Hcos图19.34 带拉杆的两铰拱如图19.35(a)所示，其计算方法与无拉杆情况相似。以拉杆作为多余约束，切断后并取拉杆的拉力X1为多余未知力，如图19.35(b)所示。根据拉杆切口两侧相对轴向位移为零的条件，建立力法方程11X1+1P=0多余未知力X1的计算公式为 19.10.2 带拉杆两铰拱的内力计算带拉杆两铰拱的内力计算0
39、01220011coslllyMdsEIXyldsdsEIEAE A【例19.14】图19.36(a)所示为一带拉杆的等截面两铰拱，拱轴为抛物线y=4fx(l-x)/l2。试求拉杆中的拉力。【解】(1) 取基本结构如图19.36(b)所示。为便于计算，采用如下简化假设： 忽略拱身的轴向变形影响，只考虑弯曲变形； 由于拱身扁平可近似取ds=dx，则拉杆的计算式为0011211011lPlyMdsEIXyldsEIE A(2) 计算1P因只有竖向荷载，所以MP与相应简支梁弯矩相等(相应简支梁弯矩图如图19.36(c)所示)。其弯矩分两段表示如下：当0 xl/2时M0=3/8qlx-1/2qx2当l
40、/2xl时M0=q/8l(l-x)所以301030lPyMql fdsEIEI (3) 计算11 (4) 计算拉杆拉力X1将1P及11代入力法方程解得 221101111815lyllfldsEIE AEIE A311211113081615Pql fql lEIXklflfEIE A21111518kEIfE A图19.35 图19.36 19.11 用弹性中心法计算无铰拱用弹性中心法计算无铰拱前面已经讲到过，对称结构如选用对称的基本结构时，计算工作可以简化。即相应的力法方程能分成两组，一组只包含对称性多余未知力，另外一组只包含反对称性多余未知力。 对图19.37(a)所示无铰拱，当选用图1
41、9.37(b)所示对称基本结构时，力法方程简化为11X1+12X2+1P=021X1+22X2+2P=033X3+3P=0(a)如再利用弹性中心法，则力法方程还可进一步简化，即力法方程组可以简化成每个方程中只包含一个多余未知力。也就是设法使式(a)中的副系数12=21=0，则力法方程为11X1+1P=022X2+2P=033X3+3P=0现在的问题是如何选取与式(b)相对应的基本结构。 (b)将图19.37(b)所示的基本结构略加改造一下：在拱顶切口两侧沿竖向各加上一个长度为ys的刚臂如图19.38(a)所示。 令将M1、M2代入式(c)得 于是 121221MMdsEI1 ()0ssdsds
42、dsyyyyEIEIEI0dsyEIydsEI(19.7) 我们设想沿拱轴作宽度等于1/EI的图形如图19.39所示，则式(19.7)就是这个图形面积的形心纵坐标(横坐标为零)。 实际运算时，首先由式(19.7)求出弹性中心，然后由式(b)求出多余未知力X1、X2、X3，最后利用下列公式计算最后内力：M=X1M1+X2M2+X3M3+MPQ=X1Q1+X2Q2+X3Q3+QPN=X1N1+X2N2+X3N3+NP【例19.15】图19.40(a)所示为一半圆无铰拱，已知拱圈半径R=3.4m，跨度l=6.8m，荷载q=5.75kN/m。试求拱顶及拱脚处的内力。【解】(1) 取基本结构，确定弹性中
43、心由于荷载、结构均对称，因此在对称截面切口处反对称多余未知力即剪力X3=0，只有正对称多余未知力弯矩X1和轴力X2。于是可选取图19.40(b)所示基本结构。确定弹性中心位置以拱顶为坐标原点，取如图19.40(b)所示坐标系。则任意截面K的纵坐标y=R-Rcos，ds=Rd，弹性中心位置为(2) 建立力法典型方程11X1+1P=022X2+2P=0(3) 计算系数和自由项忽略剪力和轴力的影响，由图19.40(c)、(d)、(e)可得内力公式为M1=1M2=y-ys=(R-Rcos)-ysMP=-qx2/2=-1/2qR2sin21.231sydsEIymdsEI则系数和自由项为 2111222
44、22112210.7()12.230.922.3PPPPMdsEIEIMyysdsdsEIEIEIM MqdsEIEIM MqdsEIEI (4) 计算未知力X1、X2X1=-1P/11=16.62kNmX2=-2P/22=10.52kN(5) 求拱顶和拱脚处的内力值由已求出的多余未知力可得：拱顶MC=X1-X2ys=(16.62-10.521.23)kNm=3.68kNmNC=X2=10.52kNQC=0拱脚MA=X1+X2(R-ys)-1/2qR2=6.23kNmVA=Rq=3.45.75kN=19.5kNNA=19.5kNHA=X2=NC=10.52kNQA=-10.52kN 图19.37 图19.38 图19.39 图19.40