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1、第1页共 17 页中职数学基础知识汇总预备知识：1?完全平方和（差）公式：（a+b ）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b22.平方差公式：a2-b2=（a+b）（ a-b ）3?立方和（差）公式：a3+b3=（a+b）（ a2-ab+b2） a3-b3=（a-b ）（ a2+ab+b2）第一章集合1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。3. 常用数集： N （自然数集）、 Z （整数集）、 Q （有理数集）、 R （实数集）、 N+（正整数集）4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：（1） 元素与
2、集合是“”与“ ”的关系。（2） 集合与集合是“厂“ ”“ =”“ / 厂的关系。注：（ 1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑是否满足题意）（2） 一个集合含有n 个元素，则它的子集有2n个，真子集有 2n-1 个，非空真子集有2n-2 个5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）（1）A I B = x | x挝A且x B : A与B的公共元素组成的集合（2）AU B =x |x挝A或x B : A与B的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）（3）Cu A : U中元素去掉A 中元素剩下的元素组成的集合。注：CU (AI B) CuAUCuB
3、 CU (AU B) = CUA I CUB 6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。7. 充分必要条件：p是q的条件p是条件，q是结论如果 p q，那么 p 是 q 的充分条件 ;q 是 p 的必要条件 . 如果 p q，那么 p 是 q 的充要条件第二章不等式1. 不等式的基本性质：（略）注：（ 1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。（2） 不等式两边同时乘以负数要变号！（3）同向的不等式可以相力廿（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。2. 重要的不等式：2 2 （1）a b 2ab，当且仅当a b时，等号成立。（2）a b 2 ab（
4、a,b R ），当且仅当a b时，等号成立。（ 3）注：（算术平均数）一ab （几何平均数）2 3. 一元一次不等式的解法（略）4. 一元二次不等式的解法（1） 保证二次项系数为正名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第2页共 17 页（2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名
5、师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第3页共 17 页(3) 定解： (口诀 )大于取两边，小于取中间5. 绝对值不等式的解法分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.第三章函数1. 函数(1)定义：设A B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f ,对 A 内任一个元素x,在 B 中总有一个且只有一个值 y 与它对应，则称f是集合 A 到 B 的函数，可记为：f :A T B,或f :x 宀 y.其中 A 叫做函数f的定义域 .函数f在x a的函数值，记作f (a),函数值的全体构成的集合C(C? B), 叫做
6、函数的值域(2)函数的表示方法：列表法、图像法、解析法。注：在解函数题时可以画岀图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。2. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则(1) 定义域的求法：使函数 (的解析式 ) 有意义的x的取值范围主要依据：分母不能为 0, 偶次根式的被开方式0, 特殊函数定义域：y x,x 0 y ax,(a 0且a 1), x R y log a x, (a 0且a 1), x 0 (2) 值域的求法：y的取值范围正比例函数：y kx和 一次函数：y kx b的值域为R二次函数：y ax2 bx c的值域求法：配方法。如果x的取值范围不是R则还需画图像1 反比例函
7、数：y 的值域为 y | y 0 x 另求值域的方法：换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。(3) 解析式求法：在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。y-、向左平移f(x)a 个单位yf(xa)yf(x)向上平移yf(x)a()a个单位y翻折yf(x)沿x轴yf(x)()上、下对折3.函数图像的变换(1) 平移、向右平移y f(x)a个单位y f(x a)下平移y f(x)a 个单位y f(x) a保留X轴上方图像y f(x)下方翻折到上方y |f(x)|0,则|x| a |x| a 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
8、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第4页共 17 页名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - - 00第 3 页共 i7 页4. 函数的奇偶性(1)定义域关于原点对称(2)若f ( X) f(X)奇若f( X) f(X)偶注：若奇函数在x 0处有意义，则f(0) 0常值函数f(x) a ( a 0 ) 为偶函数 f(x) 0既是奇
9、函数又是偶函数5. 函数的单调性2 f(x) ax bx c为偶函数的充要条件为二次函数 (二次函数恒大 (小) 于0) 对于Xi、X2a,b 且xix2，若f (Xi) f (Xi) f(X2),称f (x)在a,b上为增函数f (x2),称f (x)在a,b上为减函数x值越小，函数值越小。X值越小，函数值反而越大。一般式：f(x)ax2bx c( a0) 顶点式：f(X)a(xk)2 h ( a 0 )，其中(k, h)为顶点两根式：f(x)a(xXi)(x X2)(a0)，其中X2是(2)图像与性质二次函数的图像是- 一条抛物线，有如下特征与性质开口a0 开口向上a 0开口向下b2b 4
10、ac b对称轴：X顶点坐标：( ,)22a4af (x) 0的两根与X轴的交点 : 有两交点有1交点无交点Xi X2 根与系数的关系 : (韦达定理 ) Xi X2 a f(x) 0 0图像位于X轴上方f(X)0 图像位于x轴下方若二次函数对任意x都有f(t X) f (t X)，则其对称轴是X t o增函数：X值越大，函数值越大；减函数：X值越大，函数值反而越小; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - - 00第 3
11、页共 i7 页第四章指数函数与对数函数i. 指数幕的性质与运算名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第7页共 17 页(1) 根式的性质 : n为任意正整数，(na)na 当n为奇数时 , vana ；当n为偶数时 , |a| 零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。零次幕：a01 (a 0) (3)负数指数幕 : (4)分数指数幕 : n 1 * a (a 0, nN) a m anvam(a 0, m, n
12、N 且n 1) (5) 实数指数幕的运算法则：(a 0, m,n R)2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. m、n mn n (a ) a (a b)幕运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的幕函数y xa当a 0时, 当a 0时, 指数与对数的互化：abN对数基本性质：loga an次方。 log a b与log b a互为倒数 log m bn log a b a m 对数的基本运算：loga(M 换底公式 : N) loga log a M loga logb N logb a xa在(0, xa在(0, loga N b loga b log
13、b )上单调递增)上单调递减(a aN (b 0 且b 1) 0 且a 1) (N 0) alog loga loga log a M logb a loga N 指数函数、 对数函数的图像和性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第8页共 17 页性质（1）X R, y 0图像经过（0,1）点（3）a 1, y ax在R上为增函数；0 a 1,y ax在R上为减函数。(1) x 0, y R(2) 图像经过(1,
14、0)点a 1,y logax在(0,)上为增函数；(3) 0 a 1, y log ax在(0,)上为减函数9. 禾 U 用幕函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幕（次）或用换底公式或是利用中间值0，1 来过渡。10. 指数方程和对数方程：指数式和对数式互化同底法 换元法取对数法注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。第五章数列等差数列等比数列每一项与前一项之差为同一个常数每一项与前一项之比为同一个常数疋a2a1a3a2 an a* 1 da2a3anq (q 0)a1a2an 1义注：当公差d0时，数列为常数列注：等比数列各项及公比均不能为0；当公比为 1
15、时, 数列为常数列通项n1公式ana1(n1)danag推（1）danam（1）n mqnmam论（2）anam(n m)d（2）anamn mq（3）若mnp q，则am an ap aq（3）若mnp q，则aman apaq中项三个数a、b、c成等差数列，则有三个数a、b、c成等比数列，则有公式, a c2ba cb - 2b2ac前nn项和Snan)nan(n 1)dnadSna1(1 q ) a1 anq ( q 1) 公式221q 1 q1.已知前n项和Sn的解析式，求通项anSi (n 1) Sn Sn 1 (n 2) 第六章三角函数1. 弧度和角度的互换2. 弄懂等差、等比数通
16、项公式和前n项和公式的证明方法。（见教材）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第9页共 17 页解释：指k 一（k Z），若k为奇数，则函数名要改变，若k为偶数函数名不变27.已知三角函数值求角(1确定角所在的象限;求岀函数值的绝对值对应的锐角终边的角的集合）8.和角、倍角公式 和角公式：sin()sin coscossincos()cos cossinsintan()tanta1 tan tan二倍角公式：si
17、n22sin coscos 27. 180o2. 3. sin 4. 5. （1）（26. tan sin21o弧度180 扇形弧长公式和面积公式1 | | rs扇Lr任意三角函数的定义：弧度对边y 斜边=7cos 邻边斜边0.01745弧度1弧度（型）5718 2 1 r ( 记忆法：与S ABC2 ta n 对边y 邻边=x 0 0030064504-60030902sin匹屈占22222cosV022222tan031不存在三角函数基本公式sin （可用于化简、证明等）cos cos2（可用于已知sin 求cos ；或者反过来运用）诱导公式：口诀 : 奇变偶不变，符号看象限。特殊三角函数
18、值（三角函数中为正的， 其余的为负）三角函数的符号判定口诀：一全二正弦，三切四余弦。图像记忆法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第10页共 17页;（3）写岀满足条件的0 2的角；（4）加上周期（同注意正负号相同注意正负号相反2 2 2 2 cos sin 2 cos 1 1 2si n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
19、- - - - - - - 第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第11页共 17页9.三角函数的图像与性质函数图像性质定义域值域同期奇偶性单调性y sin xJJx R1,1T 2奇2k -,2k -2 232k -,2k 2 2y cosx-Vx R1,1T 2偶2k ,2k 2k ,2 k 9.正弦型函数y Asi n( x ) (AO, 0) （1）定义域R，值域A, A （2）周期：T（3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将(4) y asinx bcosx .a2b2sin(x ) tan 2 2 tan 1 tan2半角公式：sin 2
20、 cos 2 1 cos 2 X的系数提出来，再看是怎样平移的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第12页共 17页13.海伦公式：S ABC P（P a）（P b）（P c）（其中P为ABC的半周长，P a b c） * 2 第七章平面向量1. 向量的概念（1）定义：既有大小又有方向的量。（2）向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为 A，终点为 B 的向量表示为AB。（3）向量的模（长度）：|AB|或|a|（
21、4）零向量：长度为0, 方向任意。单位向量：长度为1 的向量。向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。2. 向量的运算（2）计算法则加法：AB BC AC 减法：AB AC CA （3） 运算律：加法交换律、结合律注：乘法（内积）不具有结合律 H fc- f +3. 数乘向量：a （ 1）模为：| | a | （2）方向：为正与a相同；为负与a相反。4. AB的坐标：终点 B 的坐标减去起点A 的坐标。AB （XB XAB A） b t-10.正弦定理b sin A sin B 其他形式：（1）11. （2）余弦定理2R sin C a 2Rsin
22、A a : b: c sin A:sin B : sinC （R为ABC的外接圆半径）2Rs inB 2RsinC （注意理解记忆，可只记一个）12. b2c22bccosA cos A c2a22bc （注意理解记忆，可只记一个）三角形面积公式1 ABCabsi nC 2 1 bcsin A 2 1 acsin B 2 （注意理解记忆，可只记一个）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第13页共 17页5. 向量
23、共线（平行）：唯一实数，使得a b。（可证平行、三点共线问题等）6. 平面向量分解定理：如果e1,e2是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量a，都存在唯一的一对实数x1,x2，使得a x1e1x2e2。7. 注意ABC中，重心（三条中线交点）、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、内心（内切圆圆心：三角平分线交点）、垂心（三高线的交点）8. 向量的内积（数量积）（1）向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围0,。 ? f r fc- r lis（2）内积公式：a b |a|b|cos a,b 9. 向量内积的性质 :名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
24、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - - (1)倾斜角：一条直线丨向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是0,)a |b (1) cos a,b (夹角公式 ) ( 2) a 丄b a b 0 |a|b| (3)a a | a |2或| a | a a (长度公式 )10. 向量的直角坐标运算：( 1) AB (xBxA, yByA)F- F *?! - F(2)设a (xi,yj,b (X2,y2)，贝U a b (xi X2,yi y?) a
25、( Xi, yj a b X1X2 y2 11. 中点坐标公式：若 A(X1,y1) ,B(X2,y2)，点 M(x,y) 是线段 AB 的中点，则X也X2 , y 凶池2 2 * b-12. 向量平行、垂直的充要条件：设a (x-!，y1), b (x2, y2)，贝y -I x-i y1a 11 b ( 相对应坐标比值相等 )X2 y2 a 丄b a b 0X-|X2y2 0(两个向量垂直则它们的内积为0) 11.长度公式( 1) 向量长度公式：设a(x,y)，则|a| x2y2( 2) 两点间距离公式: 设点A(X1,y1), B(X2, y2)，则| AB | _ (x?xj2(y2
26、%)212.向量平移1-txXa1( 1) 平移公式：点P(x, y)平移向量a(a?)到P(x,y)，则记忆法： 新=旧+向量yya2( 2)图像平移：yf (x)的图像平移向量a (aa2)后得到的函数解析式为：y a2 f(x aj第八章平面解析几何1. 曲线C上的点与方程F(x, y) 0之间的关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y) 0的解；(2)以方程F(x,y) 0的解(x, y)为坐标的点都在曲线C上。则曲线C叫做方程F(x, y) 0的曲线，方程F(x, y) 0叫做曲线C的方程。2. 求曲线方程的方法及步骤：(1)设动点的坐标为 ( x, y); 写岀动点在曲线上的
27、充要条件；(3)用X,y的关系式表示这个条件列岀的方程；( 4)化简方程 (不需要的全部约掉 ) ；(5)证明化简后的方程是所求曲线的方程。如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可。4. 直线：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - - (1)倾斜角：一条直线丨向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是0,)第 9 页共 17 页名师资料总结 - - -精
28、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第16页共 17 页注：1.若直线I方程为 3x+4y+5=0 ，则与I平行的直线可设为3x+4y+C=0 ; 与I垂直的直线可设为4X-3Y+C=0 2.求直线的方程最后要化成一般式。(4)两条直线的位置关系l1 : y k1 x b1 l2 : y k2x b211 : AjX BX C 0 12 : A2x B2X C20l1与丨2平行A1B1C2A2 B2 C2l1与l2重合k?. R b b?
29、A B! C2A2 B2 C2l1与I 2相交k1k2AB1AB2l1 丄l2k? 1A1A2B1B2 0注：系数为 0 的情况可画图像来判定。(5)点到直线的距离点P(x0,y。)到直线Ax By C 0的距离：d 5.圆的方程(1)标准方程: (Xa)2(yb)22 /r ( r0) 其中圆心(a,b)，半径r(2)一般方程: X22yDxEyF 0(D2E2 4F 0) 圆心( DE _) 2半径: r、D2E24F2，2(4)直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d和半径r比较d r 相交；d r 相切；d r 相离6.椭圆几何定义动点与两定点 (焦点)的距离之和等于常
30、数2a经】过两占(,yj, P2(X2,y2)的直线的斜率Ky2y1(X1 X2)1 1X2X1直线的方程两点式：yy2y1xX1斜截式：ykx by1X2%点斜式：yy。k(xXQ)一般式：AxByC 0(2)斜率：倾斜角为90的直线没有斜率； k tan( 倾 斜 角 的 正切) | Ax0_By。_C | 、:A2B2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第17页共 17 页IPF1I IPF2I 2a名师资
31、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第18页共 17 页标准方程2 2笃笃1 （焦点在x轴上）a b2 2冷y2 1 （焦点在y轴上）b a图像iy a,b, c的关系2 9 9a2b2c2注意：通常题目会隐藏这个条件对称轴与对称中心x轴：长轴长2a ；y轴：短轴长2b ；0（0,0）顶点坐标(a,0) (0, b)焦点坐标（c,0）焦距2c 注：要特别注意焦点在哪个轴上离心率c Lb21eW = 1a Y a7.双曲
32、线几何定义动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数2aIIPF1I IPF2II 2a标准方程2 2务芯 1 （焦点在a bx轴上）2 2芯务1 （焦点在y轴上）a b图像y1 H 1 H L2-vbJ /v丿;)r-、a,b, c的关系c2a2 b2注意：通常题目会隐藏这个条件对称轴与对称中心x轴：实轴长2a ；y轴：虚轴长2b ；0（0,0）顶点坐标(a,0)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第19页
33、共 17 页焦点坐标（c,0）焦距2c 注：要特别注意焦点在哪个轴上离心率e ￥庐1a y a渐近线by -x （焦点在x轴上）aay x （焦点在y轴上）b注：等轴双曲线：（ 1）实轴长和虚轴长相等a b （2 离心率e 2 （3）渐近线y x(3)掌握焦点在哪个轴上的判断方法圆锥曲线中凡涉及到弦长，都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式：(4)|AB| 1 k2 I X2)24x1x2圆锥曲线中最重要的是它本身的定义！做题时应注意圆锥曲线上的点是满足圆锥曲线的定义的! 第九章立体几何1.空间的基本要素：点、线、面注：用集合符号表示空间中点（元素）、线（集合）、面（集合）的关系8.注:
34、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第20页共 17 页2. 平面的基本性质(1)三个公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线。经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。(2)三个推论：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。经过两条相交直线，有且只有一个平面。经过两条平行直线，
35、有且只有一个平面。3. 两条直线的位置关系：(1)相交：有且只有一个公共点，记作 a b A ”(2)平行：a.过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。b. 平行于同一条直线的两条直线平行(3)异面：定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于一的角。注意在找异面直线之间的夹2 角时可作其中一条的平行线，让它们相交。4. 直线和平面的位置关系：(1)直线在平面内：丨(2)直线与平面相交：| A(3)直线与平面平行定义：没有公共点，记作：I / 判定：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。性质：如果一条直线与一平面
36、平行，且过直线的另一平面与该平面相交，则该直线与交线平行。5. 两个平面的位置关系(1)相交：I(2)平行：定义：没有公共点，记作：“/ 判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，则两平面平行性质：a.两个平行平面与第三个平面都相交，则交线互相平行b. 平行于同一平面的两个平面平行c. 夹在两平行平面间的平行线段相等d. 两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例6. 直线与平面所成的角：(1)定义：直线与它在平面内的射影所成的角(2)范围：0,2 7. 直线与平面垂直名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
37、 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第21页共 17 页(1)判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与平面垂直(2)性质：如果一条直线垂直于一平面，则它垂直于该平面内任何直线；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 27 页 - - - - - - - - - （2） 与首末两端等距离的两项的二项式系数相等，即c：C：r第22页共 17 页垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同
38、一直线的两平面平行。8. 两个平面垂直（1） 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直。（2） 性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直9. 二面角（1） 定义：过二面角丨的棱上一点0，分别在两半平面内引棱丨的垂线OA、OB，则AOB为二面角的平面角范围：0, （3） 二面角的平面角构造：按定义，在棱上取一点O，分别在两半平面内引棱的垂线OA、OB，则AOB即是作一平面与二面角的棱垂直，与两半平面分别交于OA、OB，AOB即是第十章排列、组合与二项式定理1?分类用加法：Nm1m2mn分步用乘法：N m1m2m2?有序为排列：Pnmn(
39、n1)(n2)(nm 1)n!(nm)!无序为组合：cmPnm1)( n 2)(n m 1)n!Pm m! m!(n m)!阶乘：Pnnn! n(n 1)(n 2) 3 2 1规定：0! 1 CO 1注：（ 1）做排列组合题的原则：先特殊，后一般！（2）在一起，用捆绑法；不在一起，用插空法；另外的思考方法：一般法、排除法、分类讨论法、机会均等法等等。4. 二项式定理：（a b）n C：anb0 C：an b r n r r r 通项：Tr 1 Cna b，其中Cn叫做第r 1项的二项式系数注：（ 1）二项展开式中第r 1项的系数与第r 1项的二项式系数Cn是两个不同的概念。（2）杨辉三角1.
40、二项式系数的性质3.组合数的两个性质：（ 1） W C；m Cnm1 cm cm1cnan rbrn 0 n Cna b名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第23页共 17 页（1）除每行两端的 1 以外，每个数字都等于它肩上两数之和，即C：1cn C：1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
41、23 页，共 27 页 - - - - - - - - - 当 X V 时，曲线上升；当X 时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以X 轴为渐近线 ,第24页共 17 页、概率1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能岀现的结果有年n 个，且所有结果岀现的可能性都相等，那么，每对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件 相互独立事件：事件 A(或 B)是否发生对事件B(或 A)发生的概率没有影响 .这样的两个事件叫做相互独立事件如果两个相互独立事件同
42、时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A-B)=P(A) -P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率 P ( AB )等于这两个事件发生概率之积，这时我们也可称这两个事件为独立事件 独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的 .如果在一次试验中某事件发生的概率为P, 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：k k nPn(k) CnP (1 P) 二、随机变量 .1. 随机试验的结果应该是不确定的.试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次
43、试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。设离散型随机变量E可能取的值为：x1,x2, ,Xj,E取每一个值X1 (i 1,2,)的概率P( Xi) pi，则表称为随机变量E的概率分布，简称E的分布列X1X2XiPP1p2Pi有性质 pt 0,i 1,2,； p1 p2 Pi 1.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量5 之间的一切数，包括整数、小数、无理数3. 离散型随机变量的二项分布：在
44、一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数E是一个随机变量 ?如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在 n 次独立重复试验中(3) n为偶数，展开式有奇数项，中间项的二项式系数最大; n为奇数，展开式有偶数项，中间两项的二项式系数最大。(第- 1 项) 2 n 1 (第项和后一项 ) 2 7. cm cn2nC0 C：C；Cn52n概率与统计1 一个基本事件的概率都是一，如果某个事件A 包含的结果有n 3. 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件有一个发生)的概率，等于事件 A、B 分别发生m 个，那么事件 A 的概率p(A) m.n .如果
45、事件 A、B 互斥，那么事件A+B 发生(即 A、B 中P(A+B)=P(A)+P(B) 。注意： i.对立事件的概率和等于1 : P(A) P(A) P(A A) 1 . .例如：0,5即可以取 0?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第25页共 17 页这个事件恰好发生k 次的概率是Pn( k) Cn pkqn k，(k= 0,1,2, ? - n，q 1 p ) ?于是得到随机变量E的概率分布如下：01k
46、n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 27 页 - - - - - - - - - 当 X V 时，曲线上升；当X 时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以X 轴为渐近线 ,第26页共 17 页Pc 0 OnCnP q小1 1 n 1CnP qk k n kGn P qc n n 0Gn P q由于Ck pkqn k恰好是二项展开式n OOn 11n1 kknk nnO (q p) Cnpq Cnpq Cn p q Cn p q 中的各项的值，所
47、以称这样的随机变量E服从二项分布，记作匕B(n, p)，其中 n , p 为参数，并记C：pkqn k= b(k； n，p).二项分布的判断与应用. 二项分布，实际是对n 次独立重复试验 .关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列三、数学期望与方差 .1.期望的含义：一般地，若离散型随机变量E的概率分布为X1X2XiPP1P2Pi则称E X2P2 XnPn 为E的数学期望或平均数、
48、均值.数学期望又简称期望 .数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. 二项分布的数学期望：E np其分布列为? B(n, p). ( P 为发生的概率) 3. 方差、标准差的定义：当已知随机变量E的分布列为 P( Xk) Pk(k 1,2,) 时，则称正态曲线的性质 . 曲线在 X 轴上方，与 X 轴不相交 . 曲线关于直线X 对称. 当X 时曲线处于最高点，当X 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现岀(Xn E)b 为E的方差。显然D 0，故为E的根方差或标准差。随机变量E的方差与标准差都反映了随机变量E取值的稳定与波动， 集中与离散的程度.D 越小，稳定性越高，波动越小4. 二项
49、分布的方差：D npq5. 期望与方差的关系：四、正态分布 .(基本不列入考试范围 ) 1. 密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量E位于 X 轴上方, 直线 X a 与直线X b所围成的曲边梯形的面积( 如图阴影部分 )的曲线叫E的密度曲线，以其作为图像的函数 f (x)叫做E的密度函数，由于X (,) ” 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.1 厂 - e 2. ( x R, 为常数，且、20 )，称E服从参数为的正态分布，用2N(,)表2N(,)，它的密度曲线简称为正态曲正态分布的期望与方差：若N( , 2)，则E的期望与方差分别为：E中间高、两边低 的钟形曲线E落在任一区
50、间 a, b)内的概率等于它与名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 27 页 - - - - - - - - - 第27页共 17 页向 x 轴无限的靠近 .当 一定时，曲线的形状由确定， 越大，曲线越矮胖”表示总体的分布越分散；越小，曲线越瘦高”,表示总体的分布越集中 .x21 3.标准正态分布：如果随机变量E的概率函数为(X)e 2 ( x )，则称E服从标准正态分布 .即J2态分布N( , 2).确定一次试验中的取值a是否落入范围(3 , 3 ).做岀判