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1、第1页版权所有不得复制高中数学幂函数的定义编稿老师李斌一校张小雯二校黄楠审核孙溢【考点精讲】1. 幂函数的概念：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数。注意：幂函数与指数函数的区别。2. 幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点；任何幂函数都不过象限；（ 2） 当0时 ， 幂 函 数 在0,)上； 当0时 ， 幂 函 数 在(0,)上；（3） 当2,2时，幂函数是； 当11,1,3,3时，幂函数是。【典例精析】例题 1 已知f（x）1222mmxmm， m 为何值时， f（ x）是：（1）正比例函数？（2）反比例函数？（3）二次函数？（4）幂函数？（5）在（ 4）的条件下，满足
2、在（0， ）上单调递增？思路导航： 本题考查函数的定义，需要注意幂函数的系数必须为1。答案： （1）若 f（x）为正比例函数，则m2m1 1，m22m0? m1。（2）若 f（x）为反比例函数，则m2m1 1，m22m0? m 1。（3）若 f（x）为二次函数，则m2m1 2，m22m0? m1 132。（4）若 f（x）为幂函数，则m2 2m1， m 1 2。（5）若 f（x）在（ 0， ）上单调递增，012mm， m 12。例题 2 已知幂函数f（x）322mmx（ m N*）的图象关于y 轴对称，且在（ 0，）上是减函数，求满足3)1(ma3)23(ma的 a 的取值范围。思路导航： 解
3、答此类问题可分为两步：第一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求出 m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围。答案： 函数在（ 0， ）上递减，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 第2页版权所有不得复制m22m 30，解得 1m3。mN*， m1，2。又函数的图象关于y 轴对称， m22m3 是偶数，而 222 23 3 为奇数， 122 13 4 为偶数，m1。而31)(xx
4、f在（ ，0） ， （0， ）上均为减函数，3131)23()1(aa等价于 a132a0 或 0a132a 或 a103 2a。解得 a 1 或23a32。故 a 的取值范围为 a|a 1 或23a32。点评： 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质。例题 3 已知 mN*，函数 f（x）（ 2mm2）2322mmx在（ 0，）上是增函数，判断函数 f（ x）的奇偶性。思路导航：（1）幂函数 yax的特点：系数必须为1；指数必须为常数。（2）幂函数的单调性：当 0 时， yax在（ 0，）上为增函数；当 0，2mm20，或2m23m2
5、0，2m m212或m2，0m2，或2m2或m0，12m2 或 2m0。mN*， m1.此时 f（x） x3，x R。f（ x）（ x）3 x3 f（x） ，函数 f（x）为奇函数。【总结提升】要注意幂函数与指数函数的区别，它们的解析式有如下区别：幂函数 底数是自变量，指数是常数；指数函数 指数是自变量，底数是常数。（答题时间： 15 分钟）1. 已知幂函数y f（x）通过点（ 2，22） ，则幂函数的解析式为（）A. y 212xB. y12xC. y32xD. y521x22. 下列命题中正确的是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
6、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 第3页版权所有不得复制A. 当0时函数xy的图象是一条直线B. 幂函数的图象都经过点（0， 0）和（ 1，1）C. 若幂函数xy是奇函数，则xy是定义域上的增函数D. 幂函数的图象不可能出现在第四象限3. 已知（ 0.71.3）m（ 1.30.7）m，则实数 m 的取值范围是（）A.（0， ）B.（1， ）C.（0，1）D.（ ，0）4. 已知幂函数f（x） xm的部分对应值如表所示，则不等式f（ |x|）2 的解集为（）x 1 12f（x）1 22A. x|0 x2
7、B. x|0 x 4 C. x| 2 x2 D. x| 4 x 45. 设 x （0， 1） ， 幂函数 yxa的图象在直线yx 的上方，则实数 a 的取值范围是 _。6. 已知函数223( )mmf xx（m Z）为偶函数，且f（3）f（5） ，求 m 的值，并确定f（x）的解析式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 第4页版权所有不得复制1. C 解析：设yx，则由已知得，222，即322 2， 32， f（x）
8、32x。2. D 解析： A 错，当0时函数 yx的图象是一条直线（去掉点（0，1） ） ；B 错，如幂函数1xy的图象不过点（0，0） ；C 错，如幂函数1xy在定义域上不是增函数；D 正确，当0 x时，0 x。3. A 解析：因为00.71.30.701，1.30.71.301，00.71.31.30.7。又（ 0.71.3）m（ 1.30.7）m，函数 yxm在（ 0， ）上为增函数，故m0。4. D 解析：由表中数值， 可先求出 m 的值， 然后由函数的奇偶性及单调性，得出不等式，求解即可。由（12）m22，得 m12， f（x）12x，f（|x|）12x，又 f（|x|） 2 ，12
9、x2 ，即 |x| 4， 4x4 。5. （ ，1）解析：由幂函数的图象知a（ ，1） 。6. 解： f（x）是偶函数，223mm应为偶数。又 f（3）f（5） ，即22232335mmmm，整理，得223315mm。2230mm，解得312m。又mZ， m0 或 1。当 m0 时，2233mm为奇数（舍去） ；当 m1 时，2232mm为偶数。故 m 的值为，解析式为2( )f xx。解析：函数223( )mmf xx（mZ）为偶函数，已限定了223mm必为偶数，又 mZ， f（3）f（5） ，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定f（ x）的解析式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -