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1、12013 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分 （选择题共 40 分）一、选择题： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1） 【 2013 年北京，理1，5 分】已知集合101A， ，|11Bxx，则ABI（）（A） 0（B）10，（C）01，（D）101， ，【答案】 B 【解析】1,0,1111,|0 xxI，故选 B（2） 【 2013 年北京，理2，5 分】在复平面内，复数22i对应的点位于（）（ A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】 D 【解析】2()2i34iQ，该复
2、数对应的点位于第四象限，故选D（3） 【 2013 年北京，理3，5 分】 “” 是“ 曲线sin 2yx过坐标原点 ” 的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】 A 【解析】，sin 2sin2()yxx ，曲线过坐标原点，故充分性成立；(sin 2)yx过原点， sin0，k， kZ 故必要性不成立，故选A（4） 【 2013 年北京，理4，5 分】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（ A） 1 （B）23（C）1321（D）610987【答案】 C 【解析】依次执行的循环为1S， i0；23S，i1；1321S，i2，
3、故选 C（5） 【2013 年北京，理5，5 分】函数 fx 的图象向右平移1 个单位长度，所得图象与曲线exy关于y轴对称，则fx（）（ A）1ex（B）1ex（C）1ex（D）1ex【答案】 D 【解析】 依题意， fx 向右平移 1 个单位之后得到的函数应为xye，于是 fx 相当于xye向左平移1 个单位的结果，1xfxe，故选 D（6） 【 2013 年北京，理6，5 分】若双曲线22221xyab的离心率为3，则其渐近线方程为（）（A）2yx（B）2yx（C）12yx（D）22yx【答案】 B 【解析】由离心率为3，可知3ca，2ba渐近线方程为2byxxa，故选 B（7） 【 2
4、013 年北京，理7，5 分】直线l过抛物线2:4C xy 的焦点且与y轴垂直，则l与 C 所围成的图形的面积等于（）（ A）43（B）2 （C）83（D）1623【答案】 C 【解析】由题意可知，l 的方程为1y如图，B点坐标为2,1 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2所求面积232200842424123xxSdx，故选 C（8） 【2013 年北京， 理 8，5 分】设关于 x ，y的不等式组21000
5、xyxmym，表示的平面区域内存在点00P xy，满足0022xy，求得 m 的取值范围是（）（A）43，（B）13，（C）23，（D）53，【答案】 C 【解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含112yx上的点，只需要可行域的边界点()mm，在112yx下方，也就是112mm，即23m，故选 C第二部分 （非选择题共 110分）二、填空题：共6 小题，每小题5 分，共 30 分（9） 【 2013 年北京，理9，5 分】在极坐标系中，点26，到直线sin2 的距离等于【答案】1【解析】在极坐标系中，点2,6对应直角坐标系中坐标为3,1 ，直线2sin对应直角坐标系中的方程为2y，所以
6、点到直线的距离为1（10） 【2013 年北京，理10，5 分】若等比数列na满足2420aa，3540aa，则公比q；前 n项和nS【答案】 2；122n【解析】由题意知352440220aaqaa 由222421()10(12aaaqa qq， 12a 12 122212nnnS（11） 【2013 年北京，理 11，5 分】如图，AB为圆 O 的直径，PA为圆 O 的切线，PB与圆 O 相交于D，若3PA，:9:16PDDB，则PD_；AB_【答案】95，4【解析】设9PDk ，则0()16DBk k由切割线定理可得，2PAPD PB，即23925kk ，可得15k95PD，5PB在 R
7、tAPB 中， AB=224ABPBPA（12） 【2013 年北京，理12，5 分】将序号分别为1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给4 人，每人至少1 张，如果分给同一人的2 张参观券连号，那么不同的分法种数是_【答案】 96 【解析】连号有 4 种情况，从 4 人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列， 则不同的分法有1343496C A(种)（13） 【2013 年北京，理13，5 分】向量ar，br，cr在正方形网格中的位置如图所示，若cabRrrr，则_【答案】 4 【解析】可设 aij ，i，j为单位向量且ij ， 则62bij ，3cij由()()62cabij ，612
8、3，解得212，4abc名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3（14） 【2013 年北京，理14，5 分】如图，在棱长为2 的正方体1111ABCDABC D中，E为 BC 的中点，点P在线段1D E上，点P到直线1CC的距离的最小值为_【答案】2 55【解析】过E点作1EE垂直底面1111A BC D，交11B C于点1E，连接11D E，过P点作PH垂直于底面1111A BC D，交11D E于点H，P点到直线
9、 CC1的距离就是1C H，故当1C H垂直于11D E时，P点到直线1CC距离最小，此时，在111Rt D C E中，111C HD E，1111111D E C HC D C E，122 555C H三、解答题：共6 题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15） 【2013 年北京，理15，13 分】在ABC中，3a，2 6b，2BA（1）求 cosA 的值；（2）求 c 的值解： （1）因为3a，2 6b，2BA，所以在ABC 中，由正弦定理得32 6sinsin2AA所以2sin cos26sin3AAA故 cos63A（2）由（ 1）知， cos A=63，所以23
10、1cossin3AA又因为2BA，所以2cos2cos131BA2221con3ssiBB 在ABC 中，5sinsinsin coscos sin3()9CABABABsin5sinaCcA（16） 【2013 年北京，理16，13 分】下图是某市3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图， 空气质量指数小于100 表示空气质量优良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染某人随机选择3 月 1 日至 3 月 15 日中的某一天到达该市，并停留2 天（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天
11、的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）解：设iA表示事件 “ 此人于 3 月i日到达该市 ”1,2)13(i， ，根据题意，113iP A，且ijAAijI（1）设B为事件 “ 此人到达当日空气重度污染” ，则58BAAU58582()13P BP AAP AP AU（2）由题意可知，X所有可能取值为0,1,2，且0115()()()123P XP XP X；36711367114()()113P XP AAAAP AP AP AP AUUU；1212131212134()()132P XP AAAAP AP AP AP AUUU所以 X 的分布列为：X 012 P 513413413故
12、X 的期望5441201213131313EX（3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大（17） 【2013 年北京，理 17，14 分】如图，在三棱柱111ABCAB C中，11AAC C是边长为 4 的正方形 平面 ABC平面11AAC C，3AB，5BC（1）求证：1AA平面 ABC ；EPDCBAC1B1A1D1空气质量指数日期14 日13日12 日11 日10 日9 日8 日7日6日5日4日3日2日1日03779861581211602174016022014357258650100150200250C1B1A1ABC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
13、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4（2）求证二面角111ABCB的余弦值（3）证明：在线段1BC上存在点D，使得1ADAB，并求1BDBC的值解： （1）因为11AAC C为正方形，所以1AAAC因为平面ABC平面11AAC C，且1AA垂直于这两个平面的交线 AC ，所以1AA平面 ABC （2）由（ 1）知1AAAC，1AAAB由题知3AB，5BC，4AC，所以 ABAC 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系Axyz ，则0,3,0B，10,0,4A，10,
14、3,4B，14,0,4C设平面11A BC的法向量为()xyzn， ，则11100A BACuu uruu uu rnn，即34040yzx令3z， 则0 x，4y， 所以0,4,3n 同理可得，平面11B BC的法向量为3,4,0m所以 cosn，m=16cos,|25n mn mnm由题知二面角111ABCB为锐角，所以二面角111ABCB的余弦值为1625（3）设()D xyz， ，是直线1BC上一点，且1BDBCuuu ruuu u r，所以343,4()()xyz，解得4x，33y，4z所以4()334ADuuu r，由10AD A Buuu r uuu r，即 9250，解得925
15、因为9250,1 ，所以在线段1BC上存在点D，使得1ADAB此时，1925BDBC（18） 【2013 年北京，理18，13 分】设 l 为曲线ln:xCyx在点 1,0 处的切线（1）求 l 的方程；（2）证明：除切点1,0 之外，曲线 C 在直线 l 的下方解： （1）设ln xfxx，则21ln xfxx所以11f所以L的方程为1yx（2）令1g xxfx ，则除切点之外，曲线C 在直线L的下方等价于()001g xxx，g x 满足10g， 且22ln11xxxxgfx 当 01x时，210 x，ln0 x， 所以0gx，故 g x 单调递减；当1x时，210 x， ln0 x，所以
16、0gx，故 g x 单调递增所以，1001()g xgxx，所以除切点之外，曲线C 在直线L的下方（19） 【2013 年北京，理19，14 分】已知, ,A B C是椭圆22:14xWy上的三个点，O 是坐标原点（1）当点B是 W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点B不是 W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由解： （1）椭圆2214xWy：右顶点 B 的坐标为2,0 因为四边形OABC 为菱形， 所以 AC 与 OB 相互垂直平分所以可设()1Am，代入椭圆方程得2114m，即32m所以菱形 OABC 的面积是1223212OB ACm（
17、2）假设四边形OABC 为菱形因为点B不是 W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为0)0(ykxm km，由2244xyykxm，消y并整理得222()148440kxkmxm设11()A xy，22()C xy，则1224214xxkmk，121222214yyxxmkmk所以 AC 的中点为224,1414kmmMkk因为M为 AC 和 OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - -
18、- - - - - 5因为114kk，所以 AC 与 OB 不垂直所以OABC 不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是 W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形（20） 【2013 年北京，理20，13 分】已知na是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为nA，第 n 项之后各项12,nnaaL的最小值记为nB，nnndAB（1）若na为2,1,4,3,2,1,4,3，是一个周期为4 的数列（即对任意*nN ，4nnaa） ，写出1234,d dd d的值；（2）设 d 是非负整数，证明：1,2,3ndd nL的充分必要条件为na是公差为 d 的等差数列；（3）证明：若12a，11
19、,2,3,ndnL，则na的项只能是1 或者 2，且有无穷多项为1解： （1）121dd，343dd（2） （充分性）因为na是公差为 d 的等差数列，且0d，所以12naaa因此nnAa，1nnBa，11,2,3()nnndaad n，（必要性）因为( 01,2,3)nddn， 所以nnnnABdB 又因为nnaA，1nnaB， 所以1nnaa于是，nnAa，1nnBa，因此1nnnnnaaBAdd，即na是公差为 d 的等差数列（3）因为12a，11d，所以112Aa，1111BAd故对任意1n，11naB假设2nan中存在大于2 的项设 m 为满足2ma的最小正整数， 则2m， 并且对任意 1km，2ka又因为12a，所以12mA，且2mmAa于是，211mmmBAd，12mmmBmin aB，故111220mmmdAB，与11md矛盾所以对于任意1n，有2na，即非负整数列na的各项只能为1 或 2因为对任意1n，12naa，所以2nA故211nnnBAd因此对于任意正整数n ，存在 m 满足mn，且1ma，即数列na有无穷多项为1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -