2022年高中函数性质总结 .pdf

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1、函数的基本性质一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。定义：（略）定理 1：2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf x1212()()0( ),f xf xf xa bxx在上是增函数；1212()()()0 xxf xf x1212()()0( ),f xf xf xa bxx在上是减函数 . 定理 2：（导数法确定单调区间）若bax,，那么baxfxf,)(0在上是增函数；baxfxf,)(0在上是减函数 . 1. 函数单调性的判断( 证明) (1) 作差法 ( 定义法 ) (2)作商法 (3)

2、导数法2. 复合函数的单调性的判定对于函数( )yf u和( )ug x，如果函数( )ug x在区间( , )a b上具有单调性，当,xa b时,um n，且函数( )yf u在区间(, )m n上也具有单调性，则复合函数( ( )yf g x在区间,a b具有单调性。3. 由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数( )f x和( )g x，若它们的定义域分别为I和J，且IJ：(1) 当( )fx和( )g x具有相同的增减性时，1( )( )( )Fxf xg x的增减性与( )f x相同，2( )( )( )Fxf xg x、3( )( )( )Fxf xg x、4

3、( )( )( )0)( )f xFxg xg x的增减性不能确定；(2) 当( )fx和( )g x具有相异的增减性时，我们假设( )f x为增函数，( )g x为减函数，那么：1( )( )( )Fxf xg x的增减性不能确定；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 2( )( )( )Fxf xg x、3( )( )( )F xf xg x、4( )( )( ( )0)( )f xF xg xg x为增函数，5

4、( )( )( ( )0)( )g xF xf xf x为减函数。4. 奇偶函数的单调性奇函数在其定义域的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上的单调性相反。二、函数的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中, 而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决, 对称关系同时还充分体现数学之美。1. 函数( )yf x的图象的对称性（自身）: 定理 1:函数( )yf x的图象关于直2abx对称()()f axf b x()( )f a b xf x特殊的有：函数( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax(2)( )faxf x。

5、函数( )yf x的图象关于y轴对称（奇函数）)()(xfxf。函数)(axfy是偶函数)(xf关于ax对称。定理 2：函数( )yf x的图象关于点( , )a b对称( )2(2)f xbfaxbxafxaf2)()(特殊的有：函数( )yf x的图象关于点( ,0)a对称( )(2)f xfax。函数( )yf x的图象关于原点对称（奇函数）)()(xfxf。函数)(axfy是奇函数)(xf关于点0,a对称。定理 3： （性质）若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和 x=b(a 不等于 b), 那么 f(x) 为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。若函数 y=f (x)

6、的图像有一个对称中心M(m.n) 和一条铅直对称轴x=a, 那么 f(x) 为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点 B (b ,c)成中心对称（ ab） ，则 y = f (x)是周期函数，且2| a b| 是其一个周期。若一个函数的反函数是它本身, 那么它的图像关于直线y=x 对称。2. 两个函数图象的对称性 : 函

7、数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x( 即y轴) 对称 . 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线2abxm对称 . 特殊地 : ()yf xa与函数()yf ax的图象关于直线xa对称函数( )yf x的图象关于直线xa对称的解析式为(2)yfax函数( )yf x的图象关于点( ,0)a对称的解析式为(2)yfax函数 y = f (x)与 ax = f (ay) 的图像关于直线x +y = a成轴对称。函数 y = f (x)与 xa = f (y + a)的图像关于直线xy = a成轴对称。函数 y = f (x)的图像与 x = f (y)的图像关于

8、直线x = y 成轴对称。3奇偶函数性质对于两个具有奇偶性的函数( )f x和( )g x，若它们的定义域分别为I和J，且IJ：（1）满足定义式子)()(xfxf（偶）0)()(xfxf（奇）（2）在原点有定义的奇函数有0)0(f(3) 当( )fx和( )g x具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：函数1( )( )( )Fxf xg x、3( )( )( )Fxf xg x也为奇函数；2( )( )( )Fxf xg x、4( )( )( ( )0)( )f xFxg xg x为偶函数；两个偶函数之和、差、积、商为偶函数(4) 当( )fx和( )g x具有相异的奇偶性时，那么：1( )

9、( )( )F xf xg x、3( )( )( )Fxf xg x的奇偶性不能确定；2( )( )( )Fxf xg x、4( )( )( ( )0)( )f xFxg xg x、5( )( )( )0)( )g xFxf xf x为奇函数。简单地说：奇函数 奇函数 =奇函数，偶函数 偶函数 =偶函数，奇函数 奇函数 =偶函数，偶函数 偶函数 =偶函数，奇函数 偶函数 =奇函数 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - -

10、 - （6）任意函数)(xf均可表示成一个奇函数)()(21)(xfxfxg与一个偶函数)()(21)(xfxfxh的和。（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（8）图形的对称性关于y轴对称的函数（偶函数）关于原点0,0对称的函数（奇函数）（9）若)(xf是偶函数，则必有)()(baxfbaxf若)(xf是奇函数，则必有)()(baxfbaxf（10）若)(baxf为偶函数，则必有)()(baxfbaxf若)(baxf是奇函数，则必有)()(baxfbaxf（11）常见的奇偶函数三、函数的周期性函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正

11、，求值。1. 周期性的定义对于函数)(xfy，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域的每一个值时，都有)()(xfTxf都成立，那么就把函数)(xfy叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数T是函数( )f x的周期，那么T、nT（*nN）也是函数( )f x的周期。2. 函数的周期性的主要结论：结论 1：如果()()f xaf xb（ab） ，那么( )f x是周期函数，其中一个周期Tab结论 2：如果()()f xaf xb（ab） ，那么( )f x是周期函数，其中一个周期2Tab结论 3：如果定义

12、在R上的函数( )f x有两条对称轴xa、xb对称，那么( )f x是周期函数，其中一个周期2Tab结论 4：如果偶函数( )f x的图像关于直线xa（0a）对称，那么( )f x是周期函数，其中一个周期2Ta结论 5：如果奇函数( )f x的图像关于直线xa（0a）对称，那么( )f x是周期函数，其中一个周期4Ta结论 6：如果函数同时关于两点, a c、,b c（ab）成中心对称，那么( )f x是周期函数，其中一个周期2Tab结论 7：如果奇函数( )f x关于点,a c（0a）成中心对称，那么( )f x是周期函数，其中一个周期2Ta结论 8：如果函数( )f x的图像关于点,a c

13、（0a）成中心对称，且关于直线xb（ab）成名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 轴对称，那么( )fx是周期函数，其中一个周期4Tab结论 9： 如果1()( )f xpf x或1()( )f xpf x， 那么( )f x是周期函数， 其中一个周期2Tp结论 10：如果1( )()21( )pf xf xf x或1( )()21( )pf xf xf x，那么( )f x是周期函数， 其中一个周期2Tp结论 11

14、：如果()( )f xpf x，那么( )f x是周期函数，其中一个周期2Tp例 1：定义在 R 上的非常数函数满足： f (10+x)为偶函数，且 f (5x) = f (5+x), 则 f (x)一定是（）（第十二届希望杯高二第二试题）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解： f (10+x)为偶函数， f (10+x) = f (10 x). f (x)有两条对称轴x = 5 与 x =10 ，因此 f (x)是以 10 为其一个周期的周期函数，x =0 即 y 轴也是 f (x)的对称轴，因此 f (x)还

15、是一个偶函数。故选(A) 例 6.求证 :若fxxR为奇函数，则方程fx=0 若有根一定为奇数个。证:Qfx为奇函数0f-0f=0f20f=0 即x=0 是方程fx=0 的根若1x是fx=0 的根，即1fx=0 由奇数定义得1fx1fx=0 1x也是方程的根即方程的根除x=0 外成对出现。方程根为奇数个。例 2：设定义域为 R的函数 y = f (x)、y = g(x) 都有反函数，并且f(x 1)和g-1(x 2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么 f(4)= （ ）。（A） 1999 ； （B）2000； （C）2001； （D ）2002。名师资料总结 -

16、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 解： y = f(x1)和 y = g-1(x 2)函数的图像关于直线y = x对称，y = g-1(x 2) 反函数是 y = f(x1) ，而 y = g-1(x 2) 的反函数是 :y = 2 + g(x), f(x 1) = 2 + g(x), 有 f(5 1) = 2 + g(5)=2001 故 f(4) = 2001,应选（ C ）例 3. 设 f(x) 是定义在 R上的偶函数，且 f

17、(1+x)= f(1x), 当1x0时，f (x) = 21x，则 f (8.6 ) = _ （第八届希望杯高二第一试题）解： f(x)是定义在 R 上的偶函数 x = 0 是 y = f(x)对称轴；又f(1+x)= f(1 x) x = 1 也是 y = f (x) 对称轴。 故 y = f(x)是以 2 为周期的周期函数， f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f ( 0.6 ) = 0.3 例 4. 设 f(x) 是定义在 R上的奇函数，且 f(x+2)= f(x),当 0 x1 时，f (x) = x ，则 f (7.5 ) = （）(A)0.5 (B

18、) 0.5(C) 1.5(D) 1.5 解：y = f (x) 是定义在 R 上的奇函数，点（ 0，0）是其对称中心；又f (x+2 )= f (x) = f ( x)，即 f (1+ x) = f (1 x)，直线 x = 1 是 y = f (x) 对称轴，故y = f (x) 是周期为 2 的周期函数。f (7.5 ) = f (8 0.5 ) = f ( 0.5 ) = f (0.5 ) = 0.5 故选(B) 一、 反函数的性质和应用（1）定义域值域相反（2）图象关于xy对称（3）具有相同的单调性、奇偶性（4）单调函数一定具有反函数，具有反函数的函数不一定单调，偶函数和周期函数一定不

19、具有反函数（5）原函数过ba,则反函数过ab,反之亦然（6）xxff)(1，xxff)(1，但不一定等于)(1xff)(1xff仅当)(xf值域定义域才成立（二）奇偶函数性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - （1）满足定义式子（2）在原点有定义的奇函数有0)0(f（3）两个偶函数之和、差、积、商为偶函数；（4）两个奇函数之和、差为奇函数；积（商）为偶函数；（5）一个奇函数和偶函数之积、商为奇 函 数 （ 6） 任

20、 意 函 数)(xf均 可 表 示 成 一 个 奇 函 数)()(21)(xfxfxg与 一 个 偶 函 数)()(21)(xfxfxh的和（ 7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（8）图形的对称性（三） 周期性：定义、判断常 见 具 有 周 期 性 的 函 数)()(xfaxf)(1)()(1)(xfaxfxfaxf或)(1)(1)(xfxfaxf或)(1)(1)(xfxfaxf（四） 对称性：判断、性质（1）一个函数的对称性：1 、函 数)(xfy关 于ax对 称)()(xafxaf或)2()(xafxf或)2()(xafxf显然：特殊的有偶函数 关于y（ 即 x

21、=0 ）轴对 称，则有关系式)()(xfxf；一般 的有)()(xbfxaf，函 数)(xfy关于直线22)()(baxbxax对称2、函数)(xfy关于点),(ba对称bxafxaf2)()(bxfxaf2)()2(上述关系也可以写成或bxfxaf2)()2(显然特殊的有奇函数关于（ 0，0）对称，奇函数有关系式0)()(xfxf一般的有cxbfxaf)()(，函数)(xfy关于点)2,2(cba对称3、函数自身不可能关于by对称，曲线则可能（2）两个函数的对称性：1、)(xfy与)(xfy关于 X 轴对称。2、)(xfy与)( xfy关于 Y 轴对称。3、)(xfy与)2(xafy关于直线

22、ax对称。4、)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。5、)2(2)(xafbyxfy与关于点 (a,b)对称。6、)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。7、)()(1xfyxfy与关于直线xy对称（四）三性的综合应用（08卷 6） 已知( )f x在R上是奇函数，且2(4)( ),(0, 2)( )2,(7)f xf xxf xxf当时，则A A.-2 B.2 C.-98 D.98 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - -

23、 - - - - （08卷）函数 fx 满足213fxfx，若12f，则99f( C ) （） 13（）2（）132（）213（2010 理数）若f(x) 是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足f(1)=1 ，f(2)=2 则)4()3(ff的值为（）A、1B、1 C、2D、2 （09 卷）已知函数( )f x是(,)上的偶函数，若对于0 x，都有(2( )f xf x），且当0, 2)x时，2( )log (1f xx），则( 2008)(2009)ff的值为 ( C )A2B1C1D 2(09东兴十月 ) 定义在R 上的函数)(xf的图象关于点o,43对称，且满足)23()(xfxf，1)

24、1(f，2)0(f，则)2006(.)2()1(fff_ 2009 三校一模） 定义在R上的函数xf是奇函数又是以2为周期的周期函数, 则741fff等于( B ) A.-1B.0C.1D.4 （2009 全国卷理）函数( )f x的定义域为R，若(1)f x与(1)f x都是奇函数，2) 1(f则)2009(f( D )A、2009 B、-2009 C 、-2 D.、2若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a, 那么 f(x) 为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。函数 y = f (x)图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称，f (x) + f (2

25、ax) =2c，用 2bx 代 x 得：f (2bx) + f 2a(2bx) =2c（ *）又函数 y = f (x)图像直线 x =b 成轴对称， f (2bx) = f (x) 代入（ *）得：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - f (x) = 2cf 2(ab) + x（ * ） ，用 2（ab）x 代 x 得f 2 (ab)+ x = 2cf 4(ab) + x代入（ * ）得：f (x) = f 4(a

26、 b) + x,故 y = f (x)是周期函数，且 4| ab|是其一个周期。例 2.fx是定义在R 上满足fxfx的函数且满足33fxfx若0,3x时2xfx则6, 3x时2xA fx,2xB fx66,22xxCfxDfx解：如图1函数在0,32xfx知识点及方法对称性、函数的奇偶性；二次函数的对称性；对称性与函数的解析式；化归思想二次函数的对称性-6 -3 O 3 6 1 Y X 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - -

27、 - - 1已知)(xf是二次函数，图象开口向上,)2()2(xfxf, 比较)22(),1(ff大小。2若二次函数)( xf的图象开口向下，且f(x)=f(4-x), 比较)22(),1(),0(fff的大小。3二次函数32)(22mmxxxf满足)2()2(xfxf,求)( xf的顶点的坐标。4已知) 0()(2acbxaxxf,且)7()3(xfxf.（1）写出ba,的关系式（2）指出)( xf的单调区间。函数的对称性求解析式1 已知)(xf是偶函数，当0 x时，1)(3xxf,求)(xf的解析式 . 2 已知函数的)(xg图象与函数29)(2xxxf的图象关于原点成中心对称, 求)(

28、xg的解析式。3 设函数 y=f(x)的图象关于直线x=1 对称，若当x 1 时， y=x21，求当 x1 时, ,f(x)的解析式 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 4 设1)(xxf, 求) 1( xf关于直线2x对称的曲线的解析式. 5 已知函数) 1(xfy是偶函数，且x(0,+)时有 f(x)=x1, 求当 x( ,2)时, 求)(xfy的解析式 . 6 已知函数)( xf是偶函数，当)1 ,0

29、x时，,1)(xxf又)(xf的图象关于直线1x对称，求)( xf在)6,5的解析式 . 7已知函数( )()yf xxR）是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数( )yf x图象上A( ,( )af aB(,( )af aC(,()afaD( ,()a fa8 已知)(xfy是定义在R 上的奇函数，当0 x时，2)(xxf，那么不等式21)(xf的解集是（）9设定义域为R 的函数)(xf满足以下条件； 对任意0)()(,xfxfRx；对任意12,1, xxa， 当21xx时，有0)()(12xfxf则以下不等式不一定成立的是（）A)0()(fafB)()21(afafC)3()131(faa

30、fD)()131(afaaf5、已 知 定 义 在R上 的 函 数( )f x的 图 象 关 于 点3(,0)4对 称 ， 且( 1)1f，(0)2f，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 3( )()2f xf x，则(1)(2)(3)(2005)ffff的值为（）A2B1C0 D1 7、已知函数2( )|2|()f xxaxbxR，给出下列命题，)(xf不可能为偶函数； 当)2()0(ff时，)(xf的图象必关

31、于直线1x对称；若ba20，则)(xf在区间),a上是增函数；)(xf有最小值2ab，其中正确命题的序号是 _（将你认为正确的命题的序号都填上）9已知函数f(x)=x+x3+x5，xl，x2，x3R，且 xI+x20，x1+x30，x2+x30，则 f(x1)+f(x2)+f(x3) 的值(B ) A大于 0 B小于 0 C等于 0 D不确定10函数aaxxxf22)(在区间),(1 上有最小值，则函数xxfxg)()(在区间),(1上一定（ D）A有最小值B有最大值C是减函数D是增函数12函数cbxxxf2)(，若 f（0）=3，且 f（2x）=f（x） ，则有（ B）A.)()(xxcfb

32、fB.)()(xxcfbfC.)()(xxcfbfD.)(xbf与)(xcf的大小不确定14函数xaxxf1)(2的单调递增区间为),0(，那么实数a 的取值围是（ A）A0aB0aC0aD0a热点1 （图象与性质） 函数fx的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为-1 ，0）（0，1 ，则不等式fxfx-1 的解集是A:110 xxx且 B. :10 xxC.1: 1012xxx或 D.1:112xxx或0函数)(xf的定义域为D：0|xx且满足对于任意Dxx21,，有).()()(2121xfxfxxf（）求)1(f的值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

33、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - （）判断)(xf的奇偶性并证明；（）如果), 0()(, 3)62()13(, 1)4(在且xfxfxff上是增函数，求x 的取值围 . 对于函数fx，若存在0 xR，使00fxx成立，则称0 x为fx的“滞点”.已知函数fx= 222xx. ()试问fx有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由； 已知)(xf是定义在 1， 1上的奇函数， 且1)1 (f， 若 1 , 1,ba，0)()(0babfafba有恒成立 . （1）判断)(x

34、f在1，1上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式)11()21(xfxf；（3）若, 12)(2ammxf对所有1 , 1,1 ,1ax恒成立，数m 的取值围 . 21设函数xfy定义在 R 上，对于任意实数m、n恒有,nfmfnmf当0 x时，.10 xf求证：;1010 xfxf时且当求证：xf在 R 上递减；设集合., 12,1,22RayaxfyxNfyfxfyxM若,NM求a的取值围23. 已知函数fx( )的定义域为R，对任意实数m 、 n 都有f mnf mf n()( )()12，且f120，当x12时，f x( )0.（1）求f ( )1； （2）求和fffnn

35、N( )( )( )()*12； （3）判断函数f x( )的单调性并证明。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 设函数fx的定义域为0,且对任意的正实数xy、有fxyfxfy，已知21f且当1x时0fx. 求12f的值；试判断yfx在0,上的单调性并证明；已知函数（1）判断函数的单调性,并用定义证明 ;（2）求函数的最大值和最小值. （19） （本小题满分12 分）设函数 f(x) 对任意 x、yR，都有 f(x

36、+y)=f(x)+f(y),且 x0 时，f(x) 0.（1）证明： f(x) 为奇函数；（2）证明： f(x) 在 R 上为减函数 . 对于函数f(x) 和 g(x) ，在公共的定义域， 规定 f(x)*g(x) minf(x),g(x)，若 f(x) 3x，g(x)3x2，则 f(x)*g(x) 的最大值是。变式：对于函数f(x)与 g(x)，规定当 f(x) g(x)时，f(x) g(x)f(x) ；当 f(x)g(x)时， f(x)g(x) g(x) 。如果 f(x) 3x，g(x)3x，则 f(x) g(x)的最大值为。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -