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1、1 工程问题工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。它是函数一一对应思想在应用题中的有力渗透。工程问题也是教材的难点。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。因此，让学生理解工作总量、工作时间、工作效率之间的概念及它们之间的数量关系是重点。在教学中充分发挥学生的主体地位，运用学生已有的知识“包含除”来解决合作问题。在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、 工作效率、 工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 工作量 =工作效率时间 . 在小学
2、数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”教学目标知识目标： 理解比较抽象的工作总量、工作效率、 工作时间的数量关系。使学生认识工程问题的特点， 掌握其数量关系、解题思路和方法，能应用其基本方法解决一些简单的实际问题能力目标： 运用所学的知识解决生活中的实际问题，进一步提高学生解决问题的能力。掌握一般工程问题的结构特征。学会解题方法，会正确解答一般的工程问题。情感目标： 进一步培养独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等学习习惯，获得一些成功的体验，增强学好数学的信心。在解答问题的过程中，逐步培养学生观察、比较、类推的能力及创新意识。教学重点 ：学会解题方法，会正确解答一般
3、的工程问题。教学难点： 理解比较抽象的工作总量、工作效率、工作时间的数量关系。工程问题分类名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2 一、两个人的问题（ “两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体）. 例 1 一件工作，甲做9 天可以完成，乙做6 天可以完成 . 现在甲先做了3 天，余下的工作由乙继续完成 . 乙需要做几天可以完成全部工作？解一：甲每天完成1/9 ，乙每天完成1/6 。甲先做了3 天，即做了整个工
4、作的3/9 ，还剩下 6/9 ，则乙完成剩余工作的天数为：6/9 1/6 4 答：乙需要做4 天可完成全部工作. 解二：甲与乙的工作效率之比是6 9= 2 3. 甲做了 3 天，相当于乙做了2 天. 乙完成余下工作所需时间是6-2=4 （天）变式训练1、一项工程，甲独做要12 天完成，乙独做要18 天完成，二人合做多少天可以完成这件工程的 2/3 ？2、修一条路，甲单独修需16 天，乙单独修需24 天，如果乙先修了9 天，然后甲、乙二人合修，还要几天？3、一项工程，甲队独做15 天完成，乙队独做12 天完成。现在甲、乙合作4 天后，剩下的工程由丙队8 天完成。如果这项工程由丙队独做，需几天完成
5、？例 2 一件工作，甲、乙两人合作30 天可以完成，共同做了6 天后，甲离开了，由乙继续做了 40 天才完成 . 如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解：共做了6 天后，原来，甲做 24 天，乙做 24 天，现在，甲做0 天，乙做40=（24+16）天 . 这说明原来甲24 天做的工作，可由乙做16 天来代替 . 因此甲的工作效率如果乙独做，所需时间是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 3 如果甲独做，所需时
6、间是答：甲或乙独做所需时间分别是75 天和 50 天. 变式训练1、一项工程，甲单独做20 天完成，乙单独做30天完成。甲、乙合做几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16 天。乙请假多少天？2、加工一批零件，甲单独做20 天可以完工，乙单独做30 天可以完工。现两队合作来完成这个任务，合作中甲休息了2 .5 天，乙休息了若干天，这样共14 天完工。乙休息了几天？3、两列火车同时从甲、 乙两地同时相对开出。 快车行完全程需要20 小时，慢车行完全程需要 30 小时。开出后 15 小时两车相遇。 已知快车中途停留4 小时，慢车停留了几小时？例 3 一项工程， 甲、乙两队合做每天能完
7、成全工程的409。甲队独做 3 天，乙队独做5 天后，可完成全工程的87。如果全工程由乙队单独做，多少天可以完成？变式训练1、甲、乙两队合作，20 天完成一项工程。如果两队合作8 天后，乙队再独做4 天，还剩下这项工程的158。甲、乙两队独做各需几天完成？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 4 2、一项工程， 甲乙合做全工程的107，剩下的由甲单独完成，甲一共做了10.5 天. 这项工程由甲单独做需要15 天，如果
8、由乙单独做，需要多少天？3、一项工程，甲乙两队合作30 天完成，甲乙先合作2 天后，乙再独做10 天完成这项工程的例 4、某工程先由甲独做63 天，再由乙单独做28 天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48 天完成 . 现在甲先单独做42 天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？解：先对比如下：甲做 63 天，乙做 28 天；甲做 48 天，乙做48 天. 就知道甲少做63-48=15 （天），乙要多做48-28=20 （天），由此得出甲的甲先单独做42 天，比 63 天少做了 63-42=21 （天），相当于乙要做因此，乙还要做28+28= 56 （天） . 答：乙还需要做 56 天
9、. 变式训练1、一项工程，甲先单独做2 天，然后与乙合做7 天，这样才能完成全工程的一半。已知甲、乙工效的比是2:3 。如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？2、例 5 一项工程，甲队单独做20 天完成，乙队单独做30 天完成 . 现在他们两队一起做，其间甲队休息了3 天，乙队休息了若干天. 从开始到完成共用了16 天. 问乙队休息了多少天？解一：如果16 天两队都不休息，可以完成的工作量是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - -
10、 - - - - 5 由于两队休息期间未做的工作量是乙队休息期间未做的工作量是乙队休息的天数是答：乙队休息了5 天半 . 解二：设全部工作量为60 份. 甲每天完成3 份，乙每天完成2 份. 两队休息期间未做的工作量是（3+2） 16- 60= 20 （份） . 因此乙休息天数是（20- 3 3 ） 2= 5.5（天） . 解三：甲队做2 天，相当于乙队做3 天. 甲队休息3 天，相当于乙队休息4.5 天. 如果甲队16 天都不休息，只余下甲队4 天工作量，相当于乙队6 天工作量，乙休息天数是16-6-4.5=5.5（天） . 变式训练1、一项工程，甲、队独做10 天可以完成，乙队独做30 天
11、可以完成。现在两队合作期间甲队休息了2 天，乙队休息了8 天（两队不在同一天休息）。从开始到完工共用了多少天？2、一项工程，甲单独做完要50 天，乙单独做完要60 天. 两人合做，甲每做3 天休息 1 天，乙每做 5 天休息 1 天，完成全部工作需要多少天？3、一项工程，甲单独做20 天完成，乙单独做30 天完成。甲、乙合做几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16 天。乙请假多少天？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - -
12、- - - - - 6 例 6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10 天，单独完成乙工作要15 天；李单独完成甲工作要 8 天，单独完成乙工作要20 天. 如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？解：设乙的工作量为60 份（ 15 与 20 的最小公倍数），张每天完成4 份，李每天完成3 份. 8 天，李就能完成甲工作. 此时张还余下乙工作（60-4 8）份 . 由张、李合作需要（60-4 8）（ 4+3）=4（天） . 8+4=12（天） . 答：这两项工作都完成最少需要12 天. 这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理. 但是，“整数化”并不能使所有工程问题
13、的计算简便 .例 8 就是如此 . 例 8 也可以整数化，当求出乙每有一点方便，但好处不大. 不必多此一举 . 变式训练1、某工程先由甲单独做40 天， 再由乙做28 天可以完成 .现在甲乙合做35 天就完成了 . 如果先由甲单独做30 天，再由乙接着做，乙还要工作多少天才能完成？2、二、多人的工程问题（我们说的多人，至少有3 个人，当然多人问题要比2 人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多）例 9 一件工作，甲、乙两人合作36 天完成，乙、丙两人合作45 天完成，甲、丙两人合作要 60 天完成 . 问甲一人独做需要多少天完成？解：设这件工作的工作量是1. 甲、乙、丙三人合作每天完成（6
14、01451361）2=301减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成901451301答：甲一人独做需要90 天完成 . 例 10 某项工作，甲组3 人 8 天能完成工作，乙组4 人 7 天也能完成工作. 问甲组 2 人和乙组 7 人合作多少时间能完成这项工作？解一：设这项工作的工作量是1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 7 甲组每人每天能完成乙组每人每天能完成甲组 2 人和乙组7 人每天能完成答：合作3
15、天能完成这项工作. 二、多人的工程问题例 11 一件工作，甲独做要12 天，乙独做要18 天，丙独做要24 天. 这件工作由甲先做了若干天， 然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2 倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？解：甲做1 天，乙就做3 天，丙就做32=6（天） . 说明甲做了2 天，乙做了 23=6 （天），丙做 26=12( 天），三人一共做了 2+6+12=20（天）. 答：完成这项工作用了20 天. 本题整数化会带来计算上的方便.12 ，18，24 这三数有一个易求出的最小公倍数72. 可设全部工作量为72. 甲每天完成6，
16、乙每天完成4，丙每天完成3. 总共用了例 12 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13 天完成 . 如果丙休息2 天，乙就要多做4 天，或者由甲、乙两人合作1 天. 问这项工程由甲独做需要多少天？解：丙 2 天的工作量， 相当乙 4 天的工作量 .丙的工作效率是乙的工作效率的42=2 （倍），甲、乙合作1 天，与乙做4 天一样 . 也就是甲做1 天，相当于乙做3 天，甲的工作效率是乙的工作效率的3 倍. 他们共同做13 天的工作量，由甲单独完成，甲需要答：甲独做需要26 天. 例 13 制作一批零件，甲车间要10 天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6 天就能完成 .乙车间与丙车间一起做，需要8
17、天才能完成 . 现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400 个. 问丙车间制作了多少个零件？解一：仍设总工作量为1. 乙的工效：15110161丙的工效：120715181三人合作完成需要的天数：4127151811（天）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 8 甲车间比乙车间多做的分率：15241514101总工作量： 2400152=18000（个）丙车间的个数：18000（41207）=42
18、00（个）答：丙车间制作了4200 个零件 . 例 14 搬运一个仓库的货物，甲需要10 小时，乙需要12 小时，丙需要15 小时 . 有同样的仓库 A和 B，甲在 A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运 .最后两个仓库货物同时搬完. 问丙帮助甲、乙各多少时间？解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1. 现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是答：丙帮助甲搬运3 小时，帮助乙搬运5 小时 . 解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间. 本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60. 甲每小时搬运 6 ，乙每小时搬运 5 ，丙每小时搬运4.
19、 三人共同搬完，需要60 2 （6+ 5+ 4 ）= 8 （小时） . 甲需丙帮助搬运（60- 6 8 ） 4= 3 （小时） . 乙需丙帮助搬运（60- 5 8 ） 4= 5 （小时） . 三、水管问题从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的. 水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量. 单位时间里的注水量或排水量就是工作效率. 至于又有注入又有排出的问题， 不过是工作量有加有减罢了. 因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同. 例 15 甲、乙两管同时打开，9 分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10 分钟后打开乙管，经过 3 分钟就注满了水池. 已知甲管比乙管每分钟多
20、注入0.6 立方米水，这个水池的容积是多少立方米？两管齐开3 分钟所注水量：31391单开甲管10 分钟所注的水量：32311名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 9 甲管的工效：1511032乙管工效：45215191蓄水池容积：4521516.027（立方米）答：水池容积是27 立方米 . 课后练习提升1.做一件工程，甲独做需要12 小时完成，乙独做需要18 小时完成，甲乙合做1 小时后，然后由甲工作1 小时，再
21、由乙工作1 小时， 两人如此交替工作，完成任务还需多少时间？2.加工一批零件，甲、乙两人合做1 小时，完成了这批零件的6011，乙、丙两人接着生产1 小时，又完成了203，甲、丙又合做2 小时，完成了31. 剩下的任务，甲、乙、丙三人合做，还要多少小时完成？3.甲、乙两人从两地出发相对而行，甲走完全程要8 小时，乙走完全程要6 小时 .两人同时出发1.5 小时后，乙返回出发点用半小时取东西后再出发.乙再出发后过几小时两人相遇？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共
22、 12 页 - - - - - - - - - 10 4.原计划用24 个工人挖一定数量的土方，按计划工作5 天后，因为调走6 人，于是剩下的工人每天比原定工作量多挖1方土才能如期完成任务. 原计划每人每天挖土多少方？5.甲、乙两项工程分别由一、二队来完成. 在晴天，一队完成甲工程需要12 天，二队完成乙工程需要15 天；在雨天， 一队的工作效率要下降40，二队的工作效率要下降10.结果两队同时完成这两项工程，那么，在施工的日子里，雨天有多少天？6.加工同一个零件，王师傅需要2 小时，工人小张需要3 小时，工人小李需要4 小时，现在有这种零件143 个，如果三个人同时加工，各要加工多少个零件才
23、能同时完成任务？7.师徒三人合作承包一项工程，4 天能够全部完成. 已知师傅单独做所需的天数与两个徒弟合作做所需的天数相等；而师傅与乙徒弟合作做所需的天数的2 倍与甲徒弟单独做完所名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 11 需的天数相等. 那么甲徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？乙徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？8.甲、乙、丙三人共同完成一项工作，5 天完成了全部工作的31，然后甲休息了3 天，乙休息了 2
24、天，丙没有休息. 如果甲一天的工作量是丙一天的工作量的3 倍，乙一天的工作量是丙一天的工作量的2 倍，那么这项工作，从开始算起是第几天完成的？9.一个装满了水的水池有一个进水管和三个口径相同的出水管. 如果同时打开进水管和一个出水管，则30 分钟能把水池的水排完；如果同时打开进水管和两个出水管，则10 分钟能把水池的水排完. 关闭进水管并且同时打开三个出水管，需要多少分钟才能排完水池的水？10. 一个蓄水池底部有一裂缝，上面有甲、乙、丙三个进水管，空池时，如果只开甲、乙两名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
25、理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 12 管， 12 小时可灌满；只开甲、丙两管10 小时可灌满；只开甲管15 小时可灌满 . 把裂缝堵住以后，只开乙、丙两管需要多少小时把空池灌满？14. 一项工程， 甲单独做完要50 天，乙单独做完要60 天. 两人合做， 甲每做 3 天休息 1 天，乙每做 5 天休息 1 天，完成全部工作需要多少天？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -