《2022年2022年讲义时间序列模型 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年讲义时间序列模型 .pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 2.3 自相关函数以上介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。1. 自相关函数定义在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第一节知随机过程xt中的每一个元素xt，t = 1, 2, 都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用表示，即E(x t) = , t = 1, 2, (2.25) 随机过程的取值将以为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量Var(x t) = E ( xt- E(xt)2 = E ( xt - )2 = x2 , t = 1, 2, (2.26)
2、 x2用来度量随机过程取值对其均值的离散程度。相隔 k 期的两个随机变量xt与 xt - k的协方差即滞后k 期的 自协方差 ，定义为k = Cov ( xt, x t - k ) = E( xt - ) (xt - k - ) (2.27) 自协方差序列k, k = 0, 1, , K, 称为随机过程xt 的自协方差函数 。当 k = 0 时0 = Var (xt) = x2退化成为方差。自相关系数定义k = )()(),(kttkttxVarxarVxxCov（2.28）因为对于一个平稳过程有Var (xt) = Var (xt - k) = x2(2.29) 所以（ 2.28）可以改写为
3、k =2),(xkttxxCov=2xk= 0k（2.30）当 k = 0 时，有0 = 1。以滞后期 k 为变量的自相关系数列k, k = 0, 1, , K(2.31) 称为自相关函数。因为k = - k即 Cov ( xt - k, xt ) = Cov ( xt, x t + k )，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。2.自回归过程的自相关函数(1) 平稳 AR(1) 过程的自相关函数AR(1) 过程如下xt = xt-1 + ut , 1 用 xt- k同乘上式两侧xt xt- k= xt-1 xt- k + ut xt- k名师资料总结 - - -
4、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 2 -0.8-0.6-0.4-0.20. 00. 20. 40. 60. 82468101214两侧同取期望，k = 1 k -1其中 E(ut xt- k) = 0（ut与其 t - k 期及以前各项都不相关）。两侧同除0，并进行迭代计算得k = 1 k -1 = 1 1 k -2= = 1k0因为0 = 1。所以有k = 1k , （k 0）对于平稳序列有。所以当1为正时，自相关函数按指数衰减至零，
5、当1为负时，自相关函数正负交错地指数衰减至零。见图2.6。因为对于经济时间序列，1一般为正，所以第一种情形常见。指数衰减至零的表现形式说明随着时间间隔的加长，变量之间的关系变得越来越弱。 0 （经济序列自相关函数常见形式） 0 （经济序列自相关函数少见形式）图 2.6 AR(1) 过程的自相关函数（2）AR( p) 过程的自相关函数用 xt - k, (k同乘平稳的p 阶自回归过程xt = 1 xt -1 + 2 xt -2+ p xt - p + ut(2.32) 的两侧，得xt - k xt = 1xt - k xt -1 + 2xt - k xt -2 + +pxt - k xt - p
6、 + xt - k ut(2.33) 对上式两侧分别求期望得k = 1 k -1 + 2 k -2 + + pk - p， k 0 (2.34) 上式中对于k 0，有 E(xt - kut) = 0。因为当k 0 时，xt - k发生在 ut之前，所以xt - k 与 ut不相关。用0分别除（ 2.34）式的两侧得k = 1 k -1 + 2k -2 + + pk -p， k 0 (2.35) 令(L) = (1 - 1 L - 2 L2 - - p Lp）其中 L 为 k 的滞后算子，则上式可表达为(L) k = 0 因(L) 可因式分解为，(L) =piiLG1)-(1, 则（ 2.35）
7、式的通解是k = A1 G1k + A2 G2k+ + Ap Gpk. (2.36) 其中 Ai, i = 1, p 为常数。这里Gi-1, i = 1, 2, , p 是特征方程-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 3 (L) = (1 - 1 L - 2 L2 - - p Lp ) = 0 的根。为保证随机过程的平稳性，要求| Gi
8、 | 1, i = 1, 2, , p。这会遇到如下两种情形。 当 Gi为实数时， (2.36) 式中的 Ai Gik将随着 k 的增加而几何衰减至零，称为指数衰减。 当 Gi和 Gj表示一对共轭复根时，设Gi = a + bi, Gj = a bi, 22ba= R，则 Gi, Gj的极座标形式是Gi = R (Cos + i Sin)， Gj = R (Cos - i Sin)。若 AR( p) 过程平稳， 则Gi 1，所以必有R 0，指数衰减是平滑的，或正或负。若1 0，相关函数为正负交替式指数衰减。对于 ARMA ( p, q) 过程， p, q 2 时，自相关函数是指数衰减或正弦衰减
9、的。5. 相关图 （correlogram）对于一个有限时间序列（x1, x2, , xT）用样本平均数x = T1Tttx1估计总体均值，用样本方差s2 = 21)(1TttxxT估计总体方差x2。其中 T 是时间序列数据的样本容量。当用样本矩估计随机过程的自相关函数，则称其为相关图 或估计的自相关函数，记为rk = 0CCk, k = 0, 1 , 2, , K, ( K 1 时，kk = 0，所以 AR(1) 过程的偏自相关函数特征是在k = 1 出现峰值（11 = 1）然后截尾。11 0 11 p 时，kk= 0。偏自相关函数在滞后期p以后有截尾特性，因此可用此特征识别AR( p)过程
10、的阶数。MA(1) 过程的偏自相关函数呈指数衰减特征。若1 0, 偏自相关函数呈交替改变符号式指数衰减；若1 0，偏自相关函数呈负数的指数衰减。1 1 1 0，(1- 1 L + 12L2 - ) xt = ut , -0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.82468101214-0.8-0.6-0.4-0.20. 00. 20. 40. 60. 82468101214-0.8-0.6-0.4-0.20. 00. 20. 40. 60. 82468101214名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名
11、师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 6 xt = 1 x t-1- 12x t-2 + 13x t-3 - + ut , 对于 xt = ut - 1 ut-1过程，有1/ (1- 1 L) xt = ut ，当1 0, (1+ 1 L + 12L2 + ) xt = ut , xt = - 1 x t-1- 12x t-2 - 13x t-3 - + ut , 对于 MA(2) 过程，若 (L) = 0 的根是实数，偏自相关函数由两个指数衰减形式叠加而成。若 (L) = 0 的根是虚数，偏自相关函数是呈正弦衰减的。ARMA(
12、p, q) 过程的偏自相关函数也是无限延长的，其表现形式与MA( q)过程的偏自相关函数相类似。 根据模型中移动平均部分的阶数q 以及参数i的不同， 偏自相关函数呈指数衰减和（或）正弦衰减混合形式。对于时间序列数据，偏自相关函数通常是未知的。可用样本计算11, 22, 的估计量11?, 22?, 。估计的偏自相关函数kk?, k = 1, 2, , K, (2.48) 称为 偏相关图 。因为 AR过程和 ARMA 过程中 AR分量的偏自相关函数具有截尾特性，所以可利用偏相关图估计自回归过程的阶数p。实际中对于偏相关图取k = 15就足可以了。2.5 时间序列模型的建立与预测ARIMA过程 yt
13、用 (L)dyt = 0 +(L) ut(2.51) 表示，其中 (L)和 (L)分别是 p, q 阶的以 L 为变数的多项式，它们的根都在单位圆之外。0为位移项， d yt表示对 yt 进行 d 次差分之后可以表达为一个平稳的可逆的ARMA 过程。这是随机过程的一般表达式。它既包括了AR ，MA 和 ARMA 过程，也包括了单整的AR ，MA 和 ARMA过程。不可取可取图 2.8建立时间序列模型程序图一. 识别用相关图和偏相关图识别模型形式（确定参数d, p, q）二. 估计对初步选取的模型进行参数估计三. 诊断与检验包括参数的显著性检验和残差的随机性检验模型可取吗止名师资料总结 - -
14、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 7 建立时间序列模型通常包括三个步骤。（1）模型的识别， （2）模型参数的估计， （3）诊断与检验。模型的识别就是通过对相关图、偏相关图的分析，初步确定适合于给定样本的ARIMA模型形式，即确定d, p, q 的取值。模型参数的估计就是待初步确定模型形式后对模型参数进行估计。诊断与检验就是以样本为基础检验拟合的模型，以求发现某些不妥之处。如果估计的模型某些参数估计值不能通过显著性检验，或者残差序列不能
15、近似为一个白噪声过程，应返回第一步再次对模型进行识别。如果上述两个问题都不存在，就可接受所建立的模型。建摸过程用图 2.8 表示。下面对建摸过程做详细论述。1.模型的识别模型的识别主要依赖于对相关图与偏相关图的分析。在对经济时间序列进行分析之前，首先应对样本数据取对数，目的是消除数据中可能存在的异方差，然后分析其相关图。-400-2000200400600800556065707580859095-2-1012556065707580859095中国出口 -进口（ file:pap1）中国 Ln(出口 )-Ln( 进口 ) 识别的第一步是判断随机过程是否平稳。由2.2 节知，如果一个随机过程是
16、平稳的，其特征方程的根都应在单位圆之外。由2.7 节知，如果 (L) = 0 的根接近单位圆，自相关函数将衰减的很慢。 所以在分析相关图时，如果发现其衰减很慢，即可认为该时间序列是非平稳的。这时应对该时间序列进行差分，同时分析差分序列的相关图以判断差分序列的平稳性，直至得到一个平稳的序列。（可以用第4 章介绍的单位跟检验判别时间序列平稳性）对于经济时间序列，差分次数，即模型（2.51）中的参数d 通常只取0，1 或 2。实际中也要防止过度差分。对于一个序列，差分后若数据的极差变大，说明差分过度。-4-202450100150200250300350400DJPY-4-2024501001502
17、00250300350400DDJPYJPY 的 1 次差分JPY 的 2 次差分在平稳时间序列基础上识别ARMA模型阶数，建立ARMA模型。时间序列的相关图与偏相关图可为识别模型参数p, q 提供信息。见表2.3。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 8 -0. 8-0. 6-0. 4-0. 20. 00. 20. 40. 60. 82468101214-0.8-0.6-0.4-0.20. 00. 20. 40.
18、60. 82468101214表 2.3 ARIMA过程与其自相关函数偏自相关函数特征模型自相关函数特征偏自相关函数特征ARIMA(1,1,1) xt = 1 xt-1 + ut + 1ut-1缓慢地线性衰减AR（1）xt = 1 xt-1 + ut若1 0，平滑地指数衰减若1 0，k=1 时有正峰值然后截尾若11 0，k=1 时有正峰值然后截尾-0.8-0.6-0.4-0.20. 00. 20. 40. 60. 82468101214若1 0，交替式指数衰减-0. 8-0. 6-0. 4-0. 20. 00. 20. 40. 60. 82468101214若1 0，2 0）-0. 8-0.
19、6-0. 4-0. 20. 00. 20. 40. 60. 82468101214（1 0，2 0，2 0，2 0）指数或正弦衰减-0.8-0.6-0.4-0.20. 00. 20. 40. 60. 82468101214（1 0，2 0，2 0）ARMA （1，1）xt = 1 xt-1 + ut + 1 ut-1k=1 有峰值然后按指数衰减-0.50. 00. 51. 02468101214（1 0，1 0）-0.8-0.6-0.4-0.20. 00. 20. 40. 60. 82468101214（1 0，1 0，1 0）-0.8-0.6-0.4-0.20. 00. 20. 40. 60
20、. 82468101214（1 0，1 0，2 0）k=1, 2 有两个峰值然后按指数衰减-0.8-0.6-0.4-0.20. 00. 20. 40. 60. 82468101214（1 0，2 0）ARMA （1，2）xt = 1 xt-1+ ut + 1 ut-1+ 2 ut-2k=1, 2 有两个峰值然后按指数衰减-0. 8-0. 6-0. 4-0. 20. 00. 20. 40. 60. 82468101214（1 0，1 0，2 0，1 0，2 0）k=1 有峰值然后按指数或正弦衰减-0. 8-0. 6-0. 4-0. 20. 00. 20. 40. 60. 82468101214（
21、1 0，1 0，2 0，1 0，2 0）ARMA （2，2）xt=1xt-1+2xt-2+ ut +1ut-1+2ut-2k=1, 2 有两个峰值然后按指数或正弦衰减k=1, 2 有两个峰值然后按指数或正弦衰减名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 10 -0.6-0.4-0.20. 00. 20. 40. 62468101214（1 0，2 0，2 0，2 0，2 0）-0.8-0.6-0.4-0.20. 00. 2
22、0. 40. 60. 82468101214（1 0，2 0，2 0，2 0，2 0）实际序列模型阶数的识别。残差项的相关图、偏相关图对数的中国宏观消费差分序列相关、偏相关图中国宏观消费差分序列相关、偏相关图对数的零售物价指数差分序列相关、偏相关图2. 模型参数的估计对于时间序列模型，一般采用极大似然法估计参数。在第 1 章已经介绍了 极大似然估计法。对于一组 相互独立 的随机变量xt,（t = 1, 2, , T） ，当得到一个样本(x1, x2, , xT) 时，似然函数可表示为L ( | x1, x2, , xT) = f (x1| ) f (x2| ) f (xT | ) = Tttx
23、f1(| ) (2.52) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 11 其中=（1, 2, , k）是一组未知参数。对数似然函数是log L = Ttlog1f (xt | ), 通过选择使上式达到最大，从而求的极大似然估计值?。具体步骤是用上述对数似然函数对每个未知参数求偏导数并令其为零，即1log L= 0, : kLlog= 0, （k 个方程联立）一般来说似然函数是非线性的，必须采用迭代计算的方法求参数的极
24、大似然估计值。极大似然估计量(MLE) 具有一致性和渐近有效性。现在讨论怎样对时间序列模型的参数进行极大似然估计。对于非平稳过程yt ，假定经过d 次差分之后可以表达为一个平稳、可逆的自回归移动平均过程xt ，(L) d yt = (L) xt= (L) ut. (2.56) 对于 yt 假定可以观测到T + d 个观测值， 即 y- d+1, , y0, y1, , yT ，则经过 d 次差分之后，xt的样本容量为T。 以 x1, , xT 为样本估计ARMA ( p, q) 模型参数(1, , p, 1, , q )。对随机过程 xt的参数估计就如对回归模型的参数估计一样，目的是使 xt与
25、其拟合值tx?的残差平方和tttxx2)?(= ttu2?. 最小 。把 (2.56) 式改写为ut = txLL)()(. (2.57) 若用i?，i?和tu ?分别表示对i, i和 ut的估计，则使下式最小。ttu2?= S (1?, , p?, 1?, , q?) (2.58) 假定 utN (0, u2), t = 1, T，且不存在自相关，则条件对数似然函数为log L = -T logu - 222?uttu(2.59) 之所以称之为条件对数似然函数是因为2?tu依赖于过去的不可知观测值x0, x-1, , x- p+1和u0, u-1, , u- q +1。比如u1 = x1 -
26、 1 x0 - 2 x-1 - - p x-p+1 - 1u0 - - qu- q+1. (2.60) 对（2.59）式求极大即等同于对2?tu求极小。 对2?tu求极小时需要先确定x0, x 1, , x-p+1和 u0, u-1, , u- q +1的值。 此问题的一般处理方法是取这些变量等于他们的无条件期望值。u0, u-1, , u- q +1的无条件期望值为零。若模型（2.56）中不含有漂移项，则x0, x-1, , x- p +1的无条件期望值也为零。当样本容量T 与滞后长度p, q 值相比充分大，且1, p的值不接近1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
27、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 12 时，这种近似非常理想。若 (2.56) 式中不含有移动平均项，对于自回归参数来说(2.57) 式是一个线性函数。可以用OLS 法估计参数。如果(2.56) 式中含有移动平均项，那么对于移动平均参数来说，(2.57) 式是一个非线性函数。对(2.57) 式必须采用非线性估计方法。首先假定模型为纯自回归形式， (L) xt= ut(2.61) 或xt = 1 xt-1+ + pxt-p + ut . (2.62) 这是一个线性回归模型，
28、极大似然估计与OLS 估计结果近似相同。当模型中含有移动平均成分时ut = -1(L) (L) xt(2.63) 对于参数来说，模型是非线性的。对于非线性模型，通常由三种估计方法。直接搜索法 。通过改变参数的取值，反复计算残差平方和2?tu的值。 然后从中选择最小的那个值所对应的参数值作为对参数的估计值。这种方法只有在参数个数较少时才是可行的。当参数个数较多时，计算量将非常大。例如当含有四个被估参数，每个参数需选择20 个计算值时，则需要计算(20) 4 = 160000 次。直接优化法 。 求误差平方和函数对每一个参数的偏导数并令其为零，从而求得正规方程ittu)?(2= 0, i =1,
29、, p + q(2.64) 其中（1, , p+q）=（1, , p, 1, , q） 。因为p + q 个方程中都含有p + q 个参数，所以必须联立求解。由于计算上的困难，这种方法很少直接采用。线性迭代法 。对任何非线性函数通常都可以按泰勒级数展开。f (x) = f (x0) + f (x0) (x x0) + = f (x0) - f (x0) x0 + f (x0) x + 首先为参数选一组初始值（1, 0 , , p+q, 0） （下标零表示初始值。怎样确定初始值并不重要。 ） ， 然后将 xt = f (xt-1, , xt-p) 按泰勒级数在（1, 0 , , p+q, 0）点
30、展开。xt = f (xt-1, , xt-p, 1, 0 , , p+q, 0 ) + )(0,01iiqpiif+)(210,0,0112jjiiqpiqpjjif+ . (2.65) 其中偏导数的下标写为零表示偏导数在1 = 1, 0 , , p+q= p+q, 0时的值。 取上式右侧的前两项对原非线性函数xt 进行近似。去掉右侧第三项及以后各项得xt - f (xt-1, , xt-p, 1, 0 , , p+q, 0 ) + 010,qpiiif= 01qpiiif+ ut. (2.66) 上式为线性回归方程形式。左侧为已知量， 右侧含有一组未知量i , i = 1, , p + q
31、。利用 OLS法对上式进行估计。设所得估计值用（1, 1 , , p+q, 1）表示。以此作为第二组估计值，对非名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 13 线性函数再一次线性化，从而得到一个新的线性方程。xt - f (xt-1, , xt-p, 1, 1 , , p+q, 1 ) + 111 ,qpiiif= 11qpiiif+ ut. (2.67) 对上式再次应用OLS 法估计参数，并把(1, 2, , p+q
32、, 2) 作为待估参数的第三组估计值。重复上述过程，直至满足如下要求为止。ijijji1, , i = 1, , p + q, (2.68) 其中 i 表示参数序号，j 表示迭代次数。是预先给定的精度标准。如果最后一次的参数估计值用(1, k, , p+q, k) 表示，并且(1, k, , p+q, k) 接近真值(1 , , p+q) ，则必有，kqpiikif1,kqpiiif1所以有xt = f (xt-1, , xt-p, 1, k, , p+q, k) + tu ?(1, k, , p+q, k) 是对(1, , p+q) 的最终估计。这种迭代计算一般都是通过计算机完成。评价线性模
33、型的一些统计量例F, t 等都不能直接用于评价非线性模型。原因是尽管ut是正态分布的且均值为零，但残差tu?= xt - tx?= xt - f (xt-1, , xt-p, 1, k, , p+q, k) (2.69) 不服从正态分布，则2?tu不服从2 分布，参数估计量不服从正态分布。所以不能使用F 和 t 检验。然而对迭代中的最后一步可以进行F, t 检验。如果估计量i?= i, k, （i = 1, , p + q） ，接近真值i，那么 F, t 检验将会对非线性模型有很满意的解释作用。3. 诊断与检验完成模型的识别与参数估计后，应对估计结果进行诊断与检验，以求发现所选用的模型是否合适
34、。若不合适，应该知道下一步作何种修改。这一阶段主要检验拟合的模型是否合适。一是检验模型参数的估计值是否具有显著性；二是 检验残差序列的随机性。参数估计值的显著性检验是通过t 检验完成的， 而模型拟合的优劣以及残差序列随机性的判别是用Box-Pierce (1970) 提出的 Q 统计量进行检验完成的。若拟合的模型合适，统计量Q = TKkkr122( K - p - q)(2.70) 近似服从2( K - p - q)分布，其中T 表示样本容量，rk 表示用残差序列计算的自相关系数值，K 表示自相关系数的个数，p 表示模型自回归部分的最大滞后值，q 表示移动平均部分的最大滞后值。这时的零假设（
35、H0）是“残差序列是白噪声过程”。用残差序列计算Q 统计量的值。显然若拟合的模型不合适，残差序列中必含有其他成份，Q 值将很大，反之Q 值将很小。判别规则是：若 Q 2 ( K - p - q) ，则拒绝 H0。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 14 其中表示检验水平。4.时间序列模型预测下面以 ARMA (1, 1) 模型为例具体介绍预测方法。其他形式时间序列模型的预测方法与此类似。设对时间序列样本xt, t
36、 = 1, 2, ,T，所拟合的模型是xt= 1 xt-1 + ut+ 1 ut-1(2.72) 则理论上T + 1 期 xt的值应按下式计算xT+1 = 1 xT+ uT+1 + 1 uT(2.73) 用估计的参数1?,1?和Tu ?分别代替上式中的1,1和 uT 。 上式中的uT+1是未知的，但知E(uT+1) = 0，所以取 uT+1 = 0。xT是已知的（样本值） 。对 xT+1的预测按下式进行1?Tx= 1?xT+1?Tu ?(2.74) 由(2.73)式，理论上xT+2的预测式是xT+2 = 1 xT+1 + uT+2 + 1 uT+1仍取 uT+1 = 0，uT+2 = 0，则
37、xT+2的实际预测式是2?Tx= 1?1?Tx(2.75) 其中1?Tx是上一步得到的预测值，与此类推xT+3的预测式是3?Tx= 1?2?Tx(2.76) 由上可见，随着预测期的加长，预测式(2.73) 中移动平均项逐步淡出预测模型，预测式变成了纯自回归形式。若上面所用的xt是一个差分变量， 设 yt = xt ， 则得到的预测值相当于ty ?, (t = T +1, T+2 , )。因为yt= yt-1 + yt所以原序列T+1 期预测值应按下式计算1?Ty= yT+ 1?Ty(2.77) 对于 t T +1，预测式是ty?=1?ty+ty?, t = T +2, T +3, (2.78)其中1?ty是相应上一步的预测结果。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -