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1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（安徽卷）第卷（选择题共50 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选题中，只有一项是符合题目要求的 . （1）设 i 是虚数单位，复数iai21为纯虚数，则实数a 为(A)2 (B) -2 (C) 21(D)21（2）双曲线8222yx的实轴长是(A)2 (B) 22(C) 4 (D) 24（3）设)(xf是定义在 R上的奇函数，当0 x时，xxxf22)(,则)1 (f(A)-3 (B)-1 (C) 1 (D)3 （4）设变量x,y满足 |x|+|y | 1，则 x+2y 的最大值和最小值分别为(
2、A) 1,-1 (B) 2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1 （5）在极坐标系中，点)3,2(到圆cos2的圆心的距离为(A) 2 (B) 942(C) 912(D)3（6 ）一 个空间 几何体的 三视 图如图 所示 ， 则 该 几 何 体的 表 面 积 为(A)48 (B) 17832(C)17848(D)80 （7）命题“所有能被2 整除的整数都是偶数”的否定是(A) 所有不能被2 整除的整数都是偶数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - -
3、- - - - - - - (B) 所有不能被2 整除的整数都不是偶数(C) 存在一个不能被2 整除的整数是偶数(D) 存在一个能被2 整除的整数不是偶数（8）设集合A=1,2,3,4,5,6,B=4,5,6,7,8，则满足AS且BS的集合 S的个数是(A)57 (B) 56 (C) 49 (D)8 （9） 已知函数)2sin()(xxf， 其中为实数，若|)6(|)(fxf对Rx恒成立，且)()2(ff，则)(xf的单调递增区间是(A) )(6,3Zkkk(B) )(2,Zkkk(C) )(32,6Zkkk(D) )(,2Zkkk（ 10 ） 函 数nmxaxxf)1 ()(在 区 间 0,
4、1 上 的 图 像 如 图 所 示 ， 则m,n的 值 可 能 是(A) m=1,n=1 (B) m=1,n=2 (C) m=2,n=1 (D) m=3,n=1 第卷（非选择题共100 分）二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置。（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - （12）设2121221021)1(xaxaxaax
5、，则1110aa. （13）已知向量a,b 满足 (a+2b) (a-b)=-6，且 | a|=1,| b|=2 ，则 a 与 b 的夹角为. （14） 已知 ABC的一个内角为120， 并且三边长构成公差为4的等差数列， 则ABC的面积为. （15）在平面直角坐标系中，如果x 与 y 都是整数，就称点(x,y)为整点。下列命题中正确的是.（写出所有正确的编号）。存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果 k 与 b 都是无理数，则直线y=kx+b 不经过任何整点直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b
6、 都是有理数存在恰经过一个整点的直线三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的指定区域内。（16） （本小题满分12 分）设21)(axexfx，其中 a 为正实数 . （）当34a时，求)(xf的极值点；（）若)(xf为 R 上的单调函数，求a的取值范围（17） （本小题满分12 分）如图， ABEDFC为多面体，平面ABED与平面 ACFD垂直，点O 在线段 AD 上， OA=1，OD=2，OAB, OAC, ODE, ODF都是正三角形 . （）证明直线BCEF; （）求棱锥F-OBED的体积 . （18） （本小题满分13 分）
7、在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这n+2 个数构成递增的等比数列，将这n+2 个数的乘积记作nT，再令nnTalg，n1.（）求数列na的通项公式；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - （）设1tantannnnaab，求数列nb的前 n 项和nS. （19） （本小题满分12 分）（）设x1,y1，证明xyyxxyyx111；（）设10，知0122axax在 R上恒成立，因此0)1(4442aaaa，
8、由此并结合a0，知10a. （17）本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力。（）（综合法）证明：设G 是线段DA 与线段EB 延长线的交点，由于OAB 与 ODE 都是正三角形，所以OB DE21,OB=DE21,OG=OD=2 同理，设G是线段 DA与线段 FC延长线的交点，有OG =OD=2 ，又由于G和 G都在线段DA的延长线上，所以G与 G 重合。在 GED 和 GFD中，由 OB DE21,OB=DE21和 OC DF21, OC=DF21, 可知 B,C 分别是 GE和
9、GF的中点，所以BC是 GEF的中位线，故BC EF. （向量法）过点 F作 FQ AD,交 AD于点 Q ， 连 QE ， 由平面 ABED 平面 ADFC ， 知 FQ 平面 ABED, 以 Q为坐标原点，QE为 x 轴正向，QD为 y 轴正向，QF为 z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系。由条件知E(3，0,0) ，F（0,0 ，3） ，B（23，-23，0） ，C（0，-23，23） 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - -
10、- - - - 则有，)23, 0,23(BC，)3,0,3(EF。所以BCEF2，即得 BC EF. （） 解：由 OB=1，OE=2，EOB=60，知 SEOB=23,而 OED是边长为2 的正三角形，故SOED=3,所以 SOBED=SEOB+SOED=233。过点 F作 FQ AD ，交 AD 于点 Q，由平面 ABED平面 ACFD知，FQ就是四棱锥F-OBED的高，且 FQ=3，所以 VF-OBED=31FQSOBED=23。（18）本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力。解： （）设22
11、1,nttt构成等比数列，其中100,121ntt，则2121nnnttttT1212ttttTnnn并利用)21( ,102213nittttnini，得)2(2210nnT.1,2lgnnTann（）由题意和（）中计算结果，知1),3tan()2tan(nnnbn另一方面，利用kkkkkktan)1tan(1tan)1tan()1tan(1tan得11tantan) 1tan(tan)1tan(kkkk所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - -
12、 - - - - - - - nnkkkkbSnininiin1tan3tan)3tan()11tantan)1tan(tan)1tan(23231（19）本题考查不等式的性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形和推理论证能力。证明：（）由于x1,y1，所以xyyxxyyx1112)(1)(xyxyyxxy将上式中的右式减左式，得) 1)(1)(1()1)(1() 1)()1)(1()()() 1)() 1)()(22yxxyyxxyxyxyyxxyxyyxyxxyxyyxxyxyxy既然 x 1,y1，所以0) 1)(1)(1(yxxy，从而所要证明的不等式成立。（
13、）设ycxbbalog,log，由对数的换底公式得xycybxaxyaacbclog,1log,1log,1log于是，所要证明的不等式即为xyyxxyyx111其中1log, 1logcybxba故由（）立知所要证明的不等式成立。（20）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识。解： （）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是)1)(1)(1 (321ppp，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于32132312132132
14、1)1)(1)(1 (1ppppppppppppppp（）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为321,qqq时，随机变量X的分布列为X 1 2 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - P 1q21)1(qq)1)(1 (21qq所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是EX=1q+21)1 (qq+)1)(1 (21qq=212123qqqq（）（方法一）由（）的结论知，当甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，E
15、X=212123qqqq根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值。下面证明：对于321,ppp的任意排列321,qqq，都有212121212323ppppqqqq（）事实上，0)()(1()(1()(2()()()()(2)()(2)23()23(2121122111222121122112121221121212121qqppqqpqqppqpqpqpqpqpqqppqpqpppppqqqq即（）成立。（方法二）（）可将（）中所求的EX改写为12121)(3qqqqq，若交换前两人的派出顺序，则变为22121)(3qqqqq。由此可见，当12qq时，交换前两人的
16、派出顺序可减少均值。（）也可将（）中所求的EX 改写为211)1(23qqq，若交换后两人的派出顺序，则变为111)1(23qqq。由此可见， 若保持第一个派出的人选不变，当12qq时，交换后两人的派出顺序也可减少均值。综合（）（）可知，当),(321ppp=),(321qqq时，EX达到最小。即完成任务概率大的人优先派出，可减少所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的。（21）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。解：由MPQM知 Q,M,P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可
17、设P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则)(202xyyx,即yxy20)1 (名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 再设),(11yxB，由QABQ，即)1 ,1 (),(0101yxyyxx，解得.)1(,)1(011yyxx将式代入式，消去0y，得.)1 ()1(,)1(2211yxyxx又点 B 在抛物线2xy上，所以211xy，再将式代入211xy，得,)1()1()1(222xyx整理得0)1 ()1()1(2yx因0，两边同除以)1(，得012yx故所求点P的轨迹方程为12xy。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -