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1、学习好资料欢迎下载高等数学复习要点第一讲极限理论一 基本初等函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性和图象，其中函数图像是重中之重，由函数图像可以轻易的得到函数的其它要素（P17-20）二 求极限的各种方法当)(xf为连续函数时 ,fDx0, 则有)()(lim00 xfxfxx例 1 计算极限xxxarcsinlim22设nm,为非负整数 ,0,000ba则mnmnbamnaxbxbxbaxaxaxannnnmmmmx当当当,0lim0011101110例 2 计算极限：4213limxxx1679143223limxxxx用两个重要极限求1sinlim0 xxx（0sinlimxxx，1
2、)()(sinlim0)(xfxfxf）结论：当0 x时，xxxxxarctanarcsintansin，2cos12xx。exxx)11(lim（exxx10)1(lim，exfxfxf)()()(11 (lim）实质：外大内小，内外互倒例 4 计算极限：xxx310)21(limxxx10)sin1(lim未定式的极限（00， 0，00，0）罗必达法则例 5 计算极限：xxxlnsinlim0 xxx)(sinlim0)1sin1(lim0 xxx设法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同时有理化等方法）例 6 计算极限：xxx11lim0123lim1xxx用等价无穷小量代换（切
3、记：被代换的部分和其他部分必须是相乘关系！）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 7 计算极限)cos1(tansinlim2220 xxxxx无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。例 8 计算极限：xxx1sinlim2021coslimxxxx三 连续和间断 1.连续的定义 2.间断点的定义和分类四 闭区间上连续函数的性质（这里有一些证明题值得注意）。第二讲微分学一 导数概念导数：00000)()(
4、lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx左导数：00000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx右导数：00000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx实质：差商的极限。例 1 计算极限 ：hxfhxfh)()(lim000 xxxfxfx)()(lim000二 各种求导法导数公式表（ P94）和四则运算法则（ P85）例 2 设2sinlog54)(43xxxxfax，求)(xf；例 3 设xxxxxfcscarctansin1)(，求)(xf，)4(f；复合函数的求导（ P90）例 4 求下列函数的导数x
5、exf2arctan)(xexftan)(隐函数求导（方法：把y 当作x的函数，两边对x求导）例 5 求下列隐函数的导数0yexyxyxyln532对数求导法（多用于幂指函数和由多因子相乘构成的函数的求导）例 6 求下列函数的导数xxysin)23)(1(12xxxy由参数方程确定的函数的求导重点：由参数方程)()(tytx确定的函数)(xfy的导数为)()(ttdxdy；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资
6、料欢迎下载例 7 设ttytxarctan)1ln(，求dxdy；三 高阶导数例 8 设xyarctan2，求y；例 9 设nxxey，求)(ny；四 微分重点：函数)(xfy的微分是dxxfdy)(例 10 设xexy223，求dy；例 11设yexy2，求dy；五 单调性和极值重点：由)(xf的符号可以判断出)(xf的单调性；求)(xf的极值方法：求出)(xf，令其为零，得到驻点及不可导点，姑且统称为可疑点；判断在可疑点两侧附近)(xf的符号，若左正右负， 则取得极大值； 若左负右正， 则取得极小值； 若同号，则不取得极值。例 12 求函数)1ln( xxy的单调区间和极值点。例 13 证
7、明：当02x时，恒有xxsin。六 最值问题求函数)(xf在区间,ba上的最值之步骤：求出)(xf，令其为零，得到可疑点（驻点和不可导点），并求出函数在这些点处的取值；求出函数在区间端点取值)(af，)(bf；比较函数在可疑点和区间端点上的取值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。例 14 求下列函数在指定区间上的最值。52)(24xxxf，3, 211xxy， 4, 0七 凹凸性和拐点重点：凹凸性概念：设)(xf在区间),(ba内连续，若对),(,21baxx（21xx） ，有2)()()2(2121xfxfxxf（2)()()2(2121xfxfxxf）则称)(xf在),(ba内是凹函数（
8、凸函数）。 （用此定义可以证明一些不等式，见下例）。由)(xf的符号可以判断出)(xf的凹凸性。)(xf为正号则)(xf是凹函数，)(xf为负号则)(xf是凸函数。判断)(xf的拐点之方法：求出)(xf，令其为零，得到)(xf等于 0的点和)(xf不存在的点；判断在这些点两侧附近)(xf的符号，若为异号，则该点是拐点；若同号，则该点不是拐点。例 15 求下列函数的凹凸区间和拐点。1234xxy3xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - -
9、 - - - - 学习好资料欢迎下载例 16 证明：当21xx时，必有221212xxxxaaa（0a） 。第三讲积分学一 不定积分与原函数的概念与性质原函数：若)()(xfxF，则称)(xF为)(xf的一个原函数。不定积分：)(xf的全体原函数称为)(xf的不定积分，即cxFdxxf)()(，这里)()(xfxF不定积分的性质（ P174,共 2 个）特别强调：cxFdxxF)()(；cxFxdF)()(（切记常数c不可丢）二 定积分的概念与性质定积分概念：iniibaxfdxxf10)(lim)(定积分和不定积分的区别：定积分是和式的极限，计算结果是个常数；不定积分是由一族函数（被积函数的
10、原函数）构成的集合。)(xf在,ba上可积的必要条件：)(xf在,ba上有界；充分条件：)(xf在,ba上连续；定积分的几何意义：设0)(xf，,bax，则dxxfba)(表示由ax，bx，0y及)(xfy围成的曲边梯形的面积。定积分的性质（ P210,共 7 个）注意结合定积分的几何意义理解之。例：若对,bax，有Mxfm)(，则有)()()(abMdxxfabmba。若)(xf在,ba上连续，则存在,ba，使得满足)()(abfdxxfba。另：若)(xf是奇函数，则0)(dxxfaa。三 由变上限积分确定的函数定义：设)(tf在,ba上连续，则称函数dttfxxa)()(，bxa为变上限
11、积分确定的函数。求导问题：)()()(xfdttfdxdxxa例 1 求下列函数的导数)(xf。dtetxftx24ln4)(dttxfx2021)(与罗必达法则结合的综合题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 2 求下列极限：4020sinlimxtdttxxxtxxdtettdt030023sinlim四 求积分的各种方法直接积分法（两个积分表P174和 P185）例 3 计算积分：dxxxx
12、x)1 (122dxxxxcossin2cos第一换元法（凑微分法）重点：)()()()()()(xdxgdxxxgdxxfxf整理cxGcuGduugxu)()()()(变量还原积分令常用凑微分公式：)(111nnxdndxx，)(21xddxx，)(ln1xddxx，)(cossinxdxdx)(sincosxdxdx，)(tansec2xdxdx，)(cotcsc2xdxdx，)(sectansecxdxdxx，)(csccotcscxdxdxx。注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。例 4 计算积分：xdxtand202cossindxxxx8442241ln(1ln)xdx
13、xx第二换元法重点：dxttfdxxftxdttdx)()()()()(令cxGctGdutgttf)()()(1)()(变量还原积分整理常用换元方法：被积函数中若有nbax，令nbaxt；若有kx和lx，令mtx，这里m是k ，l 的最小公倍数。被积函数中若有22xa，令taxsin ；被积函数中若有22xa，令taxtan ；被积函数中若有22ax，令taxsec ；注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。例 5 计算积分： dxxaa022411xdx例 6 设( )f x是定义于实数集上的连续函数，证明dxcxfdxxfcbcaba)()(，2( )()bbaabf x dxf
14、 abx dx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载分部积分法dxvuuvvdxu关键：适当选择 u ，v。选择的技巧有若被积函数是幂函数乘易积函数，令u 为易积函数，v为幂函数。若被积函数是幂函数乘不易积函数，令u 为幂函数，v为不易积函数。例 7 计算积分：xdxarctan有理分式函数的积分步骤：若是假分式，先用分式除法把假分式化为多项式与真分式的和，多项式积分非常容易，下面重点考虑真分式)()
15、(xQxP的积分。把)(xQ分解成如下形式)()()()()(220srxxqpxxbxaxbxQ这里042qp，042sr。把)()(xQxP化为如下形式)()()()()(121axAaxAaxAxQxP)()()(121bxBbxBbxB)()()(21222211qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM)()()(21222211srxxSxRsrxxSxRsrxxSxRu这里iiiiiiSRNMBA,为待定系数，通过对上式进行通分，令等式两边的分子相等，即可解得这些待定系数。于是对)()(xQxP的积分就转化成对上面等式的右端积分了，然后再对上式右端积分。例 8 计算积分：3222
16、210 xxdxxxdxxxx6532五 定积分的分段积分问题例 9 计算积分：dxx403。0sin 2xdx六 定积分的应用：重点是再直角坐标系下求平面图形的面积。 由 曲 线)(xfy，)(xgy)()(xgxf 及直 线ax，bxba 围 成 的 图 形 的 面 积 为：dxxgxfSba)()(。 由 曲 线)(yx，)(yx)()(yy 及直 线ay，byba 围 成的 图 形 的 面积 为 ：dyyySba)()(。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页
17、，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 10 求由下列曲线围成的图形的面积。xyln，xy1，2y；0 x，2x，xysin，xycos ；七 广义积分沿着定积分的概念的两个限制条件（积分区间有限和被积函数在积分区间上有界）进行推广，就得到两种类型的广义积分。第一类广义积分定义：dxxfdxxfbaba)(lim)(dxxfdxxfbaab)(lim)(dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfbbaa0000)(lim)(lim)()()(计算方法：先计算定积分，在取极限。第二类广义积分（暇积分）定义：dxxfdxxfbaba)(lim)(0（a是暇点）dxxfdxxfbaba)(lim)(0（ b 是暇点）dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfbccababcca)(lim)(lim)()()(00（c是暇点）计算方法：先计算定积分，在取极限。例 11 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，收敛于何值。151dxxdxx215) 1(1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -