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1、112 4.4 矩阵的奇异值分解矩阵的 Jordan 标准形有两个局限，其一、是只有方阵才能求其Jordan 标准形；其二、Jordan 标准形毕竟不如对角矩阵来得方便。本节讨论的矩阵奇异值分解，将克服这些局限性。定理 4.4.1 如果A为n阶复矩阵，则有：1）矩阵AAH，HAA的特征值都是非负实数；2）矩阵AAH与HAA的非零特征值都相同。证：1）设nC为AAH的特征值所对应的特征向量，则AAH是 Hermite 矩阵，所以是实数；并且,0AAAAH，因为0，所以0。同理可证，HAA的特征值也是非负实数。3）将AAH的特征值按顺序记为：02121nrrr，设inCri,2 , 1为AAH的非
2、零特征值iri, 2, 1所对应的特征向量，则由AAHi=iiri, 2, 1，有AAAH)(i=iAiri,2 , 1，因为Ai是非零向量，所以i也是HAA的非零特征值；同理可证，HAA的非零特征值也是AAH的非零特征值。以下证明HAA与AAH的非零特征值完全相同，这只要证明HAA与AAH的非零特征值的代数重数相同即可。设pyyy,21为AAH对应于非零特征值的线性无关的特征向量，因为AAH是Hermite 矩阵，也就是说AAH既是正规矩阵，它是单纯矩阵。所以p就是非零特征值的代数重数。而iAy也是HAA对应于非零特征值i的特征向量pi,2, 1。而这些向量线性无关，这是因为：若KyyyAp
3、),(2102211ppAykAykAyk，则AAH0),(21Kyyyp， 即0),(21Kyyyp； 由 于0， 所 以0),(21Kyyyp，但pyyy,21线性无关， 所以0K。因此，也是HAA的p重非零特征值。对于 Hermite 矩阵A，存在酉矩阵U，使得).,.,(11nrrHdiagAUU，其名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 113 中nrr.,.,11是A的特征值。假定r,.,1是A的非零特征值，
4、将U分块成)(2121,rnnrnCUCUUUU，则HrUdiagUA111),.,(。称上式为 Hermite 矩阵A的谱分解。定义 4.4.1 设A是秩为r的nm复矩阵，AAH的特征值为02121nrrr，则iiri, 2, 1叫做矩阵A的正奇异值。定义 4.4.2 设A、B是nm复矩阵，若存在m阶酉矩阵U，n阶酉矩阵V，使得UBVA，则称矩阵A与B酉等价。定理 4.4.2 设A、B是nm复矩阵，若A与B酉等价，则它们有相同的正奇异值。证： 因为A与B酉等价，即存在m阶酉矩阵U与n阶酉矩阵V，使得UBVA，有酉矩阵的性质可知1UUH，1VVH，所以11UBVUBVAHHHHH，则111)(
5、UBBUUBUBVVAAHHH，即HAA与HBB酉相似，所以，HAA与HBB有相同的特征值，即有相同的正奇异值。定理 4.4.3 （奇异值分解定理）设A是秩为r的nm复矩阵，则存在m阶酉矩阵U，n阶酉 矩 阵V， 使 得HVUA000。 其 中(d i a gr,21)，iiri, 2, 1，Ci，iri, 2, 1是矩阵A的正奇异值。证明：记HAA的特征值为02121mrrr，则存在m阶酉矩阵U，使得000.)(2.1nHHUAAU。将U分块为21UUU，rmCU1，)(2rmmCU。则有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
6、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 114 0000)(2122121UUUUAAUAAAAUHHH。故0,22221111UAAUUUUAAUHHHH。由此可得02UAH。令)(111UAVH，则rHEVV11，即),.,(11rvvV的 r 列是两两正交的单位向量。添加rn单位向量nrvv,.,1，使nrrvvvv,.,.,11成为nC的标准正交基 ,则),.,.,(11nrrvvvvV是 n 阶酉矩阵。记),.,(12nrvvV，则012UUH。000012121VVVUAUAVUAVHHHHHHH。故HVUA0
7、00。由定理 4.4.3 有，HHVVAA0002，因此jv是AAH的对应于特征值j的单位特征向量。可以验证,111AVU。由于HHVUVUA11000，我们也称HVU11为A的奇异值分解。例1、 求矩阵000021A的奇异值分解。解：因为000021HAA000000005002001，显然矩阵HAA的特征值为0, 5321。所以，矩阵A的正奇异值为5。而对应的单位正交特征向量分别为TTT1 ,0 ,0,0, 1 ,0,0 ,0 , 1321则21UUU，11U，322,U，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 115 THUAV52,5151001002001)(111，取TV51,522，所以，51525251000005100010001A。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -