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1、1 对数、反函数、对数函数一、对数的概念及运算一般地，如果) 1, 0(aaNax且， 那么数x叫做以a为底 N 的对数，记作Nxalog，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数。说明： （1）实质上，上述对数表达式，不过是指数函数xay的另一种表达形式，例如 ：8134与81log43这 两 个 式 子 表 达 是 同 一 关 系 ， 因 此 ， 有 关 系 式.log NxNaax（2） “l o g”同“+” “” “”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。（3）根据对数的定义，对数) 1, 0(logaaNa且具有下
2、列性质：零和负数没有对数，即0N；1 的对数为零，即01loga；底的对数等于1，即.1log aa2对数的运算法则（1）基本公式：)0,0, 1, 0(loglog)(logNMaaNMMNaaa，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和。)0,0, 1, 0(logloglogNMaaNMNMaaa，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数。), 0, 1,0(loglogRnMaaMnMana，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数。（2）要熟练掌握公式的运用和逆用。（3）在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件。例 如 ： 真 数 为 两 负 数 的 积 ，
3、).5(log).3(log22不 能 写 成).5(log).3(log22=).5(log)3(log223换底公式abbccalogloglog利用对数的换底公式，能够将一般对数式转化为自然对数或常用对数，为解决实际问题和数学计算带来方便。（1） 常用对数： 对数) 1, 0(logaaNa且在底数10a时，叫做常数对数， 记作.lg N求一个正实数的常用对数，可通过对数表或使用计算器求解。（2）自然对数：在科学技术中，常常使用以无理数71828. 2e为底的对数，以e为底的对数叫做自然对数，Nelog通常记作.ln N名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
4、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2 （3）自然对数与常用对数的关系：.lglglneNN（4）要注意换底公式特点：abbccalogloglog从左到右，将以a为底的对数换成了以c为底的对数， 统一了底数， 为计算带来了方便；从右至左，将分式化为整数，为化简带来了方便。4对数与指数式的关系及相互转换利用对数式与指数式这一关系，可以把指数与对数进行互化，从而使问题顺利地得到解决，求某些对数值就可把它转化为指数问题。例 1、求下列各式的. x（1）0)(loglog52x；（2）.
5、1)(lglog3x解：（1）由0)(loglog52x，得.12log05x故551x；（2）由1)(lglog3x，得.3lg x故.1000103x例 2、求下列各式的值（1）3log333558log932log2log2；（2）2)2(lg20lg5lg8lg3225lg；（3）).5353(log4log31log9log2log237575分析利用对数的性质求解， 首先要明确解题目目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算。解析（1）原式32log3)9log32(log2log23333132log322log52log2
6、333（2）原式 =2lg)102lg(210lg2lg25lg22=2lg) 12)(lg2lg1()25lg(22=3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 3 （3）4log313log3log22log214log31log9log2log757537575,2) 15(21) 15(21)15(21) 15(21)526(21)526(215353,237lg4lg315lg3lg7lg3lg5lg2lg2原
7、式.121232log232点评对数的求值一般有两种方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值。例 3、已知,518,9log18ba求.45log36解析已知条件与所求对数的底是不相同的，因此考虑应用换底公式。解法一：518,9log18ba，.5log18b.2918log12log15log9log)218(log)59(log36log45log45log181818181818181836ababa解法二：518,9log18
8、ba，.5log18b.29log18log25log9log918log)59(log45log181818182181836aba解法三：, 518,9log18ba.18lg5lg,18lg9lgba.218lg18lg218lg18lg9lg18lg25lg9lg918lg)59lg(36lg45lg45log236abaaba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 4 点评本题还有其他方法，这里，都是把指数式
9、518b改写为对数式，再把所求对数通过换底公式换成和它相同底数的对数，以便利用已知条件和对数的性质求解。例 4、设3643yx，求yx12的值 . 分析首先将指数式化为对数式，再利用对数的性质进行计算。解析,364 ,363yx,36log,36log43yx3log3log36log136log113636363x，, 4log4log36log136log113636364y4log3log2123636yx.1)49(log36二、反函数1、反函数定义：若函数yfx（xA）的值域为C，由这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到xy. 如果对于y在C中的任何一个值，通过xy，x在A中
10、都有唯一的值和它对应，那么，xy就表示y是自变量，x是自变量y的函数 .这样的函数xy（yC）叫做函数yfx（xA）的反函数，记作1xfy. 在函数1xfy中，y表示自变量，x表示函数 . 习惯上，我们一般用x表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数1xfy中的字母x、y，把它改写成1yfx. 2、 互为反函数的两个函数yfx与1yfx在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称 . 3、若yf x是a，b上的单调函数，则yfx一定有反函数，且反函数的单调性与yfx一致 . 4、若yfx，xa，b （ab）是偶函数，则yfx无反函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
11、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 5 5、求反函数的步骤：（1）解关于x的方程yfx，得到1xfy. （2）把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到1yfx. （3）求出并说明反函数的定义域即函数yfx的值域 . 例题与训练1、函数 y=11x（x 1）的反函数是（A ）A.y=x11（x0）B.y=x1+1（x0）C.y=x+1（xR）D.y=x1（xR）2、函数 y=log2（x+1） +1（x0）的反函数为（A ）A.y=2x11（ x1）B.y=2x1+1（x
12、1） C.y=2x+11（x 0）D.y=2x+1+1 （x 0）3、函数 f（x）= x2（x（， 2 ）的反函数f1（ x）=_. 答案：x（x 4）4、函数2xxeey的反函数是（ C）A.是奇函数 , 它在 (0,+ )上是减函数 . B.是偶函数 , 它在 (0,+ ) 上是减函数 . C.是奇函数 , 它在 (0,+ ) 上是增函数 . D.是偶函数 , 它在 (0,+ )上是增函数 . 5、 若点 （ 2，41） 既在函数y2axb的图象上， 又在它的反函数的图象上，则 a=_，b=_.答案：7127106、函数fxxax( )223在区间 1，2上存在反函数的充分必要条件是（
13、D ）A.a(, 1 B.a ,)2 C.a , 12 D.a(, ,)12三、对数函数1对数函数的概念形如) 10(logaaxya且的函数叫做对数函数. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 6 说明： （ 1）一个函数为对数函数的条件是：系数为 1；底数为大于0 且不等于 1 的正常数；自变量为真数. 对数型函数的定义域：特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于1。2 、 由 对 数 的 定 义 容 易
14、知 道 对 数 函 数) 1,0(l o gaaxya是 指 数 函 数) 1, 0(aaayx的反函数。反函数及其性质互为反函数的两个函数的图象关于直线xy对称。若函数)(xfy上有一点),(ba，则),(ab必在其反函数图象上，反之若),(ab在反函数图象上，则),(ba必在原函数图象上。利用反函数的性质，由指数函数) 1, 0(aaayx的定义域Rx，值域0y，容易得到对数函数) 1,0(logaaxya的定义域为0 x，值域为R，利用上节学过的对数概念，也可得出这一点。3、 对数函数的图象和性质定义) 10(logaaxya且底数1a10a图象定义域), 0(值域R单调性增函数减函数共
15、点性图象过点 (1,0)，即01loga函数值特征), 1 );0 ,() 1 ,0(xyx),0y), 1 );,0() 1 ,0(xyx 0,(y对称性函数xyalog与xya1log的图象关于x轴对称4对数函数与指数函数的比较名称指数函数对数函数一般形式) 1, 0(aaayx) 1,0(logaaxya定义域),(),0(值域), 0(),(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 7 函数值变化情况当1a时)0
16、( 1)0( 1)0( 1xxxax当1a时) 10(0) 1(0) 1(0logxxxxa当10a时)0( 1)0( 1)0( 1xxxax当10a时) 10(0) 1(0) 1(0logxxxxa单调性当1a时，xa是增函数；当10a时，xa是减函数当1a时，xalog是增函数；当10a时，xalog是减函数图象xay的图象与xyalog的图象关于直线xy对称要牢记xxxxyyyy)101(,10,)21(,2的反函数xyxyxyxy101212log,lg,log,log的图象，并由此归纳出表中结论。5、比较大小比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：如果两对数的底数相同，则由对数函数的单
17、调性（底数1a为增；10a为减）比较。如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较。 如 果 两 对 数 的 底 数 不 同 而 真 数 相 同 ， 如xya1log与xya2log的 比 较（1, 0, 1, 02211aaaa）. 当121aa时， 曲线1y比2y的图象（在第一象限内） 上升得慢，即当x1 时，21yy；当10 x时，21yy. 而在第一象限内，图象越靠近x轴对数函数的底数越大当1012aa时， 曲线1y比2y的图象 （在第四象限内）下降得快，即当1x时，21yy；当10 x时，21yy即在第四象限内，图象越靠近x轴的对数函数的底数越小。6、求参数范围凡是涉及对
18、数的底含参数的问题，要注意对对数的底数的分析，需要分类讨论时，一定要分类讨论。例题与应用例 1、 如图是对数函数xyalog的图象，已知a值取101,53,34,3， 则图象4321,CCCC相应的a值依次是（）A3、34、53、101B3、34、101、53C34、3、53、101D34、3、101、53解析当1a时，图象上升；10a， 图象下降， 又当1a时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 8 a越大，图象
19、向右越靠近x轴；10a时，a越小，图象向右越靠近x轴，故选A。点评 这类问题还可这样求解，过点 (0,1)作x轴的平行直线l（如图） 与4321,CCCC的交点的横坐标，即为各对数底的值，显然，交点越在左边，底越小，这种求解方法简单易记。例 2、已知121loga，那么a的取值范围是。分析利用函数单调性或利用数形结合求解。解由aaalog121log， 得当1a时，21a，1a；当10a时，21a，.210a故1a，或.210a答案1a或210a点评解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1 还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答，理解会用以下几个结论很有必要：（1）当
20、1a时，100log, 10logxxxxaa；（2）当10a时，100logxxa，.10logxxa例 3、设10a，.)1()1()(log22axxaxfa（1）求)(xf； （2）求证：)(xf在R上为增函数 . 解析（1）设)(logRtxta，则).0(xaxt于是).(1) 1() 1()(222ttttaaaaaaaatf因此).)(1)(2Rxaaaaxfxx（2）设21xx，则)()(1)()(1122212xxxxaaaaaaxfxf).()(121122xxxxaaaaaa, 102121xxxxa.,2112xxxxaaaa即.0, 02112xxxxaaaa10a
21、，012a，0)()(12xfxf即).()(12xfxf)(xf在R上为增函数。点评问题（1）中所采用的换元法求解析式是复合函数解析式求法中经常用到的，复合函数的单调性问题，要注意讨论xay的单调性，这里10a，若条件改为0a，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 9 且1a，该如何解答？例 4、求下列函数的定义域：（1）).1,0()(log11aaaxya解析要使原函数有意义，需, 0)(log1axa即.lo
22、g1)(logaaxaa当1a时，,0aax.0 xa当10a时，, aax.0 x当1a时，原函数定义域为 0|xax；10a时，原函数定义域为.0|x点评函数有意义的条件，可能有许多个，对每一个条件都不能丢掉，然后求解. 例 5、设函数).)(12lg()(2Rxxaxxf（1）若)(xf的定义域为R，求a的取值范围；（2）若)(xf的值域为 R，求a的取值范围。解析（1）因为)(xf的定义域为R，所以对一切12,2xaxRx恒为正数，由此可得0a，且044a，解得. 1a（2） 因为)(xf的值域为 R， 所以真数122xax能取到一切正实数， 由此可得0a，且044a，解得.10a点评
23、本题很多同学容易把（1）与（ 2）混为一谈，常用求解问题（1）的方法去处理问题（ 2） 。区别它们的依据：对函数的定义域和值域的理解，以及二次、对数函数性质的应用。例 6、 （1）43log, 4log, 3log3434的大小顺序为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 10 A43log3log4log3443B43log3log4log3443C3log43log4log4343D3log4log34log4
24、334（2）若12aba，试比较baabbaabbalog,log,log,log的大小 . 解析（1）, 13log0 , 14log431)34(log43log1343，.43log3log4log3443选 B。（2）1ab，.10ba).1 , 0(log),1 ,0(log, 0logaabbabba又1aba，且1b，,loglogaabbb故有.loglogloglogbaabbaabba课后作业：1、方程)2lg(2xx=)6lg(2xx的解为 _。-2 2、已知 log23=m，试用 m 表示6log 9=_ 解：6log 9 =22log 9log 6=222log31l
25、og 3=21mm。3、下列对数运算中，一定正确的是() (A)lg(M+N)=lgM lgN(B)lg(M N)=lgM+lgN(C)lnMn=nlnM(D)logab=lglgba解： (A)显然错误；取M=- 2，N=- 1，发现 (B)不成立；取M=- 2， n=2，发现 (C)不成立；(D)一定正确。选(D)。4、已知函数1( ),(0,1)xf xabbb的图象经过点 （1，3） ， 函数1(),(0)fxaa的图象经过点（ 4，2） ，试求函数1( )fx的表达式 . 解：函数f（x）=a+bx1（b0，b1）的图象经过点（1，3） ，a+b0=3，a=3b0=3 1=2. 又函
26、数f1（x+a） （a0）的图象经过点（4，2） ，f 1（4+a）=2. f（2）=4+a=4+2=6，即 2+b21=6. b=4. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 11 故f（x）=2+4x1. 再求其反函数即得f1（x）=log4（x2）+1（x2）. 5、 （本题满分10 分）已知集合P=21，2，函数 y= log2(ax2-2x+2)的定义域为Q。（1）若 PQ，求实数 a 的取值范围；（2）若
27、方程 log2(ax2-2x+2)=2 在21，2内有解，求实数a 的取值范围解： (1)若 PQ，则在 21，2内至少存在一个x 使 ax2-2x+20 成立，即 a-22x+x2=-2(x1-21)2+21-4，21， a-4,5(2)方程2)22(log22xax在2,21内有解，则0222xax在2,21内有解，即在2,21内有值使xxa222成立，设21)211(22222xxxu，当2,21x时，12,23u，12,23a，a的取值范围是1223a。 ,106、已知)1,0(11logaaxxxfa（1）求xf的定义域；（2）判断xf的奇偶性，并加以证明；（3）当1a时，求使0 x
28、f的x取值范围 . 解： （1）21a，xxxxf21220 x221xx22 当且仅当xx21即22x时等号成立22minxf. （2）对任意, 1x，0 xf恒成立等价于022axx在, 1x上恒成立 . 又axxg112在, 1单调递增，只要0301ag，即,3a. 教师备用：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 12 1设).0( ,ln),0( ,)(xxxexgx则)21(gg。 解 析 本 题 考 查
29、 了 分 段 函 数 的 知 识 ，021， 则021ln)21(g， 得.21)21( l n)21(21lneggg故应填：.21255ln,33ln,22lncba，则（）AcbaBabcCbac D cab解析366533982,5ln,3ln,2lncba，51010525322，. bac故选 C。3方程12)321 (log3xx的解x. 解析.013233,2130,3321, 0321212xxxxxx令,3tx.131,210,0123,212或ttttt,31t,313x. 1x故应填： 1 4方程3lglg) 2lg(2xx的解是。解析0) 1)(2( ,322xxxx
30、，.2, 121xx故应填： 1,2。18已知函数xxxxf11log1)(2，求函数)(xf的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性。解析由题意知x需满足, 011,0 xxx由011xx得. 11x所以函数)(xf的定义域为).1 ,0()0, 1(因为函数)(xf的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有).()11log1(11log1)(22xfxxxxxxxf所以)(xf是奇函数 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - -
31、 - - - - 13 研究)(xf在(0,1)内的单调性，任取) 1 , 0(,11xx，且21xx，则)11(11log111log1)()(212222212121xxxxxxxxxfxf).112(log) 112(log1222xx由.0)112(log)112(log, 011122221xxxx得0)()(21xfxf，即)(xf在 (0,1)内单调递减，由于)(xf是奇函数，所以)(xf在)0 , 1(内单调递减。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -