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1、1 广告费用和效应问题 3 某装饰材料公司欲以每桶2 元的价钱购进一批彩漆。一般来说，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，如表1 所示。表 1 售价 (元) 预期销售量 (桶 ) 售价 (元) 预期销售量 (桶) 2.00 41 000 2.50 38 000 3,00 34 000 3.50 32 000 4.00 29 000 4.50 28 000 5.00 25 000 5.50 22 000 6.00 20 000 为了尽快收回资金并获得较多的赢利，装饰材料公司打算做广告。投入一定的广告费用后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。例如，投入4万元的广告费，
2、销售增长因子为1.95，即销售量将是预期销售量的1.95 倍。根据经验，广告费与销售增长因子的关系如表2 所示。表 2 广告费 (元) 销售增长因子广告费 (元) 销售增长因子0 1.00 10 000 1.40 20 000 1.70 30 000 1.85 40 000 1.95 50 000 2.00 60 000 1.95 70 000 1.80 试问：装饰材料公司采取怎样的营销战略使得预期的利润最大？数学模型 设售货单价为x(元)，预期销售量为y(桶)，广告费为z(元)，销售增长因子为k。投入广告后实际销售量为s(桶)，获得的利润为P(元)。预期销售量y 随售价 x 的增加而减小，可
3、近似用线性关系表示y = a0+ a1x(1) 其中， a0和 a1是待定常数。销售增长因子k 随广告费用z先增后减，可用二次方程表示k = b0 + b1z + b2z2(2) 其中， b0，b1和 b2也是待定常数。待定常数可根据表中数据拟合。投入广告费之后，实际销售量为s = ky(3) 利润是收入减支出，收入是售货单价x 乘以销售量s；支出包括成本和广告费，成本是进货单价 2 乘以销售量s。因此利润为P = sx 2s - z = ky(x 2) - z = (b0 + b1z + b2z2)(a0 + a1x)(x 2) - z(4) 这是二元函数，求最大利润就是二元函数的最大值。令
4、0Px，0Pz即kma1(xm 2) + ( a0 + a1xm) = 0 (5) (b1 + 2b2zm)(a0 + a1xm)(xm 2) 1 = 0 (6) 由(5)得最大利润的单价名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2 010111(2)122maxaaaa(7) 由(6)得最大利润的广告费111222012014111()2()(2)24mmmazbbbaa xxbaa(8) 最大利润的销售增长因子为km
5、= b0 + b1zm + b2zm2(9) 最大利润的预期销售量为ym= a0+ a1xm(10) 投入广告费之后，最大利润的实际销售量为sm = kmym(11) 最大利润为Pm = kmym(xm 2) - zm(12) 算法 先计算拟合常数，画出拟合曲线。再形成利润的矩阵，求出最大利润和下标，从而计算最大利润的售价和广告费。画出利润曲面，标记最大值。程序 zqy2_3advertisement.m 如下。% 广告效应clear % 清除变量x=2:0.5:6; % 售价y=41,38,34,32,29,28,25,22,20*1000; % 预期销售量经验数据z=(0:7)*1e4;
6、% 广告费k=1,1.4,1.7,1.85,1.95,2,1.95,1.8; % 销售增长因子经验数据figure % 创建图形窗口subplot(2,1,1) % 子图plot(x,y,rx) % 画预期销售量曲线grid on% 加网格fs=12; % 字体大小title( 预期销售量和售价的拟合线 , FontSize,fs)% 标题xlabel( 售价 (元) , FontSize,fs) % 横坐标ylabel( 预期销售量 ( 桶) , FontSize,fs) % 纵坐标a=polyfit(x,y,1) % 求系数xx=2:0.01:6; % 售价yy=polyval(a,xx)
7、; % 求拟合值hold on% 保持图像plot(xx,yy) % 画拟合线legend( 经验值 , 拟合线 ) % 图例subplot(2,1,2) % 子图plot(z,k,rx) % 画广告费和销售增长因子曲线grid on% 加网格title( 销售增长因子和广告费的拟合曲线 , FontSize,fs)% 标题xlabel( 广告费 ( 元 ) , FontSize,fs) % 横坐标名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - -
8、 - - - - 3 ylabel( 销售增长因子 , FontSize,fs) % 纵坐标b=polyfit(z,k,2) % 求系数zz=(0:0.01:7)*1e4; % 广告费kk=polyval(b,zz); % 求拟合值hold on% 保持图像plot(zz,kk) % 画拟合线legend( 经验值 , 拟合线 ,2) % 图例X,Z=meshgrid(xx,zz); % 矩阵K=polyval(b,Z); % 销售增长因子矩阵Y=polyval(a,X); % 预期销售量矩阵P=K.*Y.*(X-2)-Z; % 利润mi,i=max(P); % 在单价一定的情况下求最大值向量
9、和下标向量m,j=max(mi) % 求最大利润和下标xm=xx(j) % 最大利润的单价zm=zz(i(j) % 最大利润的广告费km=polyval(b,zm) % 求最大利润拟合销售增长因子stem(zm,km, -) % 画杆图text(zm,km,num2str(zm),num2str(km),FontSize,fs)% 标记结果subplot(2,1,1) % 子图ym=polyval(a,xm) % 求最大利润拟合预期销售量stem(xm,ym, -) % 画杆图text(xm,ym,num2str(xm),num2str(ym),FontSize,fs)% 标记结果sm=km*
10、ym; % 最大利润的实际销售量text(2,2e4, 最大利润的实际销售量: ,num2str(sm),FontSize,fs)% 标记结果figure % 创建图形窗口surf(xx,zz,P) % 画利润曲面shading interp% 染色box on% 加框title( 利润与售价和广告费曲面 , FontSize,fs)% 标题xlabel( 售价 (元) , FontSize,fs) % 横坐标ylabel( 广告费 ( 元 ) , FontSize,fs) % 纵坐标zlabel( 利润 (元) , FontSize,fs) % 高坐标text(xm,zm,m,num2str
11、(xm),num2str(zm),num2str(m),FontSize,fs)% 标记结果format long% 数值的长显示格式xm=1-a(2)/2/a(1) % 最大利润的精确的单价( 拟合系数按降幂排列)zm=(1./polyval(a,xm)./(xm-2)-b(2)/2/b(1)% 最大利润的精确的广告费km=polyval(b,zm) % 求最大利润拟合销售增长因子ym=polyval(a,xm) % 预期销售量矩阵sm=km*ym % 最大利润的实际销售量Pm=km.*ym.*(xm-2)-zm % 最大利润format short% 数值的短显示格式名师资料总结 - -
12、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 命令窗口输出的结果为a = 1.0e+004 * -0.5133 5.0422 b = -0.0000 0.0000 1.0188 xm = 5.911255411255412 zm = 3.311658444142216e+004 km = 1.907213596622438 ym = 2.007777777777779e+004 sm = 3.829261076774162e+004 Pm =
13、1.166555966350045e+005 图示 如 M2_3a之上图所示， 预期销售量随售价增加几乎线性减小，当利润最大时， 售价为 5.91 元 ( 精确值 5.911 元) ，预期销售量为20084 桶( 精确值 20078 桶) ，由于广告效应，实际销售量达到38300 桶( 精确值 38293 桶 ) 。如 M2_3a之下图所示， 销售增长因子随广告费先增后减，当利润最大时，广告费约为33100 元( 精确值33117 元) ，销售增长因子达到1.907( 精确值 1.9072) 。如 M2_3b图所示， 当售价比较小的时候，利润随广告费增加而减少；当售价比较大的时候，利润随广告费增加而先增后减，最大利润大约为116655 元(精确值116655.6 元) 。利用矩阵计算的近似结果与利用偏导数计算的精确结果相差甚小。M2_3a图 M2_3b图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -