2022年高中数学必修平面向量测试试卷典型例题 .pdf

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1、1 高中数学平面向量组卷一选择题（共18 小题）1已知向量与的夹角为 ，定义 为与的“ 向量积 ” ，且 是一个向量，它的长度| |=| | |sin ，若=（2，0） ，=（ 1，） ，则 | （+）|=（）A4BC6D22已知，为单位向量，其夹角为60 ，则（ 2 ）?=（）A 1 B0C1D23已知向量=（1，） ，=（3，m） ，若向量，的夹角为，则实数m=（）A2BC0D4向量，且，则=（）ABCD5如图，在 ABC 中， BD=2DC 若，则=（）ABCD6若向量=（2cos ， 1） ，=（，tan ） ，且，则 sin =（）ABCD7已知点A（3，0） ，B（0，3） ，C（

2、cos ，sin ） ，O（0，0） ，若，则的夹角为（）ABCD8设向量=，=不共线，且 |+|=1，| |=3，则 OAB 的形状是（）A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形9已知点G 是ABC 的重心，若A=，?=3，则 |的最小值为（）ABCD2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 2 10如图，各棱长都为2 的四面体 ABCD 中，=，=2，则向量?=（）ABCD11已知函数f（x）=sin（2

3、x+ ）的部分图象如图所示，点B，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于 D，E 两点，则（）?的值为（）ABC1D212已知 P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足 (）?（+2）=0，则ABC 的形状一定为（）A等边三角形B直角三角形C钝三角形D等腰三角形13如图所示，设P 为ABC 所在平面内的一点，并且=+，则ABP 与ABC 的面积之比等于（）ABCD14在 ABC 中， |AB|=3，|AC|=2 ，=，则直线 AD 通过 ABC 的（）A垂心B外心C重心D内心15在 ABC 中， BAC=60 ，AB=2 ，AC=1 ，E，F 为边 BC 的三等分点

4、，则=（）ABCD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 3 16已知空间向量满足，且的夹角为，O 为空间直角坐标系的原点，点A、B 满足，则OAB 的面积为（）ABCD17已知点 P 为ABC 内一点，且+3=，则 APB， APC，BPC 的面积之比等于（）A9：4：1 B1：4：9 C3：2：1 D1：2：3 18在直角三角形ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点P 为线段 CD 的中点，则=（）A2B4C

5、5D10 二解答题（共6 小题）19如图示，在 ABC 中，若 A，B 两点坐标分别为（2，0） ， （ 3，4）点 C 在 AB 上，且 OC 平分 BOA （1）求 AOB 的余弦值；（2）求点 C 的坐标20已知向量=（cos ，sin ）和（1）若，求角 的集合；（2）若，且 | |=，求的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 4 21如图所示，若D 是ABC 内的一点，且AB2AC2=DB2DC2求证：

6、AD BC22已知向量，其中 A、B 是ABC的内角，（1）求 tanA?tanB 的值；（2）若 a、b、c 分别是角A、B、C 的对边，当C 最大时，求的值23已知向量且，函数 f（x）=2（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）若，分别求 tanx 及的值24已知，函数 f（x）=（1）求函数f（ x）的最小正周期；（2）求函数f（ x）的单调减区间；（3）当时，求函数f（x）的值域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - -

7、 - - - - - - 5 高中数学平面向量组卷（2014 年 09 月 24 日）参考答案与试题解析一选择题（共18 小题）1已知向量与的夹角为 ，定义 为与的“ 向量积 ” ，且 是一个向量，它的长度| |=| | |sin ，若=（2，0） ，=（ 1，） ，则 | （+）|=（）A4BC6D2考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：利用数量积运算和向量的夹角公式可得=再利用平方关系可得，利用新定义即可得出解答：解：由题意，则，=6，=2，=2=即，得，由定义知，故选： D点评：本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题2已

8、知，为单位向量，其夹角为60 ，则（ 2 ）?=（）A 1 B0C1D2考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（ 2）? 的值解答：解：由题意可得，=1 1 cos60 =，=1，（ 2 ）?=2=0，故选： B点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 6 3已知向量=（1，） ，=（3，m） ，若向量，的

9、夹角为，则实数m=（）A2BC0D考点：数量积表示两个向量的夹角专题：平面向量及应用分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m 的值解答：解：由题意可得cos=，解得m=，故选： B点评：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题4向量，且，则=（）ABCD考点：平行向量与共线向量；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用专题：计算题；三角函数的求值分析：根据向量平行的条件建立关于的等式，利用同角三角函数的基本关系与诱导公式，化简即可得到的值解答：解：，且，即，得 sin =，由此可得=sin =故选： B 点评：本题给出向量含有三角函数的坐标

10、式，在向量互相平行的情况下求的值 着重考查了同角三角函数的基本关系、诱导公式和向量平行的条件等知识，属于基础题5如图，在 ABC 中， BD=2DC 若，则=（）ABCD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 7 考点：向量的加法及其几何意义专题：平面向量及应用分析：由题意可得=，而，代入化简可得答案解答：解：由题意可得=故选 C 点评：本题考查平面向量的加法及其几何意义，涉及向量的数乘，属基础题6若向量=（2cos

11、， 1） ，=（，tan ） ，且，则 sin =（）ABCD考点：平面向量共线（平行）的坐标表示专题：平面向量及应用分析：直接由向量共线的坐标表示列式计算解答：解：向量=（2cos ，1） ，=（，tan ） ，且，则 2cos? tan （ 1）=0，即 2sin =故选： B点评：共线问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别若=（a1，a2） ，=（b1，b2） ，则? a1a2+b1b2=0，? a1b2a2b1=0是基础题7已知点A（3，0） ，B（0，3） ，C（cos ，sin ） ，O（0，0） ，若，则的

12、夹角为（）ABCD考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题分析：根据题意求出的坐标， 再由它的模求出角 ，进而求出点C 的坐标， 利用数量积的坐标表示求出和夹角的余弦值，再求出夹角的度数解答：解： A（3， 0） ，C（cos ，sin ） ，O（0，0） ，=（3+cos ，sin ） ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - 8 ，（ 3+cos ）2+sin2 =13，解得， cos =，则 =，即

13、C（，） ，和夹角的余弦值是=，和的夹角是故选： D点评：本题考查向量线性运算的坐标运算，以及数量积坐标表示的应用，利用向量坐标形式进行运算求出对应向量的模，以及它们的夹角的余弦值，进而结合夹角的范围求出夹角的大小8设向量=，=不共线，且 |+|=1，| |=3，则 OAB 的形状是（）A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形考点：平面向量数量积的运算专题：计算题；平面向量及应用分析：对 | +|=1，| |=3 分别平方并作差可得，由其符号可判断AOB 为钝角，得到答案解答：解：由 | +|=1，得=1，即 ，由 | |=3，得，即 ， 得， 4=8，解得0， AOB 为钝角， OA

14、B 为钝角三角形，故选：D点评：本题考查平面向量数量积运算，属基础题9已知点G 是ABC 的重心，若A=，?=3，则 |的最小值为（）ABCD2考点：平面向量数量积的运算专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用分析：由 A=，?=3，可求得=6，由点 G 是ABC 的重心，得=，利用不等式则 |2=（+6），代入数值可得解答：解： A=，?=3，=3，即=6，点 G 是ABC 的重心，=， |2=（+6）=2， |，当且仅当=时取等号， |的最小值为，故选 B点评：本题考查平面向量数量积的运算、不等式求最值，注意不等式求最值时适用的条件10如图，各棱长都为2 的四面体 ABCD 中，=，=2，

15、则向量?=（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - 9 ABCD考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：由向量的运算可得=（） ，=，由数量积的定义可得解答：解：=，=2，=（） ，=，=，?=（）?（）=故选： B 点评：本题考查向量数量积的运算，用已知向量表示未知向量是解决问题的关键，属中档题11已知函数f（x）=sin（2 x+ ）的部分图象如图所示，点B，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线

16、与该图象交于 D，E 两点，则（）?的值为（）ABC1D2考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的图象；正弦函数的定义域和值域专题：平面向量及应用分析：根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论解答：解：函数f（x）=sin（2 x+ ）的周期T=，则 BC=，则 C 点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知：=2?（）?=2=点评：本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键12已知 P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足 (）?（+2）=0，则ABC 的形状一定为（）名师资料总结 - - -精品资

17、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 10 A等边三角形B直角三角形C钝三角形D等腰三角形考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：利用向量的三角形法则和平行四边形法则、向量垂直于数量积的关系即可得出解答：解：，=， （） ?（+2）=0，=0而一定经过边AB 的中点，垂直平分边AB，即 ABC 的形状一定为等腰三角形点评：本题考查了向量的三角形法则和平行四边形法则、向量垂直于数量积的关系、等腰三角形的定义，考查了推理能力，属于难题13

18、如图所示，设P 为ABC 所在平面内的一点，并且=+，则ABP 与ABC 的面积之比等于（）ABCD考点：向量在几何中的应用专题：计算题；压轴题分析：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，及三角形面积的性质， 由ABP 与ABC 为同底不等高的三角形，故高之比即为两个三角面积之间，连接CP 并延长后，我们易得到CP 与 CD 长度的关系，进行得到ABP的面积与 ABC 面积之比解答：解：连接CP 并延长交 AB 于 D， P、C、D 三点共线，=+，且 + =1 设=k，结合=+，得=+由平面向量基本定理解之，得 =，k=3 且 =，=+，可得=， ABP 的面积与 ABC 有相同的底边AB

19、高的比等于 |与|之比 ABP 的面积与 ABC 面积之比为，故选： C 点评：三角形面积性质：同（等） 底同（等）高的三角形面积相等；同（等） 底三角形面积这比等于高之比；同（等）高三角形面积之比等于底之比14在 ABC 中， |AB|=3，|AC|=2 ，=，则直线 AD 通过 ABC 的（）A垂心B外心C重心D内心名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 11 考点：向量在几何中的应用专题：综合题；平面向量及应用

20、分析：首先根据已知条件可知|=|=，又因为=，设=，=，由向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF 为菱形，从而可确定直线AD 通过 ABC 的内心解答：解： |AB|=3，|AC|=2 |=|=设=，=， 则|=|，=+由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF 为菱形 AD 为菱形的对角线， AD 平分 EAF直线AD 通过 ABC 的内心故选：D点评：本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于中档题15在 ABC 中， BAC=60 ，AB=2 ，AC=1 ，E，F 为边 BC 的三等分点，则=（）ABCD考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算专题：计算题分析：先判

21、定三角形形状，然后建立直角坐标系，分别求出，向量的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案解答：解：在 ABC 中， BAC=60 ，AB=2 ，AC=1 ，根据余弦定理可知BC=由 AB=2 ，AC=1 ，BC=满足勾股定理可知BCA=90 以 C 为坐标原点，CA、CB 方向为 x，y 轴正方向建立坐标系 AC=1 ，BC=，则 C（0，0） ，A（1，0） ，B（0，）又 E， F 分别是 RtABC 中 BC 上的两个三等分点，则E（0，） ，F（0，）则=（ 1，） ，=（ 1，）=1+=故选 A点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中建立坐标系，将向量数量积的运算坐标

22、化可以简化本题的解答过程16已知空间向量满足，且的夹角为，O 为空间直角坐标系的原点，点A、B 满足，则OAB 的面积为（）ABCD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 12 考点：平面向量数量积的运算；三角形的面积公式专题：平面向量及应用分析：由向量的运算可得，以及，代入夹角公式可得cosBOA ，由平方关系可得sinBOA ，代入三角形的面积公式S=，计算可得解答：解：由题意可得=，同理可得=，而=（） ?（）

23、=6 1212=，故 cos BOA=，可得 sinBOA=，所以 OAB 的面积 S=故选 B 点评：本题考查平面向量的数量积和三角形面积的求解，熟练掌握公式是解决问题的关键，属中档题17已知点 P 为ABC 内一点，且+3=，则 APB， APC，BPC 的面积之比等于（）A9：4：1 B1：4：9 C3：2：1 D1：2：3 考点：向量在几何中的应用专题：计算题；压轴题分析：先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比解答：解：+3=，+=+） ，如图：， F、P、G 三点共线，且PF=2PG，GF 为三角形 ABC 的中

24、位线=2 而 SAPB=SABCAPB，APC，BPC 的面积之比等于3：2：1 故选C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 13 点评：本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键18在直角三角形ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点P 为线段 CD 的中点，则=（）A2B4C5D10 考点：向量在几何中的应用专题：计算题；综合题分析

25、：以 D 为原点， AB 所在直线为x 轴，建立坐标系，由题意得以AB 为直径的圆必定经过C 点，因此设AB=2r ， CDB= ，得到 A、B、C 和 P 各点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA|2+|PB|2和|PC|2的值，即可求出的值解答：解：以 D 为原点， AB 所在直线为x 轴，建立如图坐标系， AB 是 RtABC 的斜边，以AB 为直径的圆必定经过C 点设 AB=2r ， CDB= ，则 A（ r，0） ，B（r，0） ，C（rcos ，rsin ）点 P为线段 CD 的中点， P（rcos ，rsin ） |PA|2=+=+r2cos ，|PB|2=+=r2cos ，可得

26、 |PA|2+|PB|2=r2又点 P 为线段 CD 的中点， CD=r |PC|2=r2所以：=10 故选 D 点评：本题给出直角三角形ABC 斜边 AB 上中线 AD 的中点 P，求 P 到 A、B 距离的平方和与PC 平方的比值，着重考查了用解析法解决平面几何问题的知识点，属于中档题二解答题（共6 小题）19如图示，在 ABC 中，若 A，B 两点坐标分别为（2，0） ， （ 3，4）点 C 在 AB 上，且 OC 平分 BOA 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

27、13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 14 （1）求 AOB 的余弦值；（2）求点 C 的坐标考点：向量在几何中的应用专题：综合题分析：（ 1）由题意可得，把已知代入可求（ 2）设点 C（x，y） ，由 OC 平分 BOA 可得 cosAOC=cos BOC 即=；再由点C 在 AB 即共线，建立关于x，y 的关系，可求解答：解： （1）由题意可得，=（ 2）设点 C（x，y） ，由 OC 平分 BOA 可得 cosAOC=cosBOC ，=，y=2x又点 C 在 AB 即共线， 4x+5y8=0由解得，点 C 的坐标为点评：本题注意考查了向量的夹角公式的坐标表示的应用，

28、向量共线的坐标表示在三角形中的应用，解题的关键是借助于已知图象中的条件，灵活的应用向量的基本知识20已知向量=（cos ，sin ）和（1）若，求角 的集合；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 15 （2）若，且 | |=，求的值考点：平面向量的坐标运算专题：计算题分析：（ 1）由题意和共线向量的等价条件，列出关于角的方程，求出的一个三角函数值，再根据三角函数求出角 的集合（ 2）由题意先求出的坐标，根据此向量的

29、长度和向量长度的坐标表示，列出方程求出cos（ ） ，由余弦的二倍角公式和的范围求出的值解答：解： （1）由题意知，则 coscos sin （sin ） =0，sin =1，sin =，角 的集合 = | =+2k或 =+2k ，k Z ；（ 2）由题意得，=（cos +sin ，sin cos ） ， | |=2=，即 cos（ ）=，由余弦的二倍角公式得，= ，即 cos（） 0，由 得 cos（） =点评：本题考查了共线向量的坐标表示和向量长度的坐标表示，利用两角正弦（余弦）和差公式和二倍角公式进行变形求解，注意由已知条件求出所求角的范围，来确定所求三角函数值的符号21如图所示，若D

30、是ABC 内的一点，且AB2AC2=DB2DC2求证： AD BC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 16 考点：向量在几何中的应用专题：计算题；证明题；平面向量及应用分析：设=，=，=，=，=，将=+、 =+代入22的式子， 化简整理22=2+2? 2 ? 2，结合题意22=22化简，可得? （）=0，再结合向量的加减法法则得到?=0，由此结合数量积的性质即可得到AD BC解答：解：设=，=，=，=，=，则=+

31、，=+22=（+）2（+）2=2+2? 2 ? 2由已知AB2 AC2=DB2DC2，得22=22，2+2? 2 ? 2=22，即?（）=0=+=，?=?（）=0，因此，可得，即 AD BC点评：本题给出三角形ABC 内满足平方关系的点D，求证 AD BC 着重考查了平面向量的加减法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题22已知向量，其中 A、B 是ABC的内角，（1）求 tanA?tanB 的值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - -

32、 - - - - - - - 17 （2）若 a、b、c 分别是角A、B、C 的对边，当C 最大时，求的值考点：平面向量的综合题专题：计算题分析：（ 1）根据推断出=0，利用向量的数量积运算结合二倍角公式求得tanA?tanB；（ 2）由于 tanA?tanB=0，利用基本不等式得出当且仅当时， c 取得最大值，再利用同角公式求出sinC， sinA，最后由正弦定理求的值解答：解： （）由题意得=0 即， 5cos（A+B ）+4cos（AB）=0 cosAcosB=9sinAsinB tanA?tanB=（ 2）由于 tanA?tanB=0，且 A、B 是ABC 的内角， tanA0，tan

33、B0 =当且仅当取等号 c 为最大边时，有，tanC=， sinC=，sinA=由正弦定理得：=点评：本题是中档题，考查三角函数的化简与求值，正弦定理的应用，基本不等式的知识，是一道综合题，考查学生分析问题解决问题的能力，公式的熟练程度决定学生的能力的高低23已知向量且，函数 f（x）=2（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（II）若，分别求 tanx 及的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 18

34、考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；复合三角函数的单调性专题：平面向量及应用分析：（ I）化简函数f（x）=2=2sin（2x+） ，可得函数的周期，令2k 2x+ 2k +，k z，求得 x 的范围，即可得到函数的单调递增区间（ II）由，求得 tanx=，再由=，运算求得结果解答：（ I）解：函数f（x）=2=2sinxcosx+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin （2x+） ，故函数的周期为= ，令2k 2x+ 2k +，k z，求得k x k +，故函数的单调递增区间为k ，k +，k z（ II）解：若，则 sinx=cosx，即tanx=点评：本题主要考查两个向

35、量的数量积的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的增区间，三角函数的周期性和求法，属于中档题24已知，函数 f（x）=（1）求函数f（ x）的最小正周期；（2）求函数f（ x）的单调减区间；（3）当时，求函数f（x）的值域考点：平面向量的综合题；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性专题：综合题分析：（ 1）根据向量的数量积公式，结合二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用周期公式，可求函数f（x）的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

36、 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 19 最小正周期；（ 2）由 2k + 2x+ 2k +得 k + x k +，从而可得f（x）的单调减区间；（ 3）由，可得，从而可求函数f（x）的值域解答：解： （1），函数 f（x）=5sinxcosx+sin2x+6cos2x=5sin（2x+）+f（x）的最小正周期；（ 2）由 2k + 2x+ 2k +得 k + x k +， k Zf （x）的单调减区间为k +，k + （kZ）（ 3）1 f（x）即 f（x）的值域为 1，点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查函数的单调性与值域，化简函数是关键名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -