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1、1：B- 样条曲线：移动控制点移动控制点是改变B-样条曲线形状的最明显的方法。在前面页讨论的局部修 改方案 说明 了修 改控 制点Pi 的 位置 仅影响 在区 间 ui, ui+p+1)上 的 曲 线C(u) 。其中 p 是 B-样条曲线的次数。 实际上，形状的改变是在控制点被移动方向上的 t 平移 。更准确地， 如果控制点 Pi 向某个方向移动到一个新位置Qi ，那么点 C(u)，其中u 在ui, ui+p+1)上，会以相同方向从Pi 移动到 Qi。 但是，移动的距离点与点之间是不同的。下图中，控制点 P4 从左图位置移到中图新位置最后到右图最终位置。 可看到那些对应节点的点 （小三角标记）
2、 也以相同方向移动。让我们看些细节。假设C(u) 是一个给定的 p 次 B-样条曲线定义如下：设控制点Pi 被移动到一个新位置Pi + v. 。那么，新p 次 B-样条曲线D(u)如下：因此， 新曲线 D(u)是简单的原始曲线C(u)的和以及一个平移向量Ni,p(u)v。 因为 Ni,p(u)在区间 ui,ui+p+1)上非零，如果 u 不在该区间， 这个“平移”项为零。因此，移动一个控制点仅影响给定曲线部分形状。 下面左曲线是个由13 个控制点 control points (即， n = 12)和 18 个节点 (即， m = 17)定义的 4次 (即，p = 4)B-样条曲线。 这些 1
3、8 个节点都是简单的并定义了一个clamped曲线 (即，u0 = u1 = u2 = u3 = u4 = 0 和 u13 = u14 = u15 = u16 = u17 = 1) 。剩余的节点定义了9 个节点区间，因此如图所示有9 个曲线段。这 9 个节点区间和曲线段命名如下：区间u4,u5) u5,u6) u6,u7) u7,u8) u8,u9) u9,u10) u10,u11) u11,u12) u12,u13) 曲线段123456789名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
4、- 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 现在让我们移动P6。结果显示在上面右图。如你们所看到的，曲线以同样方向移动。 P6 的系数是N6,4(u), 其在u6, u11)上非零。因此，移动P6 影响曲线段3, 4, 5, 6 和 7。曲线段 1, 2, 8和 9 不受影响 。来自强凸包性质的有用结果回忆 强凸包性质 ，如果 u 位于 ui,ui+1)，那么 C(u) 位于由控制点 Pi, Pi-1, ., Pi-p+1, Pi-p 定义的凸包内。这有助于帮助我们进行下列设计任务：强制曲线段变成直线段：让p+1 相邻控制点共线。如果 u 位于节点区间ui,ui+1) 上，
5、那么 C(u) 位于由 p+1 个控制点 Pi, Pi-1, ., Pi-p+1, Pi-p 定义的凸包内。因为这对所有在该区间的u 都成立，所以在该节点区间的曲线段完全位于该凸包内。如果所有这些p+1 个控制点是共线的 (即，在一条直线上 )，凸包退化到线段，它所包含的曲线段也是如此。结果，在节点区间 ui,ui+1)上的曲线段变成了直线段。 注意在这个情况下只有这个曲线段变成了直线段。其他曲线段仍然是非线性的。(a) (b) (c) (d) (e) (f) 让我们来看一个例子。 上面的图由n = 15 (即，16 个控制点 ), p = 3 (次数为 3) 和m = 19 (即， 20 个
6、节点)。注意头四个和最后四个节点是clamped。图 (a)是给定的 B-样条曲线。让我们使得 P9, P8, P7 和 P6 共线。因此，在u9,u10)上的曲线段位于由P9, P8, P7 和 P6定义的凸包内。因为这个凸包是直线段，所以曲线段也必须是直线段。记住头四个节点是clamped因此头三个节点区间不存在。因为u9,u10)是第 7 个节点区间，第 7 段退化为直线段 P7P8。 这通过图(b), (c) 和(d)说明。但是，为什么在u9,u10)上的曲线段只退化到曲线段? 看图 (b)。阴影部分区域是u 刚要进入 enters u9,u10) 前的凸包。这个凸包由控制点P8, P
7、7, P6 和 P5定义，其还不是一条直线段。一旦 u 进入u9,u10)，曲线段退化(图 (c).在 u 离开u9,u10)的同时，出现了一个新的凸包(图(d)。图 (e) 有 P5 及其四个后继共线。该曲线包含多于一个直线段。图 (f) 有 P10 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 和它的 5 个后继共线；但是，它被移动到P8 和 P9之间的位置。这导致相应曲线段的部分成为一条直线（为什么？）强制 B-样条曲线
8、经过一个控制点：让p 个相邻控制点重合（ identical ） 。考 虑控制 点 Pi。 因为 在节 点区 间ui, ui+1)上 的 曲 线段 完 全位 于由Pi, ., Pi-p+1,Pi-p 定义的凸包内，如果我们使得前p 个控制点重合 (即， Pi = Pi-1 = . = Pi-p+1)，凸包退化为一条直线段, Pi-pPi 而曲线必经过 Pi。上面左图的曲线是3 次的。如果 P5 移到与 P6 重合，曲线也移动更接近P6 但还没有经过它。 这如中图所示。 注意曲线段的数目没有因为这个移动而改变；但是 P5 附近的小三角标记移动到更接近P6。 如果 P4 被移到与 P6 = P5
9、重合，曲线经过 P6 且对应于节点的点因为移动而与控制点P4 重合。强制 B-样条曲线与控制折线的一边相切：让 Pi-p, Pi-p+1 = Pi-p+2 = . = Pi-1 = Pi 及 Pi+1 共线。上面将 p 个相邻控制点重合。在那个控制点上，连续性是C0 因为曲线有一个尖头（见上面右图）。 但是，一个B-样条曲线在简单节点上是Cp-1 在其他空间是无限可微的， 在边 Pi-pPi 上的控制点Pi 上的曲线是 Cp-1 连续的（退化控制点重新编号为i）而在边 PiPi+1 上的控制点 Pi 也是 Cp-1 连续的。因此，如果我们使得Pi-p, Pi 和 Pi+1 共线，只要两个相邻曲
10、线段在该节点上没有尖头，它们在 Pi是 Cp-1 连续的。在上面图中，曲线的次数是2。 如果我们使得控制点2, 3, 4 和 5 共线而 3 和 4 重合，我们得到右图。共线保证了曲线段位于直线上而重合控制点强制C3-1 = C2 连续。2：B- 样条曲线：修改节点因为 B-样条曲线是许多曲线段的组合，每个定义于一个节点区间上，修改一个或多个节点位置会改变相应的曲线段和节点区间，因此改变曲线的形状。下图描述了修改一个单节点的效果。它是一个6 次 B-样条曲线，有 17 个节点，最前 7 个和最后 7 个在端点上是 clamped ，而内部节点是 0.25, 0.5 和 0.75。初始曲线在左图
11、显示。 如果节点 0.25 移动到 0.1， 曲线的形状改变， 原来的 C(0.25)向下移动到一个新位置。如果节点0.5 移动到 0.1 使得节点 0.1 变成一个双重节点 (重复度 2)， 曲线的形状移动到左边； 但是 C(0.1) 向上移动到接近原始点 (即，原来的 C(0.25)的位置。结果显示在右图。尽管我们在0.1 有一个双重节点以及在 0.75 另一个节点非均匀地将定义域0,1 划分成三个节点区间， B-样条曲线被它们相应点几乎均匀地划分。下图显示了三条曲线的形状的改变，每个由 10 (n=9)个控制点定义 ，次数是 6。它们内部节点向量是(0.25,0.5,0.75) - 红色
12、曲线 ， (0.25,0.25,0.75) - 蓝色曲线，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - (0.25,0.25,0.25) -黑色曲线。实际经验告诉我们修改节点位置不仅不可预测而且不令人满意。更准确地说， 因为不清楚B-样条曲线会对节点向量的改变作怎样的反应，通过改变节点来修改B-样条曲线通常都不令人满意而且很难达到设计目的。关于多重节点的评注多重节点对产生期望的结果有帮助。回忆前面讨论的多重节点的性质， 增加一
13、个内部节点的重复度会减小在该节点的非零基函数的数目。实际上，如果该节点的重复度是k, 最多在该节点上有p - k + 1 个非零函数。而且，在该节点的基函数是Cp-k 连续的。假设一个节点有重复度p-k,在该节点上有k+1 个非零基函数且曲线上的相应点位于由控制点（与那些非零基函数相对应）定义的凸包内。如果k = p - 1, 有两个非零函数而相应的凸包是直线段。如果 k = p, 只有一个非零基函数在该节点上，只有一个控制点有非零系数。结果，曲线通过该点。(a) (b) (c) (d) (e) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
14、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 上面图 (a)，显示了一个 5 次 B-样条曲线， 相对应于标记的节点点的节点移动到它前面的节点，构建了一个重复度2 的节点 。结果在图(b), 其与原始图没有太大差别。然后，下一个节点(用矩形框标记 )也被移动到产生的节点，构建了一个重复度 3 的节点。产生的曲线朝控制折线的一条边移动。再移动一个节点构建一个重复度 4 的新节点。这使得相应的点（椭圆标记）位于一条边上。最后，仅剩的一个节点移到与其它节点结合起来。由于它的重复度是 5 而 p=5, 只有一个非零系数因此使得曲线通过该控制点。如图(e)所示，该控制点是P5 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -