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1、第1页（共 20页）2016 年 07 月 17 日 397679180的初中数学组卷（锐角三角函数中考选择 填空）参考答案与试题解析一选择题（共22 小题）1 （2016?安顺）如图，在网格中， 小正方形的边长均为1， 点 A，B， C 都在格点上， 则ABC的正切值是（）A2BCD【分析】 根据勾股定理，可得AC 、AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案【解答】 解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，ABC 为直角三角形，tanB=，故选： D【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、 AB 的长，再求正切函数2 （2016?乐山）如图，在RtABC 中， BAC
2、=90 ，AD BC 于点 D，则下列结论不正确的是（）ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页第2页（共 20页）【分析】 根据锐角三角函数的定义，即可解答【解答】 解：在 RtABC 中， BAC=90 ， sinB=，AD BC，sinB=，sinB=sin DAC=，综上，只有C 不正确故选： C【点评】 本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义3（2016?广东）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4， 3） ， 那么 cos的值是（）ABCD【分析】 利用勾股定理列式求出
3、OA，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可【解答】 解：由勾股定理得OA=5，所以 cos =故选 D【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念并准确识图求出 OA 的长度是解题的关键4 （ 2016?攀枝花）如图，点D（0， 3） ，O（0，0） ，C（4， 0）在 A 上， BD 是A 的一条弦，则sinOBD= （）ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页第3页（共 20页）【分析】 连接 CD，可得出 OBD= OCD，根据点 D（0，3） ，C（4，0） ，得 OD=3
4、，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sinOBD 即可【解答】 解： D（0，3） ，C（4，0） ，OD=3 ，OC=4，COD=90 ，CD=5，连接 CD，如图所示：OBD= OCD，sinOBD=sin OCD=故选： D【点评】 本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键5 （ 2016?菏泽）如图， ABC 与ABC 都是等腰三角形，且AB=AC=5 ，AB=A C=3，若B+B=90 ，则 ABC 与 ABC的面积比为（）A25：9B5：3C：D5：3【分析】 先根据等腰三角形的性质得到B=C，
5、B =C，根据三角函数的定义得到AD=AB ?sinB，AD=A B? sinB，BC=2BD=2AB ?cosB，BC=2B D =2AB?cosB，然后根据三角形面积公式即可得到结论【解答】 解：过 A 作 AD BC 于 D，过 A 作 AD B C 于 D，ABC 与 A B C 都是等腰三角形，B=C，B=C，BC=2BD ，B C =2B D ，AD=AB ?sinB，AD=A B? sinB，BC=2BD=2AB ?cosB，BC=2B D =2AB?cosB，B+B=90 ，sinB=cosB ，sinB=cosB，SBAC=AD ?BC=AB ?sinB?2AB ?cosB=
6、25sinB ?cosB，SA BC=AD?B C =AB?cosB?2A B?sinB=9sinB?cosB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页第4页（共 20页）SBAC：SA BC=25：9故选 A【点评】 本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式6 （ 2016?永州）下列式子错误的是（）Acos40 =sin50 Btan15? tan75 =1 Csin225 +cos225 =1D sin60 =2sin
7、30【分析】 根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断【解答】 解： A、sin40 =sin（90 50 ）=cos50 ，式子正确；B、tan15? tan75 =tan15? cot15 =1，式子正确；C、sin225 +cos225 =1 正确；D、sin60 =，sin30 =，则 sin60 =2sin30 错误故选 D【点评】 本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系，以及同角之间的正切和余切之间的关系，理解性质是关键7 （2016?沈阳）如图，在RtABC 中， C=90 ，B=30 ，AB=8 ，则 BC 的长是（）AB4C8D 4【分析】 根据 cosB=及
8、特殊角的三角函数值解题即可【解答】 解： 在 RtABC 中， C=90 ，B=30 ，AB=8 ，cosB=，即 cos30 =，BC=8 =4；故选： D【点评】 本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页第5页（共 20页）8 （ 2016?兰州）在Rt ABC 中， C=90 ，sinA=，BC=6 ，则 AB= （）A4B6C8D10 【分析】 在直角三角形ABC 中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将 sinA 的值与 BC 的长代入求出
9、AB 的长即可【解答】 解：在 RtABC 中， C=90 ，sinA=，BC=6 ，AB=10，故选 D 【点评】 此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键9 （ 2016?福州）如图，以圆O 为圆心，半径为1 的弧交坐标轴于A，B 两点， P是上一点（不与 A，B 重合） ，连接 OP，设 POB= ，则点 P 的坐标是（）A （sin ，sin ）B （ cos ，cos ）C （cos ，sin ）D （sin ，cos ）【分析】 过 P 作 PQOB，交 OB 于点 Q，在直角三角形OPQ 中，利用锐角三角函数定义表示出 OQ 与 PQ，即可确定出P 的坐标【
10、解答】 解：过 P作 PQ OB，交 OB 于点 Q，在 RtOPQ 中， OP=1，POQ= ，sin =，cos =，即 PQ=sin ，OQ=cos ，则 P 的坐标为（ cos ，sin ） ，故选 C【点评】 此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页第6页（共 20页）10 （2016?怀化）在RtABC 中， C=90 ，sinA=，AC=6cm ，则 BC 的长度为（）A6cmB7cmC8cmD9cm 【分析】 根据三角函数的
11、定义求得BC 和 AB 的比值，设出BC 、AB，然后利用勾股定理即可求解【解答】 解： sinA=，设 BC=4x ，AB=5x ，又AC2+BC2=AB2，62+（4x）2=（5x）2，解得： x=2 或 x= 2（舍） ，则 BC=4x=8cm ，故选： C【点评】 本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键11 （2016?绍兴）如图，在Rt ABC 中， B=90 ，A=30 ，以点 A 为圆心， BC 长为半径画弧交 AB 于点 D，分别以点A、D 为圆心， AB 长为半径画弧， 两弧交于点E，连接 AE，DE，则 EAD 的余弦值是（）ABCD【分析】设 BC=x
12、， 由含 30 角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x ， 求出 AB=BC=x，根据题意得出AD=BC=x ，AE=DE=AB=x，作 EM AD 于 M，由等腰三角形的性质得出AM=AD=x，在 Rt AEM 中，由三角函数的定义即可得出结果【解答】 解：如图所示：设BC=x ，在 RtABC 中， B=90 ，A=30 ，AC=2BC=2x ，AB=BC=x，根据题意得： AD=BC=x ，AE=DE=AB=x，作 EM AD 于 M，则 AM=AD=x，在 RtAEM 中， cosEAD=；故选： B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
13、 - -第 6 页，共 20 页第7页（共 20页）【点评】 本题考查了解直角三角形、含30 角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数；通过作辅助线求出AM 是解决问题的关键12 （2016?南宁）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10 米， B=36 ，则中柱 AD （D 为底边中点）的长是（）A5sin36 米 B5cos36 米 C5tan36 米 D10tan36 米【分析】 根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5 米，在 RtABD 中，利用 B 的正切进行计算即可得到AD 的长度【解答】 解： AB=AC ，AD BC，BC=10 米，DC=BD=5 米，在
14、 RtADC 中， B=36 ，tan36 =，即 AD=BD ?tan36 =5tan36 （米） 故选： C【点评】 本题考查了解直角三角形的应用解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题13 （2016?益阳）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度如图，旗杆PA的高度与拉绳 PB 的长度相等小明将PB 拉到 PB的位置，测得 PB C= （BC 为水平线），测角仪 BD 的高度为1 米，则旗杆PA 的高度为（）ABCD【分析】 设 PA=PB=PB =x，在 RTPCB中，根据sin =，列出方程即可解决问题【解答】 解：设 PA=PB=PB=x
15、，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页第8页（共 20页）在 RTPCB 中， sin =，=sin ，x=故选 A【点评】 本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型14 （2016?金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线， CA 是水平线， BA 与 CA 的夹角为 现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4 米，楼梯宽度1 米，则地毯的面积至少需要（）A米2B米2C （4+）米2D （4+4tan ）米2【分析】 由三角函数表示出BC，得出 AC+BC 的长度，由矩形的
16、面积即可得出结果【解答】 解：在 RtABC 中， BC=AC ?tan =4tan （米） ，AC+BC=4+4tan （米），地毯的面积至少需要1 （4+4tan ）=4+tan （米2） ；故选： D【点评】 本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC 是解决问题的关键15 （2016?重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15 米的旗杆 ED，从办公楼顶端 A 测得旗杆顶端E 的俯角 是 45 ， 旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是 20 米，梯坎坡长 BC 是 12 米，梯坎坡度i=1：，则大楼 AB 的高度约为（） （精确到0.1 米，参考数
17、据： 1.41， 1.73， 2.45）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页第9页（共 20页）A30.6B32.1C37.9D39.4 【分析】 延长 AB 交 DC 于 H，作 EGAB 于 G，则 GH=DE=15 米，EG=DH ，设 BH=x 米，则 CH=x 米，在 RtBCH 中， BC=12 米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6 米，CH=6米，得出 BG、EG 的长度， 证明 AEG 是等腰直角三角形，得出 AG=EG=6+20（米） ，即可得出大楼AB 的高度【解答】 解：延长 AB 交 D
18、C 于 H，作 EGAB 于 G，如图所示：则 GH=DE=15 米， EG=DH ，梯坎坡度 i=1：，BH ：CH=1 ：，设 BH=x 米，则 CH=x 米，在 RtBCH 中， BC=12 米，由勾股定理得：x2+（x）2=122，解得： x=6，BH=6 米， CH=6米，BG=GH BH=156=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米） ， =45 ，EAG=90 45 =45 ，AEG 是等腰直角三角形，AG=EG=6+20（米） ，AB=AG+BG=6+20+9 39.4（米） ；故选： D【点评】 本题考查了解直角三角形的应用坡度、俯角问题； 通过作辅助线运用勾股定理
19、求出 BH，得出 EG 是解决问题的关键16 （2016?巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2 米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）A斜坡 AB 的坡度是10 B斜坡 AB 的坡度是 tan10CAC=1.2tan10 米 DAB=米【分析】 根据坡度是坡角的正切值，可得答案【解答】 解：斜坡 AB 的坡度是 tan10 =，故 B 正确；故选： B【点评】 本题考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解题关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页第10页（共 20页）1
20、7 （2016?苏州）如图，长4m 的楼梯 AB 的倾斜角 ABD 为 60 ，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角ACD 为 45 ，则调整后的楼梯AC 的长为（）A2mB2mC （22）mD （22） m 【分析】 先在 Rt ABD 中利用正弦的定义计算出AD ，然后在 RtACD 中利用正弦的定义计算 AC 即可【解答】 解：在 RtABD 中， sinABD=，AD=4sin60 =2（m） ，在 RtACD 中， sin ACD=，AC=2（m） 故选 B【点评】 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个
21、比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成i=1 ：m 的形式把坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡度i 与坡角 之间的关系为：i=tan 18 （2016?聊城）聊城 “ 水城之眼 ” 摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O 是摩天轮的圆心，长为110米的 AB 是其垂直地面的直径，小莹在地面C 点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A 的仰角为33 ，测得圆心O 的仰角为 21 ， 则小莹所在C 点到直径AB 所在直线的距离约为 （tan330.65， tan210.38）（）A169 米 B204 米 C240 米 D407 米【分析】 过 C 作
22、CD AB 于 D，在 RtACD 中，求得AD=CD ?tanACD=CD ?tan33 ，在Rt BCO 中，求得OD=CD ?tanBCO=CD ?tan21 ，列方程即可得到结论【解答】 解：过 C 作 CDAB 于 D，在 RtACD 中， AD=CD ?tanACD=CD ?tan33 ，在 RtBCO 中， OD=CD ?tanBCO=CD ?tan21 ，AB=110m ，AO=55m ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页第11页（共 20页）A0=AD OD=CD ?tan33 CD?tan21
23、 =55m，CD= 204m，答：小莹所在C 点到直径 AB 所在直线的距离约为204m故选 B【点评】 此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键19 （2016?重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36 ，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走 13 米至坡顶 B 处，然后再沿水平方向行走6 米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度（或坡比）i=1： 2.4， 那么大树CD 的高度约为 （参考数据： sin360.59， cos360.81， tan360.
24、73） （）A8.1 米 B17.2 米 C19.7 米 D25.5 米【分析】 作 BF AE 于 F，则 FE=BD=6 米，DE=BF ， 设 BF=x 米，则 AF=2.4 米，在 RtABF中， 由勾股定理得出方程， 解方程求出DE=BF=5 米， AF=12 米， 得出 AE 的长度，在 RtACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果【解答】 解：作 BFAE 于 F，如图所示：则 FE=BD=6 米， DE=BF ，斜面 AB 的坡度 i=1：2.4，AF=2.4BF ，设 BF=x 米，则 AF=2.4x 米，在 RtABF 中，由勾股定理得：x2+（ 2.4x）2=132，解
25、得： x=5，DE=BF=5 米， AF=12 米，AE=AF+FE=18米，在 RtACE 中， CE=AE ?tan36 =18 0.73=13.14 米，CD=CE DE=13.14 米 5 米 8.1 米；故选： A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页第12页（共 20页）【点评】 本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键20 （2016?长沙）如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30 ，看这栋楼底部C 处的俯角为60 ，热气球 A
26、处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A160mB120mC 300mD160m 【分析】 首先过点A 作 AD BC 于点 D，根据题意得 BAD=30 ，CAD=60 ，AD=120m ，然后利用三角函数求解即可求得答案【解答】 解：过点 A 作 AD BC 于点 D，则 BAD=30 ，CAD=60 ，AD=120m ，在 RtABD 中， BD=AD ?tan30 =120=40（m） ，在 RtACD 中， CD=AD ?tan60 =120=120（m） ，BC=BD+CD=160（ m） 故选 A【点评】 此题考查了仰角俯角问题注意准确构造直角三角形是解此题的关键21
27、（2016?泰安）如图，轮船沿正南方向以30 海里 /时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔 P 在西偏南68 方向上，航行2 小时后到达N 处，观测灯塔P 在西偏南 46 方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68 =0.9272，sin46 =0.7193，sin22 =0.3746，sin44 =0.6947） （）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页第13页（共 20页）A22.48B41.68C43.16D55.63 【分析】 过点 P 作 PAMN
28、于点 A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可【解答】 解：如图，过点P作 PAMN 于点 A，MN=30 2=60（海里），MNC=90 ， CPN=46 ，MNP= MNC+ CPN=136 ，BMP=68 ，PMN=90 BMP=22 ，MPN=180 PMN PNM=22 ，PMN= MPN，MN=PN=60 （海里），CNP=46 ，PNA=44 ，PA=PN?sinPNA=60 0.6947 41.68（海里）故选： B【点评】 此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键22 （2016?绥化）如图，小雅家（图中
29、点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）在距她家北偏东60 方向的 500 米处，那么水塔所在的位置到公路的距离 AB 是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页第14页（共 20页）A250 米 B250米 C米 D500米【分析】 在 RTAOB 中，由 AOB=30 可知 AB=AO，由此即可解决问题【解答】 解：由题意 AOB=90 60 =30 ，OA=500 ，AB OB，ABO=90 ，AB=AO=250 米故选 A【点评】 本题考查解直角三角形，方向角，直角三角形中30 度
30、角所对的直角边等于斜边的一半等知识， 解题的关键是搞清楚方向角的定义，利用直角三角形性质解决问题，属于中考常考题型二填空题（共8 小题）23 （2016?龙岩）如图，若点A 的坐标为，则 sin1=fracsqrt32【分析】 根据勾股定理，可得OA 的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案【解答】 解：如图，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页第15页（共 20页）由勾股定理，得OA=2sin1=，故答案为：【点评】 本题考查了锐角三角函数，利用勾股定理得出OA 的长是解题关键24 （2016?自贡）如图，在边长相同
31、的小正方形网格中，点A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上， AB ，CD 相交于点 P，则的值 =3，tanAPD 的值 =2【分析】 首先连接 BE，由题意易得BF=CF ，ACP BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得 DP： CP=1： 3， 即可得 PF： CF=PF： BF=1： 2， 在 RtPBF 中，即可求得 tan BPF的值，继而求得答案【解答】 解： 四边形 BCED 是正方形，DB AC ，DBPCAP，=3，连接 BE，四边形 BCED 是正方形，DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE ，BE CD，BF=CF ，根据题意得： AC BD ，ACPBDP，
32、DP：CP=BD ：AC=1 ：3，DP：DF=1：2，DP=PF=CF=BF，在 RtPBF 中， tanBPF=2，APD= BPF，tanAPD=2 ，故答案为： 3，2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页第16页（共 20页）【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义此题难度适中， 解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用25 （2016?枣庄）如图，在半径为3 的O 中，直径AB 与弦 CD 相交于点E，连接 AC，BD，若 AC=2 ，则 tanD=2sqrt2【分析】
33、 连接 BC 可得 RTACB ，由勾股定理求得BC 的长， 进而由 tanD=tanA=可得答案【解答】 解：如图，连接BC，AB 是 O 的直径，ACB=90 ，AB=6 ，AC=2 ，BC=4，又 D=A，tanD=tanA=2故答案为： 2【点评】 本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连接BC 构造直角三角形是解题的关键26 （2016?临沂）一般地，当 、为任意角时， sin（ + ）与 sin（ ）的值可以用下面的公式求得： sin（ + ）=sin? cos +cos? sin ； sin（ ） =sin? cos cos? sin 例如sin90 =sin（60
34、 +30 ）=sin60? cos30 +cos60? sin30 =+ =1类似地，可以求得sin15 的值是fracsqrt6 sqrt24【分析】 把 15 化为 60 45 ，则可利用 sin（ ）=sin? cos cos? sin和特殊角的三角函数值计算出sin15 的值【解答】 解： sin15 =sin（60 45 ） =sin60? cos45 cos60? sin45 =?=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页第17页（共 20页）故答案为【点评】 本题考查了特殊角的三角函数值：应用中要熟记特殊
35、角的三角函数值，一是按值的变化规律去记， 正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记也考查了阅读理解能力 （2016?盐城）已知 ABC 中， tanB=，BC=6，过点 A 作 BC 边上的高，垂足为点D，且满足 BD ：CD=2 ：1，则 ABC 面积的所有可能值为8 或 24【分析】 分两种情况，根据已知条件确定高AD 的长，然后根据三角形面积公式即可求得【解答】 解：如图1 所示：BC=6 ，BD ：CD=2 ：1，BD=4 ，AD BC，tanB=，=，AD=BD=，SABC=BC?AD= 6 =8；如图 2 所示：BC=6 ，BD ：CD=2
36、 ：1，BD=12 ，AD BC，tanB=，=，AD=BD=8 ，SABC=BC?AD= 6 8=24；综上， ABC 面积的所有可能值为8 或 24，故答案为8 或 24精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页第18页（共 20页）【点评】 本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键28 （2016?舟山） 如图，在直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上， 点 A 的坐标为 （1，0） ，ABO=30 ，线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发，沿 OBA 的边
37、按 OBAO 运动一周，同时另一端点Q 随之在 x 轴的非负半轴上运动，如果 PQ=，那么当点 P 运动一周时，点 Q 运动的总路程为4【分析】 首先根据题意正确画出从OBA 运动一周的图形，分四种情况进行计算： 点P从 OB 时，路程是线段PQ 的长； 当点 P 从 BC 时，点 Q 从 O 运动到 Q，计算 OQ的长就是运动的路程； 点 P 从 CA 时， 点 Q 由 Q 向左运动，路程为 QQ ； 点 P 从 AO时，点 Q 运动的路程就是点P 运动的路程；最后相加即可【解答】 解：在 RtAOB 中， ABO=30 ，AO=1 ，AB=2 ，BO=， 当点 P 从 OB 时，如图1、图
38、 2 所示，点 Q 运动的路程为， 当点 P 从 BC 时，如图3所示，这时QCAB，则 ACQ=90 ABO=30 BAO=60 OQD=90 60 =30cos30 =AQ=2 OQ=21=1 则点 Q 运动的路程为QO=1， 当点 P 从 CA 时，如图3 所示，点Q 运动的路程为QQ=2， 当点 P 从 AO 时，点 Q 运动的路程为AO=1 ，点 Q 运动的总路程为：+1+2+1=4 故答案为： 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页第19页（共 20页）【点评】 本题主要是应用三角函数定义来解直角三角
39、形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题29 （2016?新疆）如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行） ，在 C 点测得 ACB=30 ，D点测得 ADB=60 ，又 CD=60m ，则河宽AB 为30sqrt3m（结果保留根号） 【分析】 先根据三角形外角的性质求出CAD 的度数，判断出ACD 的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB 的值【解答】 解： ACB=30 ，ADB=60 ，CAD=30 ，AD=CD=60m ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，
40、共 20 页第20页（共 20页）在 RtABD 中，AB=AD ?sinADB=60 =30 （m） 故答案为： 30 【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中30 （2016?西宁）如图，为保护门源百里油菜花海，由“ 芬芳浴 ” 游客中心 A 处修建通往百米观景长廊BC 的两条栈道AB ，AC若 B=56 ，C=45 ，则游客中心A 到观景长廊BC的距离 AD 的长约为60米 （sin560.8，tan561.5）【分析】 根据题意和图形可以分别表示出AD 和 CD 的长，从而可以求得AD 的长，本题得以解决【解答】 解： B=56 ， C=45 ，ADB= ADC=90 ，BC=BD+CD=100米，BD=，CD=，+=100，解得， AD 60，故答案为： 60【点评】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页