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1、复合函数专题讲座通过函数一章的学习，学生已初步认识了解了复合函数有关知识内容，为了学生更好系统理解掌握复合函数，才开设复合函数专题讲座，全面介绍复合函数相关知识，有利于学生对函数的巩固提高一、复合函数的定义：函数( )ux，它的定义域是M，值域是N又有函数( )yf u，它的定义域是N这样，y就通过变量u构成了x的函数，记作( )yfxy就叫做x的函数，u叫做中间变量或中间函数二、复合函数结构分解复合函数可以看作是几个简单函数复合而成的那么，如何将复合函数结构分解成几个熟悉的简单函数是研究讨论复合函数相关问题的关键例1 若lgyu,uv,24vx， 那 么 在 定 义 域R上 的 复 合 函
2、数为例 2已知复合函数211yx，则此函数是由复合而成的三、 复合函数与原函数定义域转换由复合函数定义得知，中间函数的值域就是原函数的定义域因此，已知复合函数的定义域求原函数的定义域，就是求出中间函数的值域便是原函数定义域；已知原函数定义域求复合函数定义域，就是将中间函数卡在原函数定义域中解一个不等式组便得复合函数定义域例 3已知函数(21)fx的定义域为( 1,1)，求函数2(2 )f xx的定义域四、已知原函数求复合函数已知原函数求复合函数的解析式就是将中间函数式代换原函数中x而得例 4如果对于两个函数3( )2xf xx和( )axbg xxc有1( )f g xx成立，那么_a, _b
3、,_c例 5已知( )2 |3f xx，( )45g xx，若( )( )fp xg x，求(3)p五、已知复合函数，求原函数1 凑合法： 按复合函数中中间函数结构配项，再由x代换中间函数便得到原函数例 6已知22111()fxxxxxx求( )f x2代换法：令中间函数为u，反解( )xu，再将( )u代入复合函数式中就关于u的函数，后将u用x代换而得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 例 7已知(log)xafx
4、，求( )f x3待定系数法：据原函数类型，设出原函数解析式，按复合函数结构建立等式，求出待定系数例 8已知( )fx为一次函数，且(23 )(32)8afxbfxx，求( )f x4方程法：根据复合函数中中间函数结构代换变化得到两个方程，从而求之例 9已知( )fx满足1( )()21xf xfxx，求( )f x六、辗转求值针对含有复合函数式的分段函数，通过辗转变化才能求出函数值来例 10已知( )f x2 (4)(2)(2)xxf xx, 求312(log)f的值七、复合函数单调性讨论复合函数单调性，首先研究其定义域， 再根据( )yf u，( )ux， , xa b，, um n都是单
5、调函数，则( )yfx在 , xa b上也是单调函数复合函数( )yfx增减性判定表：1同增减为增函数2异增减为减函数3几个增（减）函数之和仍为增（减）函数例 11讨论函数( )2f xx的单调性例 12讨论函数1( )1xfxx的单调性例 13讨论函数2(23)( )logxxafx的单调性例 14讨论函数( )1fxxx的单调性八、复合函数奇偶性：( )yf u( )ux ( )yfx增增增增减减减减增减增减( )yf u( )ux( )yfx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
6、- - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 复合函数奇偶性研究必须讨( )fx的定义域是否关于原点对论称若是再继续讨论；若不是，则( )fx是非奇非偶函数而复合函数 ( )yfx的奇偶性判定如下表：1两个函数乘法的函数奇偶性判定：同奇偶为偶，异奇偶为奇2两个奇函数之差仍为奇函数；两个偶函数和差仍为偶函数例 15判断函数1( )lg1xfxx的奇偶性例 16已知1( )31xf xa为奇函数，求实数a例 17已知函数( )fx满足()()2 ( )( )f xyf xyf xf y(,)xR yR，且(0)0f，试证( )fx是偶函数九、复合函数的反函数复合函数 ( )y
7、fx的反函数1( )( )xfy解出x来，再将x，y互换得到( )yfx的反函数，而其中含有原函数的反函数1( )fx例 18已知函数(21)yfx是定义在R上的奇函数，函数( )yg x的图象与函数( )yf x的图象关于yx对称，则( )()g xgx的值为（）A2 B0 C 1 D不确定例 19函数( )yf x的图象过点（ 2，1） ，则(3)yf x的反函数的图象必过定点（）A （1，2）B （2， 1）C （1， 1）D （2，2）例 20已知23( )1xf xx，函数( )yg x的图象与函数1(1)yfx的图象关于直线yx对称，则(11)g（）偶偶奇奇偶偶偶非奇非偶非奇非偶名
8、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - A32B52C72D218十、复合函数的应用我们所遇到的函数大多数是复合函数相关问题，掌握复合函数相关知识内容和方法，有利于数学问题的探讨例 21若( )f x和( )g x都是定义在实数集R上的函数，且方程( )0 xf g x有实数解，则( )g f x不可能是（）A215xxB215xxC215xD215x例 22已知0 xy，并且224936xy，由此能否确定一个函数关系( )yf x，如果能，求出其解析式、定义域及值域；如果不能，请说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -