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1、数学建模论文班级：实验 1201 ：Schen 学号：2012013080 日期：2014/6/8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页影院座位设计问题摘要通过研究电影院的座位设计问题， 根据观众对座位的满意程度主要取决于视角与仰角这一前提条件，建立满意程度最大的相关模型， 并进行了相关求解。问题一， 首先建立在满足仰角条件 30 情况下的优化模型，运用 Matlab软件求解出当地板线的倾角为10时，最正确位置距离屏幕的水平距离为6.2275 米。接着分别对视角和仰角 赋权重，对座位进行离散分析，并引入满意度函数建立
2、了离散加权模型，最后运用Matlab软件求解出当地板线的倾角为10时，最正确位置距屏幕的水平距离为6.8635 米。问题二，根据问题一中的离散加权模型，将座位看作离散的点， 建立满意度函数平均值模型， 再利用Matlab软件解得，当地板线的倾角为0543.15时，所有观众的平均满意程度最大。问题三，为进一步提高观众的满意程度，将地板线设计成折线形状， 即相邻两排座位所在的点构成一条直线，且每排座位所在地板线的倾角以5 .2变化，增加到20后保持不变，第一排抬高2 .1米。关键词：离散分析加权平均满意度优化模型 Matlab一、问题重述下列图 -1 为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视
3、角和仰角。视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，如果太大会使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求不超过 30 。记影院的屏幕高为 h，上边缘距离地面高为H , 影院的地板线通常与水平线有一个倾角，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,d D，观众的平均座高为 c指眼睛到地面的距离 ，已知参数 h=1.8m, H=5m, d=4.5m, D=19m, c=1.1m. (1) 地板线倾角10 ，问最正确座位在什么地方。(2) 求地板线倾角一般不超过 20 ，使所有观众的平均满意程度最大。(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的
4、满意程度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页图-1 影院剖面示意图二、问题的分析电影院座位的设计应满足什么要求？是一个非常现实的问题。根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角，越大越好，而越小越好，最正确位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度到达最大。本文通过对水平视角和仰角取权重，建立适当的坐标系， 从而建立一个线形型满意度函数。针对问题一， 已知地板线倾角， 求最正确座位所在， 即将问题转化求综合满意度函数的最大值， 建立离散加权的函数模型并利用Matlab数学软件运算
5、求解；针对问题二， 将所有观众视为离散的点， 要使所有观众的平均满意程度到达最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；针对问题三， 对地板线形状进行优化设计， 使观众的平均满意程度可以进一步提高。本文为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。三、模型假设1. 观众的平均满意度只取决于视角和仰角 ，其他因素忽略不计；2. 最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；3. 相邻两排座位间的间距相等，取为m；4. 对于同一排座位，观众的满意程度相同；5. 所有观众的座位等高为平均座高；6. 影院的的地板成阶梯状。四、符号说明精选学习资料
6、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页五、模型的建立与求解5.1 问题一每一个到影院看电影的观众都想坐在最正确位置，而对座位的满意程度主要取决于两个因素： 水平视角和仰角，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角， 越大越好， 仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，要求不超过030。5.1.1 模型的建立：仰角在满足条件的范围内, 观众满意度只取决于视角以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图-2 所示：其中， AB为屏幕，MS为地板线，OE为所有的观众的眼睛所在的直线。则水平
7、视角视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离仰角S观众对水平视角为的满意程度地板线与水平线的倾角S观众对仰角为的满意程度d第一排离屏幕水平距离S平均满意程度D最后一排离屏幕水平距离cc ,视角、仰角在综合满意度iS中的权重h屏幕的高度l相邻两排座位间沿地板线方向的间距H屏幕上边缘离地面的高度ctanxhcHhhHddDEStanxB O M N P 屏幕地面地板视觉线xc图-2 影院剖面坐标分析图x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页由图可设视觉线OE上任意一点 P 的坐标为)tan,(xx，屏幕上下点的坐标分别为),
8、(cHdA，),(chHdB， AP 的斜率记为APk, BP的斜率记为BPk。由斜率公式得：)(tantandxcHxkAP，)(tan)tan(dxchHxkBP(1.1)则直线 AP 和 BP的斜率与夹角满足如下关系：)tan)(tan()()(1tan2chHxcHxdxdxhkkkkAPBPAPBP(1.2) 仰角满足条件：30,0所以：33)(tan033tan0dxcHxtantan3333cHxdcH(1.3) 由公式 (1.1) (1.2)得到模型为：)tan)(tan()()(arctanmax2chHxcHxdxdxhtantan33330.cHxdcHdDxts5.1.
9、2 模型的求解当10时，用Matlab软件运算求解程序见附录1 ，得最大视角为 ，仰角为 =30， 。即 P点的坐标为 1.7275,0.3046 为最正确位置。离屏幕的水平距离为。5.1.3 模型的建立：离散加权模型在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为 l查阅相关资料间距一般取0.8米，则在水平方向的间距为cosl，考虑仰角和视角对观众的满意度为主要因素。对模型进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到：)(cos)1(tancos)1()(tantandlkcHlkdxcHx(2.1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
10、 - - - - -第 5 页，共 13 页)tancos)1)(tancos)1()cos)1()cos) 1(tan2chHlkcHlkdlkdlkh(2.2) 其中，nk,3, 2, 1，n为地板线上的座位的总排数， 且191cos5 .14ln。根据题意，在假设条件下，对于第k 排座位，建立观众对视角、仰角的满意度函数1如下：minmaxmintantantantankkS(2.3) minmaxmintantantantan1kkS(2.4) 式中kk,为第 k 排座位上观众视角和仰角，maxmax,表示在给定的情况下最优满意度，minmin,表示在给定的情况下最差满意度。视角、仰角
11、在综合满意度kS中的权重分别为cc ,，建立第 k 排座位综合满意度函数如下：ccScScSkkk(2.5) 根据 地 板 线 倾 角10，通 过 计 算可 以 得 出8975.154210.5，9149.400451.4，主观给定权重4 . 0, 6.0CC，根据模型的建立，可以得出：1357. 0tan5025. 0tan1596.34 .06.04 .06. 0kkkkkkkSSccScScS(2.6)将式(2.1)和式(2.2)带入公式 (2.6)得到优化模型为：1357.0)cos)1(tancos)1(*5025.0)tancos)1)(tancos)1()cos)1()cos)
12、1(*1596.3max2dclkcHlkchHlkcHlkdlkdlkhSk19, 3, 2,1,cos)1(tantan33330.klkxcHxdcHdDxts精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页5.1.4 模型的求解用Matlab软件运算求解程序见附录2可得：3635.2x米，4k排，最大满意度为6176.04S, 最大视角为 ，仰角为9084.26,最正确位置离屏幕的水平距离为4.5+2.36235=6.8635 米。5.2 问题二5.2.1 模型的建立要使所有观众的平均满意程度到达最大， 即需求S的最大值
13、。由模型可知，第 k 排观众的满意度为S, 则观众平均满意程度函数为：nSSnkk1，平均满意度S的大小由每一排的满意度所决定， 而又是由仰角和视角所决定。 所以，要使观众的满意程度到达最大，取决于两个方面：(1) 仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大； (2) 所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。由式(1.1) 可知，地板线倾角的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生改变，且在某一座位( 即 x取某一定值 )，在逐渐增大的过程中仰角逐渐减小，视角逐渐增大，见图2 所示。仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角越大, 仰角不超过条件的座位所占的比例越大
14、。024681012141618206.86.856.96.9577.057.17.15 角变化角变化 随 的变化曲线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页024681012141618200246810121416 角变化角变化 随 的变化曲线图-3 视角 和仰角 随 变化的变化曲线第一排观众的仰角为9149.40， 不满足仰角的条件，由模型可知第 k 排座位所对应的仰角的正切值：nkdlkcHlkk,3 ,2, 1,)(cos)1(tancos) 1(tan其中 n为地板线上的座位的总排数：1cos5 .14ln，
15、随着地板线倾角的变化，相邻两排座位间的间距l 不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。由于地板线倾角不超过20，所以2019n，并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘，即0543.15。由模型知第 k 排座位所对应的水平视角的正切值为：)tancos)1)(tancos)1()cos) 1()cos)1(tan2chHlkcHlkdlkdlkh5.2.2 模型的求解对一个取定的，判断 x 所在的位置仰角是否超过30，假设超过，则该座位的综合满意度必须同时考虑仰角和视角的取值；否则，只需要考虑视角的取值，把所有座位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度是否最
16、大， 最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值时的取值。当取地板线倾角为变化时，通过计算可以得出8975.151143.5，9149.400。由模型的 (2.5) 式得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页1357.0tan5025.0tan1596.34.06.04.06.0kkkkkkkSSccScScS3.1所以，将式 (2.1)和式(2.2)带入公式 (3.1)得到平均满意度的优化模型为：nSSnkk1max取整数其中nnklkxdDxnts,2,1,cos)1(00543.1502019.用Matla
17、b软件计算程序见附录3可得：最大平均满意度为，4520.0S对应地板线的倾角为0543.15。问题三5.3.1 模型的建立与求解由上两问可知 , 观众的满意程度与仰角 , 视角和地板线倾角都有关 , 而每一座位到屏幕的水平距离基本固定不变，考虑观众的满意度， 就要考虑仰角， 视角随着的变化情况。引理地板线不管设计成什么形状 , 各排的间距不变，区别在于各排的高度差如何变化，假设竖直方向上的两定点，在与它们相距一定水平距离的竖直方向上有一动点，当该动点位于两定点的垂直平分线上时， 动点与两定点形成的视角最大。动点距两定点的垂直平分线越近，动点与两定点形成的视角越大。：(1) 第k 排座位所在的位
18、置应高于第1k排座位所在的高度； (2)前一排的观众不会挡住后一排观众的视线； (3)视角尽可能大 , 即眼睛的位置应尽可能分布在垂直平分线的附近； (4)仰角的座位所占的比例尽可能大。假设每排座位所在的点构成一条折线， 任意相邻两排座位水平间距为l ， 第 k排座位地板线倾角为k，第 k 排座位与第1k排座位地板线倾角变化为。从而可得：) 1(0kk，故：)() 1() 1tan()() 1(tan)1(tan11dlkcHkldlkcHlknknkkk同理可得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页) 1tan(c
19、os)()1tan(cos()cos)1()cos)1()tancos) 1)(tancos) 1()cos)1()cos)1(tan1122chHkllcHklldlkdlkhchHlkcHlkdlkdlkhnknk；观众平均满意程度函数为：nSSnkk1；可算出地板线上的座位的总排数为：1cos5.14ln，则得出当5 .2时，maxS=0.4622。但此时455.2) 119(，根据一般习惯，要求地板线倾角20，但此时求得最后一排座位的地板线倾角为45，因此文中将对此进一步的修改：当20) 1(i时，令20)1(i。当20时，即将问题转化为问题二中所建立的模型。由于5.2，则地板线倾角增
20、加到第9 排到达20，然后保持不变。对于这两种情况，分别代入不同的函数，求得：满意度函数的最大值。maxS故报告厅座位的前9 排呈折线状，以5.2递增,当倾角增加到20时保持不变，且第一排应抬高2.1米。六、模型的评价与推广6.1 模型的评价6.1.1 模型的优点 : 模型抓住了影响观众满意程度的主要因素(仰角和视角 ), 合理构造满意度函数。模型具有较好的通用性，对现实有较强的指导意义。6.1.2 模型的不足以及需要改良的地方: 模型主观假设同一排座位观众的满意程度相同, 而实际情况并非如此, 这就使得我们的模型在解决实际问题时存在一定的局限性。模型建立的过程中 , 以观众眼睛所在的点为坐高
21、点, 没有考虑前排观众额部对后排观众的遮挡 , 需要进一步的考虑在内。模型计算比较粗糙，精确度不够高！6.2 模型的推广本文中所建立模型的方法和思想对其他类似的问题也很适用, 有一定的参考价值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页七、参考文献1 金炜东，线性型满意度及其组合运算，铁道学报2 李祖苑，影院座位设计，中国科技论文在线3 刘学智，影院座位的安排，中国科技论文在线4 龚坚，电脑视觉，北京：科学技术出版社八、附录：附录一：clear;%clc;H=5;h=1.8;D=19;d=4.5;c=1.1;Q=0.17
22、63; %tan(10/180*pi);a=0;for x=1.7275:0.0001:14.5000 % 仰角修正 t=h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c);if at a=t;endendfor x=1.7275:0.0001:14.5000 % 仰角修正 t=h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c);if a=t fprintf(nX is:%d,x); fprintf(na is:%d,(atan(h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c)/pi*180); fprintf(nb is:%
23、dn,(atan(-(x*Q-H+c)/(x+d)/pi*180);endenda附录二：clear;%clc;H=5;h=1.8;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页D=19;d=4.5;c=1.1;Q=0.1763; %tan(10/180*pi);s=0;forx=2.3635 3.1514 3.9392 4.7271 5.5149 6.3028 7.0906 7.8785 8.6663 9.4542 10.2420 11.0298 11.8177 12.6055 13.3934 14.1812t=3.159
24、6*(h*(x+d)/(x+d)2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c)-0.5025*(-(x*Q-H+c)/(x+d)+0.1357;if s=0 s=3.1596*a-0.5025*b+0.1357; %3.1596*a-0.5025*b+0.1357;%end sum=sum+s;endif ST=0 s=3.1596*a-0.5025*b+0.1357; %3.1596*a-0.5025*b+0.1357;%end sum=sum+s;endif ST=sum fprintf(nQ is:%dn,Q);endendST/20精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页