《2022年高中数学数列十种求通项和七种求和方法练习及答案 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学数列十种求通项和七种求和方法练习及答案 .pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习好资料欢迎下载高中数列知识点总结1. 等差数列 的定义与性质定义：1nnaad（d为常数），11naand等差中项：xAy， ，成等差数列2Axy前 n项和：11122nnaann nSnad性质：（1） 若 m n p q， 则mnpqaaaa；（2）na为等差数列2nSanbn（ab， 为常数，是关于 n的常数项为 0 的二次函数）2. 等比数列 的定义与性质定义：1nnaqa（ q为常数，0q），11nnaa q.等比中项：xGy、成等比数列2Gxy，或 Gxy.前 n项和：11(1)1(1)1nnna qSaqqq（要注意公比 q ）性质：na是等比数列（ 1）若 mnpq，则mn
2、pqaaaa3求数列通项公式 的常用方法一、公式法例 1 已知数列na满足1232nnnaa，12a，求数列na的通项公式。解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列na的通项公式为31()222nnan。二、累加法)(1nfaann例 2 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
3、理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()2(1)12(2)1(221)(211)12(1)(2)21(1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列na的通项公式为2nan。例 3 已知数列na满足1132313nnnaaa，求数列na的通项公式。解：132 31nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa三、累乘法)(1nfaann例 4 已知
4、数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1) (2)2 1(1)122(1 1)52(21)52(21) 5 2(1 1) 5 32 (1)32533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn所以数列na的通项公式为(1)12325!.n nnnan例 5 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，求na的通项公式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
5、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解：因为123123(1)(2)nnaaaanan所以1123123(1)nnnaaaanana用式式得1.nnnaana则1(1)(2)nnana n故11(2)nnanna四、待定系数法（重点）例 6已知数列na满足112356nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1152(5 )nnnnaxax将123 5nnnaa代入式，得123 55225nnnnnaxax，等式两边消去2na，得13 55
6、25nnnxx， 两边除以5n， 得3 52,1 ,xxx 则代入式得1152(5 )nnnnaa例 7 已知数列na满足1135241nnnaaa，求数列na的通项公式。解：设1123(2)nnnnaxyaxy将13524nnnaa代入式，得1352423(2)nnnnnaxyaxy整理得(52 )24323nnxyxy。令52343xxyy，则52xy，代入式得115223(522)nnnnaa例 8 已知数列na满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
7、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载将212345nnaann代入式，得2222345(1)(1)2()nnannx ny nzaxnynz，则222(3)(24)(5)2222nnax nxynxyzaxnynz等式两边消去2na，得22(3)(24)(5)222x nxynxyzxnynz，解方程组3224252xxxyyxyzz，则31018xyz，代入式，得2213(1)10(1)182(31018)nnannann五、对数变换法例 9 已知数列
8、na满足5123nnnaa，17a，求数列na的通项公式。解：因为511237nnnaaa，所以100nnaa，。在5123nnnaa式两边取常用对数得1lg5lglg3lg 2nnaan设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny11六、迭代法例 10 已知数列na满足3(1)2115nnnnaaa，求数列na的通项公式。解：因为3(1)21nnnnaa，所以121323(1) 23212nnnnnnnnnaaa七、数学归纳法例 11 已知11228(1)8(21) (23)9nnnaaann，求数列na的通项公式。（其他方法呢？）解：由1228(1)(21) (23)nnnaann及18
9、9a，得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2122322243228(1 1)88 224(21 1) (213)9925258(21)248348(221) (223)252549498(31)488480(231) (233)49498181aaaaaa由此可猜测22(21)1(21)nnan，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n时，212(21 1)18(21 1)9a，所以等式成立
10、。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk时，1228(1)(21) (23)kkkaakk222222222222222222222(21)18(1)(21)(21) (23)(21)1(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(21)(21) (23)(23)1(23)2(1) 112(1) 1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2由此可知，当1nk时等式也成立。根据（ 1），（ 2）可知，等式对任何*nN都成立。八、换元法例 12 已知数列na满足111(14124)116nnna
11、aaa，求数列na的通项公式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解：令1 24nnba，则21(1)24nnab故2111(1)24nnab，代入11(14124)16nnnaaa得221111(1)14(1)241624nnnbbb即2214(3)nnbb因为1240nnba，故111240nnba则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，九、不动点法例 13已知数
12、列na满足112124441nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：令212441xxx，得2420240 xx，则1223xx，是函数2124( )41xf xx的两个不动点。因为112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa十、倒数法11212nnnaaaa，求na4. 求数列前 n 项和的常用方法一、公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1 () 1(111q
13、qqaaqqaqnaSnnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载3、)1(211nnkSnkn4、)12)(1(6112nnnkSnkn5、213)1(21nnkSnkn例 1求nxxxx32的前 n 项和 . 例 2 设 Sn1+2+3+n，nN*,求1)32()(nnSnSnf的最大值 . 二、错位相减法（等差乘等比）例 3 求和：132)12(7531nnxnxxxS例 4 求数列,22,2
14、6,24,2232nn前 n 项的和 . 解：由题可知，nn22 的通项是等差数列2n 的通项与等比数列n21的通项之积设nnnS222624223214322226242221nnnS（设制错位）得1432222222222222)211(nnnnS（错位相减）1122212nnn1224nnnS三、倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1naa. 例 5 求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210证明：设nnnnnnCnCCCS)12(53210. 把式右边倒转过来得0113)12()
15、12(nnnnnnnCCCnCnS（反序）又由mnnmnCC可得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载nnnnnnnCCCnCnS1103)12()12(. . +得nnnnnnnnnCCCCnS2)1(2)(22(2110（反序相加）nnnS2) 1(例 6 求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S. 将式右边反序得
16、1si n2s i n3s i n88sin89sin22222S. （反序）又因为1cossin),90cos(sin22xxxx+得（反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S89 S44.5 四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例7 求数列的前n 项和：231,71,41, 1112naaan，例8 求数列 n(n+1)(2n+1) 的前 n 项和 . 解：设kkkkkkak2332) 12)(1(nknkkkS1)12)(1()3
17、2(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得Snkkknknknk1213132（分组）五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)() 1(nfnfan（2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（3）111
18、)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（5）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan(6) nnnnnnnnSnnnnnnnnna2) 1(11,2)1(12121)1() 1(221)1(21则例 9求数列,11,321,211nn的前 n 项和 . 例 10在数列 an中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列 bn 的前 n 项的和 . 例11 求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12解：设89cos88cos12cos1cos11cos0cos1Snnnntan)1t
19、an()1cos(cos1sin（裂项）89cos88cos12cos1cos11cos0cos1S（裂项求和）88tan89tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1(tan1sin1)0tan89(tan1sin11cot1sin11sin1cos2原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例 12求 cos1+ cos2+ cos3 + + cos178+ cos179的值 . 解：设 Sn cos1+ cos2+ cos3+ + cos178+ cos179)180
20、cos(cosnn（找特殊性质项）Sn （cos1+ cos179） +（ cos2+ cos178） + （cos3+ cos177） +名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载+（ cos89+ cos91） + cos90（合并求和） 0 例 13 数列 an：nnnaaaaaa12321,2, 3,1，求 S2002. 解：设 S20022002321aaaa由nnnaaaaaa12321,2
21、,3,1可得,2,3,1654aaa,2,3,1,2,3, 1121110987aaaaaa2,3, 1,2,3, 1665646362616kkkkkkaaaaaa0665646362616kkkkkkaaaaaa（找特殊性质项）S20022002321aaaa（合并求和）)()()(66261612876321kkkaaaaaaaaaa2002200120001999199819941993)(aaaaaaa2002200120001999aaaa46362616kkkkaaaa5 例 14在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值 . 解：设1
22、032313logloglogaaaSn由等比数列的性质qpnmaaaaqpnm（找特殊性质项）和对数的运算性质NMNMaaalogloglog得)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn（合并求和）)(log)(log)(log6539231013aaaaaa9log9log9log33310 七、利用数列的通项求和名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢
23、迎下载先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法. 例 15求11111111111个n之和 . 解：由于)110(91999991111111kkk个个（找通项及特征）11111111111个n)110(91)110(91)110(91)110(91321n（分组求和）)1111 (91)10101010(911321个nn9110)110(1091nn)91010(8111nn例 16已知数列 an：11)(1(,)3)(1(8nnnnaannna求的值 . 数列练习一、选择题1.已知等比数列na的公比为正数
24、，且3a9a=225a，2a=1，则1a= A. 21B. 22C. 2D.2 2.已知为等差数列，则等于A. -1 B. 1 C. 3 D.7 3.公差不为零的等差数列na的前n项和为nS.若4a是37aa与的等比中项 , 832S,则10S等于A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载4 设nS是等差数列na的前 n 项和，已知23a，611a，
25、则7S等于A13 B35 C49 D 63 5. 已知na为等差数列，且7a24a1, 3a0, 则公差 d（A）2 （B）12（C）12（D）2 6.等差数列na的公差不为零，首项1a1，2a 是1a 和5a的等比中项，则数列的前10 项之和 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 7. 等差数列na的前 n 项和为nS，已知2110mmmaaa，2138mS,则m（A）38 （B）20 （C）10 （D）9 . 8.设na是公差不为 0的等差数列，12a且136,a aa成等比数列，则na的前n项和nS= A2744nnB2533nn C2324nnD2nn9.等差数列na的
26、公差不为零，首项1a1，2a 是1a 和5a的等比中项，则数列的前10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 二、填空题1 设等比数列na的公比12q，前n项和为nS，则44Sa2.设等差数列na的前n项和为nS，则4S，84SS，128SS，1612SS成等差数列类比以上结论有：设等比数列nb的前n项积为nT，则4T，1612TT成等比数列3.在等差数列na中,6,7253aaa,则_6a. 4.等比数列 na 的公比0q, 已知2a=1，216nnnaaa，则 na 的前4 项和4S= . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
27、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载数列练习参考答案一、选择题1.【答案】B【解析】 设公比为q,由已知得22841112a qa qa q,即22q,又因为等比数列na的公比为正数，所以2q,故211222aaq,选 B 2.【 解 析 】135105aaa即33105a335a同 理可 得433a 公 差432daa204(204)1aad.选 B。【答案】 B3. 答 案 ： C 【 解 析 】 由2437aa a得2111(3 )(2 )(6 )adada
28、d得1230ad, 再 由81568322Sad得1278ad则12,3da,所以1019010602Sad,.故选 C 4. 解:172677()7()7(311)49.222aaaaS故选 C.或由21161315112aadaaadd, 716213.a所以1777()7(1 13)49.22aaS故选 C.5. 【解析】 a72a4a34d 2(a3d)2d 1 d 12【答案】 B 6.【答案】 B【解析】 设公差为d，则)41(1)1(2dd.d0，解得d2，10S1007.【答案】 C【解析】因为na是等差数列，所以，112mmmaaa，由2110mmmaaa，得： 2ma2ma
29、0，所以，ma2，又2138mS，即2)(12(121maam38，即（ 2m1）238，解得 m10，故选 .C。8.【答案】 A 解析设数列na的公差为d，则根据题意得(22 )22 (25 )dd，解得12d或0d（舍去），所以数列na的前n项和2(1)1722244nn nnnSn9.【答案】 B【解析】 设公差为d，则)41(1)1(2dd.d0，解得d2，10S100 二、填空题1.【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前n项和的知识联系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
30、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【解析】对于4431444134(1)1,151(1)aqsqsaa qqaqq2.答案：81248,TTTT【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力3.【解析】:设等差数列na的公差为d,则由已知得6472111dadada解得132ad,所以61513aad.答案 :13.【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 4.【答案】152
31、【解析】由216nnnaaa得：116nnnqqq，即062qq，0q，解得： q2，又2a=1，所以，112a，21)21 (2144S152三、大题1. 等比数列na的各项均为正数，且212326231,9.aaaa a1）. 求数列na的通项公式 . 2）. 设31323loglog.log,nnbaaa求数列1nb的前项和 . 2. 已知等差数列 an 满足 a2=0，a6+a8=-10 （I ）求数列 an 的通项公式；（II ）求数列12nna的前 n项和名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
32、- - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2*. 已知正项等差数列na的前n项和为nS，若312S，且1232,1a aa成等比 数列. （）求na的通项公式；（）记3nnnab的前n项和为nT，求nT. 3. 已知数列 an满足 a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an（nN+）（1）证明：数列 an+1-an 是等比数列；（ 2）求数列 an的通项公式4. 已知数列na的各项满足：ka311)(Rk，1143nnnaa. (1) 判断数列74nna是否成等比数列；（ 2）求数列na的通项公式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载5. 已知等差数列na和正项等比数列nb，111ba，1073aa，3b4a（1）求数列na、nb的通项公式（2）若nnnbac，求数列nc的前n项和nT名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -