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1、第 3 章矩阵及其运算3.1 基本要求、重点难点基本要求：11掌握矩阵的定义 . 22掌握矩阵的运算法则 . 33掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法. 44掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法. 55 掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵 . 66掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法. 重点难点：重点是矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等变换及线性方程组的解 . 难点是矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法. 3.2基本内容3.2.13.2.1重要定义定义 3.1 由nm个数)2 , 1;,2 , 1(njmia
2、ij组成的m行n列的数表成为一个m行n列矩阵，记为mnmmnnaaaaaaaaa212222111211简记为Anmija )(，或A)(ija,nmA,mnA注意行列式与矩阵的区别：（1） （1）行列式是一个数，而矩阵是一个数表. （2） （2）行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相同. （3） （3）一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素. （4） （4）两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等. （5） （5）当0| A时，|1A有意义，而A1无意义 . 名师资
3、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - nm的矩阵叫做阶方阵 或m阶方阵 .一阶方阵在书写时不写括号，它在运算中可看做一个数 . 对角线以下（上）元素都是0 的矩阵叫 上（下）三角矩阵 ，既是上三角阵，又是下三角的矩阵，也就是除对角线以外的元素全是0 的矩阵叫 对角矩阵 .在对角矩阵中， 对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵 ；数量矩阵中， 对角线元素全是 1 的n阶矩阵叫n阶单位矩阵 ，常记为nE（或nI） ，简记为E（或I
4、） ，元素都是 0 的矩阵叫零矩阵，记为nm0，或简记为0. 行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵 ，两个同型矩阵的且对应位置上的元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵 . 设有矩阵A=nmija )(，则Anmija )(称为A的负矩阵 . 若A是方阵，则保持相对元素不变而得到的行列式称为方针A的行列式，记为| A或ADet.将矩阵A的行列式互换所得到的矩阵为A的转置矩阵 ，记为TA或A. 若方阵A满足AAT， 则称A为对称矩阵 ， 若方阵A满足AAT， 则称A为反对称矩阵 . 若矩阵的元素都是实数， 则矩阵称为 实矩阵 .若矩阵的元素含有复数， 则称矩阵为复矩阵 ，若A=nmija )(是复矩阵，
5、则称矩阵nmija )(（其中ija为ija的共轭矩阵，记为Anmija )(. 定义 3.2 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得EBAAB，则称方阵A可逆，B称为A的逆矩阵，记做1AB. 对于方阵Anmija )(，设ija的代数余子式为ijA，则矩阵*AnmnnnnAAAAAAAAA212221212111称为A的伴随矩阵，要注意伴随矩阵中元素的位置. 定义 3.3 设有矩阵A，如果：（1）（1）在A中有一个r阶子式D不为零 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
6、第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - （2）（2）A中任意1r阶子式（如果有的话）全为零，则称D是矩阵A的一个 最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记为R)(A. 定义 3.4 初等变换与初等方阵：（1） （1）初等变换：变换矩阵的某两行（记为jirr） ；把非零数k乘以矩阵的某行的所有元素（记为0,kkrj） ；把矩阵的第i行的h倍加到第j行上（记为ijhrr）. 以上为矩阵的三种类型的初等行变换， 同样可以定义矩阵的初等列变换.矩阵的初等行变换、初等列变换统称为矩阵的初等变换 . 矩阵的初等行（列）变换皆可逆，且为同种类型的初等变换.例如：变换jirr的逆是其自身，
7、变换jkr的逆变换为irk1变换ijhrr的逆变换为ijrhr)(. 初等变换的性质：若矩阵A经有限次初等行（列）变换为B，则A的行（列）向量组与B的行（列）向量组等价 . 若矩阵A经有限次初等行（列）变换为B，则A的任意k个列（行）向量与B中对应的k个列（行）向量有相同的线形相关性.（2） （2）初等方阵：由单位矩阵经过一次初等变换而得的矩阵叫做初等矩阵，初等矩阵也叫 初等方阵 . 初等方阵共分三种，它们是：Eji,，Eki，Eikj,.它们与单位矩阵的关系是：EEjirrji,，或EEjiccji,，EEikrki，或),(kiEEikc0kEEjikrrikj,，或EEjikccikj,
8、容易搞错的是第三组关系式，读者仔细些. 初 等 矩 阵 皆 可 逆 ， 且E1, ji=Eji,，E1ki=E11ki，Eikj,=Eikj,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 初等方阵的性质：若A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵t21P,PP,，使t21,P,PPA. nm矩阵AB等价的充要条件是存在m阶可逆方阵P和n阶可逆方阵Q，使BPAQ. 3.2.23.2.2重要定理定理 3.1 对矩阵施行一次初等行（列）
9、变换相对于左（右）乘一个同类型的初等矩阵 . 例如：若BAjirr，则Eji,BA；若BAjicc，则AEji,=B；若BAijkcc，则AEikj,=B；等等 . 定理 3.2 方阵A可逆的充分必要条件是：（1）0| A，且*A|A|1A1. （2）A可以表示成一些初等矩阵的乘积. 若方阵A可逆，则A的逆阵唯一，可逆阵也叫做非奇异矩阵或称为满秩矩阵，否则称为奇异矩阵或降秩矩阵，非奇异矩阵经过初等变换后仍是非奇异的，奇异矩阵经过初等变换后仍是奇异的. n阶方阵A的秩RnA)(的充要条件是：0| A，即A可逆. 任一可逆矩阵只用初等行（列）变换可化为单位矩阵.定理 3.3 对矩阵施以初等变换，不
10、改变矩阵的秩. 若矩阵A经有限次初等变换为B，则称A与B等价，记为AB.若AB，则RA=RB对任何nm矩阵A，可通过初等变换成阶梯形矩阵，进一步可化成行最简形矩阵，再通过初等列变换可化成一个即是行最简形又是列最简形的矩阵，即所谓的标准形，设矩阵A的秩RrA)(，由于初等变换不改变矩阵的秩，所以000rEA，其中rE是r阶单位矩阵 . 定理 3.4 （线性方程组有解的判定定理）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - （1
11、）（ 1）非 奇 次 线 形 方 程 组bxAnm有 解 的 充 要 条 件 是RA=RA， 当RA=RAn时 ， 方 程 组 有 无 穷 多 解 ； 当 是RA=RAn时，方程组有惟一解； 当RARA时，方程组无解 .（A为系数矩阵，A为增广矩阵 .）（2）（2）齐次线形方程组0 xAnm一定有零解； 如果RAn，则只有零解，它有非零解的充分必要条件是RAn. 3.2.33.2.3主要运算11矩阵的运算法则：（1） （1）加法法则：ABBA（加法满足交换律）；CB)(AC)(BA（加法满足结合律） ；0A)(A；A0A；若CBA，则BCA（移项法则） . 以上运算法则说明了矩阵相加、减的运算
12、有类似于初等代数中相加、减的运算法则，矩阵相加、减是不难掌握的，只有注意矩阵间是否可以相加、减就可以了. （2） （2）数乘矩阵的运算法则：AABABAAAAAA)()(,)(,)( ,1，其中,表示数，A、B表示同型矩阵 . 注意：0A，则0或0A；或0且0A，换句话说：若A是零矩阵，则数是 0，矩阵A是零矩阵至少有一个成立 . （3） （3）矩阵相乘的运算法则：CABAC)AAC,(BABC)A(B（矩阵乘法对加法满足分配律） ；(AB)CA(BC)（矩阵乘法满足结合律） ；)()()(ABBABA， （乘法满足数因子的结合律） . 说明：1）1）左边矩阵A的列数必须与右边矩阵B的行数相等
13、才能相乘 .矩阵乘法不满足交换律， 也就是说BAAB不一定成立， 若BAAB成立的话，则称A，B可交换 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2）2）显然有nmnmnmnmm,AEAAAEn，当A是方阵时，有nnnnnnnnAEAAE.这就是说单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数1 在数的乘法中的作用 . 要 注 意 ：2 ) B(A2BAB是 错 误 的 ， 正 确 的 写 法 应 是2E)B(A2BAB，同样可
14、知E)CA(BACABC. 3）3）按矩阵乘法的定义， 只有方阵才能自乘， 故若A是n阶方阵，定 义 ：kAAAAAA(,k1k2是 整 数 ） 当, 0| A为 整 数 时 有AAAAA)( ,由于矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个n阶矩阵A与B，一般来说kkk)(BAAB. 4）4）伴随矩阵的运算法则：*1*1*)( ,)()( ,)()( ,|ABABAAAAEAAAAA5）5）方阵行列式的运算法则：|,|,|AABAABAAnT其中A、B市同阶矩阵，是任一数，n是A的阶数 . 6）6）转置矩阵的运算法则：()( ,)(TTTTTAABABA是任一数），AAABABTTTTT)( ,
15、)(. 7）7）逆矩阵的运算法则：111)(ABAB；若A,0可逆，则TTAAAA)()( ;1)(1111. 8）8）共轭矩阵的运算法则：kAkkAAA(,是任一数），TTAABAABBABA)( ,. 22分块矩阵的运算 : (1)(1) 将一个矩阵用横线和纵线分成若干小块，以这些小块为元素的矩阵称为分块矩阵 . (2)(2) 分块矩阵有类似于普通矩阵的运算法则，只是进行运算的矩阵的分块要恰当 . (3)(3) 分块对角方阵 .若方阵A的分块矩阵只有在主对角线上有非零方阵子名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师
16、精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 快),2, 1(siAi，而其他子快都是零，即sAAAA0021则A称为分块对角方阵，分块对角方阵A的行列式|21sAAAA. 3.2.43.2.4重要方法本章研讨的是矩阵运算，因此凡矩阵定义、矩阵运算的定义、矩阵运算法则等等，都是重要的，应很好地掌握， 只是有些较容易掌握， 可少花时间和精力；有些较困难，应认真对待，多做练习，多思考，仔细钻研范例，注意每一个特殊点. 1 1矩阵的运算方法：（1） （1）以矩阵乘法为纲 . 矩阵运算有些是较简单的，如矩阵的线性运算、转置等，而矩阵相乘就较困难了，
17、可以这样说， 有关矩阵乘法的运算掌握好了，其他的矩阵运算也就不在话下.因此对初学者来说，遇到矩阵乘法，就应该多留心. （2） （2）边学习，边积累，逐步提高. 这一章有很多定义（要重视定义！ ） 、很多运算，每种运算又有若干条运算法则，一开始掌握不了那么多，应该学一点积累一点，直到全部掌握. 例如：已知4321,2021BA，计算行列式|)3(|21BA. 如果先算出A3，再算出1)3( A及2B，算出矩阵乘积21)3(BA，最后计算行列式；这样比较麻烦，而且易错，如果利用方阵则行列式的性质就简单多了.因2| ,181)3(| ,18|3|3| ,2|12BAAAA，所以|)3(|21BA92
18、|)3(|21BA. 2 2化矩阵为行阶梯矩阵、行最简矩阵以及标准行的方法：一定要能熟练地用初等行变换化一个矩阵成为阶梯矩阵（或行最简行）矩阵，因为求逆矩阵、矩阵的秩、解线性方程组等都要用到这样的方法. 3 3求逆矩阵的方法：（1） （1） 用定义求 . 用存在方阵B，使EBAAB，则1AB.此法要求对矩阵乘法比较熟练， 对于元素比较特殊的矩阵， 可直观看出满足条件的B名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - （只要验证
19、EAB或EBA一个即可） . （2） （2） 用*1|1AAA，其中*A是A的伴随矩阵 .要注意 2 阶矩阵求伴 随 矩 阵 的 口 诀 ：“ 主 换 位 ， 副 变 号 . ” 例 如 ， 设dcbaA， 则acbdAAAA|*111. （3） （3）初等变换法 . 因为),(),(11AEEAA,所以把)(EA同时做初等行变换，当A处变为E时，E处得1A，即)()(1AEEA初等行，同理1AEEA初等列. （4） （4）分块矩阵求逆 . 对于分块对角阵sAAAA0021，若iAs),(i21的逆1iA都存在，则1A也存在，且有11211100sAAAA. 若方阵0021sBBBB且), 2
20、, 1(siBi的逆1iB都存在，则B的逆1B也存在，且有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 0011111BBBBss4 4求矩阵秩的方法：（1） （1）初等变换法：因矩阵经初等变换后，其秩不变，故可用初等变换求其秩.用初等变换求矩阵的秩，即可以用初等行变换，也可以用初等列变换，也可以交替进行，把A化成一个容易求秩甚至一看就知道其秩的矩阵，一般化为行阶矩阵.若阶梯矩阵行矩阵有r个非零行，用这种方法求矩阵的秩，不需
21、要计算行列式. （2） （2）计算子式法：根据矩阵A的秩的定义，要求A的秩，只需求出A的不等于零的子式的最高阶数即可 .常由低阶到高阶计算不为零的子式的最高阶数. （3） （3）关于矩阵秩的几个公式 ; 1) 1)设A为nm矩阵B为qn矩阵，则R)( A+RB-nBA R,Rmin2) 2)设A,B均为nm矩阵，则)BR()AR()BAR(. 3) 3)设nmA、qnB，且0AB，且n)R()R(BA. 5 5关于解矩阵方程的方法：形如BAX（3.1）BXA（3.2）BAXC（3.3）的等式（其中X为未知矩阵，A、C可逆）称为矩阵方程 . 对于 （3.1） ， 用初等变换)()(1BABBA初
22、等行， 可得方程的解BAX1. 对于（3.2） ，用初等列变换1BABBA初等列，可得方程的解1BAX，或将方程转置变为TTTBXA，利用（ 3.1）的方法可求其解 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 结合（ 3.1）和（ 3.2）的方法可求得（ 3.3）的解11BCAX. 6 6高斯消元法解线性方程组：本章最后由消元法解线性方程组得到了线性方程组有解的判定定理，要掌握利用初等变换求齐次线性方程组和非齐次线性方程组通解的方法.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -