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1、实用标准文档文案大全导数中双变量的函数构造21（12 分） 已知函数( )lnexf xx（R）（1）若函数( )f x是单调函数，求的取值范围；（2）求证：当120 xx时，都有211121ee1xxxx21 解： （1） 函数( )f x的定义域为(0,)， ( )lnexf xx，e( )exxxfxxx，函数( )f x是单调函数，( )0fx 或( )0fx 在(0,)上恒成立，( )0fx ，e0 xxx，即e0 xx，eexxxx，令( )exxx，则1( )exxx，当01x时，( )0 x；当1x时，( )0 x则( )x在(0,1)上递减，(1,)上递增，min1( )(1
2、)xe，1e；( )0fx ，e0 xxx，即e0 xx，eexxxx，由得( )exxx在(0,1)上递减，(1,)上递增， 又(0)0，x时( )0 x，0；综上可知，1e或0； .6分（ 2）由（ 1）可知，当1e=时，1( )lneexf xx在(0,)上递减，120 xx，12()()f xf x，即121211lnelneeexxxx，211112eelnlnxxxx，要证211121ee1xxxx，只需证2121lnln1xxxx，即证1221ln1xxxx，令12xtx，(0,1)t，则证1ln1tt，令1( )ln1h ttt，则21( )0th tt，( )h t在(0,1
3、)上递减，又(1)0h，( )0h t，即1ln1tt，得证 .12分 典例 已知函数 f (x) ax2xln x( aR)的图象在点 (1 ，f (1) 处的切线与直线 x3y0 垂直(1) 求实数 a 的值；(2) 求证：当 nm 0 时，ln nln m mnnm 解 (1) 因为 f (x) ax2xln x，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 实用标准文档文案大全所以 f ( x) 2axln x1，因
4、为切线与直线x3y0 垂直，所以切线的斜率为3，所以 f (1) 3，即 2a13，故 a1(2) 证明：要证 ln nln m mnnm，即证 lnnmmnnm，只需证 ln nmmnnm0令nmx，构造函数 g(x) ln x1xx( x1) ，则 g(x) 1x1x21因为 x1 ， ) ，所以 g( x) 1x1x210，故 g( x)在(1， ) 上单调递增由已知nm0，得nm1，所以 gnmg(1) 0，即证得 ln nmmnnm0 成立，所以命题得证1(2017石家庄质检 ) 已知函数 f ( x) axx2ex( x0)，其中 e 为自然对数的底数(1) 当 a0 时，判断函数
5、 yf (x) 极值点的个数；(2) 若函数有两个零点x1，x2( x1x2) ，设 t x2x1，证明： x1x2随着 t 的增大而增大解：(1) 当 a0 时，f (x) x2ex( x0)，f ( x) 2xexx2exex2xx2ex，令 f (x) 0，得 x2，当 x(0,2) 时，f ( x) 0，yf (x)单调递减，当 x(2， ) 时，f ( x)0，yf ( x) 单调递增，所以 x2 是函数的一个极小值点，无极大值点，即函数 yf ( x) 有一个极值点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师
6、精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 实用标准文档文案大全(2) 证明：令f(x)axx2ex0，得x32aex，因为函数有两个零点x1，x2( x1x2)，所以 x1321aex1，x322aex2，可得32ln x1ln ax1，32ln x2ln ax2故 x2x132ln x232ln x132lnx2x1又x2x1t ，则 t 1，且x2tx1，x2x132ln t ，解得 x132ln tt 1，x232t ln tt 1所以 x1x232t 1ln tt 1令 h( x)x1ln xx1，x(1， ) ，则 h(x)
7、2ln xx1xx12令 u( x)2ln xx1x，得 u( x)x1x2当 x(1， ) 时，u( x)0因此， u(x) 在(1， ) 上单调递增，故对于任意的 x(1 ， ) ，u( x)u(1) 0，由此可得 h(x) 0，故 h( x)在(1 ， )上单调递增因此，由可得x1x2随着 t 的增大而增大2(2016全国乙卷 ) 已知函数 f ( x)(x2)exa( x1)2有两个零点(1) 求 a 的取值范围；(2) 设 x1，x2是 f ( x)的两个零点，证明： x1x20，则当 x( ， 1)时，f (x)0，所以 f (x) 在( ， 1)内单调递减，在 (1， ) 内单调
8、递增又 f (1) e，f (2) a，取 b 满足 b0且 ba2(b2) a(b1)2a b232b0，故 f ( x)存在两个零点设 a0，因此f(x)在(1， ) 内单调递增又当 x1 时，f ( x)0，所以 f (x) 不存在两个零点若 a1，故当 x(1，ln( 2a) 时，f ( x)0. 因此 f (x) 在(1，ln( 2a) 内单调递减，在 (ln( 2a) ， )内单调递增又当 x1 时，f ( x)0，所以 f (x) 不存在两个零点综上， a 的取值范围为 (0， ) (2) 证明：不妨设 x1x2，由(1) 知，x1( ，1)，x2(1 ，) ，2x2( ，1)，
9、又 f ( x) 在( ， 1) 内单调递减，所以 x1x2f (2x2) ，即 f (2 x2)1 时，g( x)1时，g(x)0. 从而 g(x2) f (2x2)0，故 x1x22. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 实用标准文档文案大全3. 已知函数 f (x) exax1(a 为常数 ) ， 曲线 yf ( x)在与 y 轴的交点 A处的切线斜率为 1(1) 求 a 的值及函数 yf ( x)的单调区间
10、；(3) 若 x1ln 2 ，x2ln 2 ，且 f (x1) f ( x2) ，试证明： x1x22ln 2 解：(1) 由 f ( x) exax1，得 f (x) exa又 f (0) 1a1，所以 a2，所以 f (x) ex2x1，f ( x) ex2由f(x) ex20，得xln 2 所以函数 yf ( x)在区间 ( ， ln 2) 上单调递减，在 (ln 2 ， )上单调递增(2) 证明：设 xln 2 ，所以 2ln 2 xln 2 ，f (2ln 2 x)e(2ln 2 x)2(2ln 2 x)1 4ex2x4ln 2 1令 g( x)f ( x)f (2ln 2 x) e
11、x4ex4x4ln 2( xln 2) ，所以 g( x) ex4ex40，当且仅当 xln 2时，等号成立，所以 g(x) f (x) f (2ln 2 x)在(ln 2 ， )上单调递增又 g(ln 2)0，所以当 xln 2时，g(x) f (x) f (2ln 2 x) g(ln 2)0，即 f ( x)f (2ln 2 x) ，所以 f (x2) f (2ln 2 x2) ，又因为 f ( x1)f ( x2) ，所以 f (x1) f (2ln 2 x2) ，由于 x2ln 2 ，所以 2ln 2 x2ln 2 ，因为 x1ln 2 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
12、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 实用标准文档文案大全由(1) 知函数 yf ( x)在区间 ( ， ln 2) 上单调递减，所以 x12ln 2 x2，即 x1x22ln 2 4(2017沈阳质监 ) 已知函数 f ( x)12x2aln xb(aR)(1) 若曲线 yf ( x) 在 x1 处的切线的方程为3xy30， 求实数 a， b 的值；(2) 若 x1 是函数 f (x) 的极值点，求实数a 的值；(3) 若2a0，对任意 x1，x2(0,2 ，
13、不等式 | f ( x1) f (x2)| m1x11x2恒成立，求 m的最小值解：(1) 因为f(x)12x2aln xb，所以 f ( x) xax，因为曲线 yf ( x)在 x1 处的切线的方程为3xy30，所以f 13，f10，即1a3，12b0，解得a2，b12.(2) 因为 x1 是函数 f ( x) 的极值点，所以 f (1) 1a0，所以 a1当 a1 时，f ( x) 12x2ln xb，定义域为 (0 ， )，f ( x) x1xx21xx1x1x，当 0 x1 时，f ( x)0，f ( x) 单调递减，当x1 时，f(x)0，f(x)单调递增，所以 a1(3) 因为
14、2a0,0 x2，所以 f ( x) xax0，故函数 f ( x) 在(0,2 上单调递增，不妨设 0 x1x22，则| f (x1) f ( x2)| m1x11x2可化为 f ( x2) mx2f ( x1)mx1，设 h( x)f ( x)mx12x2aln xbmx，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 实用标准文档文案大全则 h( x1) h(x2) 所以 h(x) 为(0,2 上的减函数，即 h(x)
15、xaxmx20 在(0,2 上恒成立，等价于 x3axm 0 在(0,2 上恒成立，即 m x3ax 在(0,2 上恒成立，又2a0，所以 ax 2x，所以 x3axx32x，而函数 yx32x 在(0,2 上是增函数，所以 x32x12(当且仅当 a2，x2 时等号成立 ) 所以 m 12，即 m的最小值为 125已知函数 f ( x)x1x，g( x)aln x( aR)(1) 当 a2 时，求 F( x) f ( x) g(x) 的单调区间；(2) 设 h( x)f ( x) g( x)，且 h( x) 有两个极值点为 x1，x2，其中 x1 0，12，求 h(x1) h( x2)的最小
16、值解：(1) 由题意得 F( x) x1xaln x( x0) ，则 F(x) x2ax1x2，令 m ( x)x2ax1，则a24当 2a2 时，0，从而 F( x) 0，所以 F(x) 的单调递增区间为 (0 ，) ；当a2 时，0，设F(x) 0 的两根为x1aa242，x2aa242，所以 F(x) 的单调递增区间为0，aa242和aa242， ，F(x) 的单调递减区间为aa242，aa242综上，当 2a2 时，F( x) 的单调递增区间为 (0 ， )；当 a2 时，F( x) 的单调递增区间为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
17、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 实用标准文档文案大全0，aa242和aa242， ，F(x) 的单调递减区间为aa242，aa242(2) 对 h( x)x1xaln x，x(0 ，) 求导得，h( x) 11x2axx2ax1x2，h( x) 0 的两根分别为 x1，x2，则有 x1x21，x1x2a，所以 x21x1，从而有 ax11x1令 H ( x)h( x)h1xx1x x1xln x1xx x1xln 1x2x1xln xx1x，即H(x) 21x21ln x21x1xln xx2(
18、x0) 当 x 0，12时，H( x) 0，所以 H(x) 在 0，12上单调递减，又 H ( x1) h(x1) h1x1h( x1)h( x2) ，所以 h( x1)h( x2)minH125ln 2 36. 设 f (x) exa( x1)(1) 若? xR ，f ( x)0 恒成立，求正实数a 的取值范围；(2) 设 g( x)f ( x) aex，且 A( x1，y1) ，B(x2，y2)( x1x2) 是曲线 yg(x) 上任意两点，若对任意的a1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围 解 (1) 因为 f (x) exa( x1)，所以 f ( x) exa由题意，知 a0
19、，故由 f ( x) exa0，解得 xln a故当 x( ， ln a) 时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 实用标准文档文案大全f ( x) 0，函数 f ( x) 单调递减；当 x(ln a， ) 时，f ( x) 0，函数 f ( x) 单调递增所以函数 f ( x)的最小值为 f (ln a) eln aa(ln a1) aln a由题意，若 ? xR，f (x) 0 恒成立，即 f ( x)exa(
20、x1) 0 恒成立，故有 aln a0，又 a0，所以 ln a0，解得 0a1所以正实数 a 的取值范围为 (0,1 (2) 设x1，x2是任意的两个实数，且x1x2则直线 AB的斜率为 kgx2gx1x2x1，由已知 km ，即gx2gx1x2x1m 因为 x2x10，所以 g(x2) g( x1)m ( x2x1) ，即 g( x2) mx2g(x1) mx1因为 x1x2，所以函数h(x)g(x)mx在 R上为增函数，故有 h( x) g( x)m 0 恒成立，所以 m g( x) 而 g(x) exaaex，又a10，故 g(x) exaexa2exaexa2aa而 2 aa2a(a
21、)2(a1)213，所以 m的取值范围为 ( ， 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 实用标准文档文案大全练习： 1 已知函数xaxgxxfln,212. (1) 若曲线xgxfy在1x处的切线的方程为0526yx, 求实数 a 的值 ; (2) 设xgxfxh, 若对任意两个不等的正数21,xx, 都有22121xxxhxh恒成立 , 求实数 a 的取值范围 ; (3) 若在e, 1上存在一点0 x, 使得000011xgxgxfxf成立 , 求实数a 的取值范围 . 2. 已知函数Raxaxxxf22ln. （ 1）若0 x，恒有xxf成立，求实数的取值范围；（ 2）若函数xxfxg有两个极值点2121,xxxx，求证：aexx2ln1ln121. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -