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1、1 高中数学必修1 知识点总结第二章基本初等函数2.1 指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果,1nxa aR xR n，且nN，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示； 0 的n次方根是 0；负数a没有n次方根式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a根式的性质：()nnaa；当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时， (0)| (0) nnaaaaaa（2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：(0,mnmnaaam
2、 nN且1)n0 的正分数指数幂等于0正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,mmmnnnaam nNaa且1)n0 的负分数指数幂没有意义注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质(0, ,)rsr saaaar sR()(0, ,)rsrsaaar sR()(0,0,)rrraba babrR2.1.2指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0 xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R值域（0,+）过定点图象过定点（ 0,1 ） ，即当 x=0 时， y=1奇偶性非奇非偶xayxy(0,1)O1yxayxy(0,1)O1y名师资料总结 -
3、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2 单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况y1(x 0), y=1(x=0), 0y1(x 0) y1(x 0), y=1(x=0), 0y1(x 0)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高，越靠近y 轴；在第二象限内，a越大图象越低，越靠近x 轴在第一象限内，a越大图象越高，越靠近y 轴；在第二象限内，a越小图象越低，越靠近x 轴2.2 对数函数【2.2.1 】对数与对数运算
4、（1）对数的定义若(0,1)xaN aa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaN aaN（2）几个重要的对数恒等式: log 10a，log1aa，logbaab（3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N，即10logN；自然对数：ln N，即logeN（其中2.71828e） （4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么加法：logloglog ()aaaMNMN减法：logloglogaaaMMNN数乘：loglog()naanMMnRlogaNaNloglog(0,)bnaa
5、nMM bnRb换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且【2.2.2 】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log(0ayx a且1)a叫做对数函数图象1a01a定义域(0,)xyO(1,0)1xlogayxxyO(1,0)1xlogayx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3 值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减
6、函数函数值的变化情况log0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxlog0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近x 轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y 轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近x 轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y 轴(6) 反函数的概念设函数( )yf x的定义域为A，值域为C，从式子( )yf x中解出x，得式子( )xy如果对于y在C中的任何一个值，通过式子( )xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子( )xy表示x是y的函数，函数( )xy叫做函
7、数( )yf x的反函数，记作1( )xfy，习惯上改写成1( )yfx（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式( )yf x中反解出1( )xfy；将1( )xfy改写成1( )yfx，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质原函数( )yf x与反函数1( )yfx的图象关于直线yx对称函数( )yfx的定义域、值域分别是其反函数1( )yfx的值域、定义域若( , )P a b在原函数( )yf x的图象上，则( , )P b a在反函数1( )yfx的图象上一般地，函数( )yf x要有反函数则它必须为单调函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -
8、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4 2.3 幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果0，则幂函数的图象过原
9、点，并且在0,)上为增函数如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴奇偶性： 当为奇数时，幂函数为奇函数， 当为偶数时， 幂函数为偶函数 当qp（其中,p q互质，p和qZ） ，若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数图象特征：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线yx下方名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
10、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 5 补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：2( )(0)f xaxbxc a顶点式：2( )()(0)f xa xhk a两根式：12( )()()(0)f xa xxxxa（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求( )f x更方便（3）二次函数图象的性质二次函数2( )(0)f xaxbxc a的图象
11、是一条抛物线，对称轴方程为,2bxa顶点坐标是24(,)24bacbaa当0a时，抛物线开口向上，函数在(,2ba上递减，在,)2ba上递增，当2bxa时，2min4( )4acbfxa；当0a时，抛物线开口向下，函数在(,2ba上递增，在,)2ba上递减，当2bxa时，2max4( )4acbfxa二次函数2( )(0)f xaxbxc a当240bac时，图象与x轴有两个交点11221212( ,0),( ,0),| | |M xM xMMxxa（4）一元二次方程20(0)axbxca根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，
12、且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程20(0)axbxca的两实根为12,xx，且12xx令2( )f xaxbxc，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置：2bxa判别式：端点函数值符号kx1x2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 6 xy1x2x0aO?abx20)(kfkxy1x2xO
13、?abx2k0a0)(kfx1x2kxy1x2x0aO?abx2k0)(kfxy1x2xO?abx2k0a0)(kfx1kx2af( k) 0 0)(kfxy1x2x0aO?kxy1x2xO?k0a0)(kfk1x1x2k2xy1x2x0aO?1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO?0a1k?2k0)(1kf0)(2kfabx2有且仅有一个根x1（或 x2）满足 k1x1（或 x2）k2f( k1) f( k2)0，并同时考虑f( k1)=0 或 f( k2)=0 这两种情况是否也符合名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
14、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 7 xy1x2x0aO?1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO?0a1k?2k0)(1kf0)(2kfk1x1k2p1x2p2此结论可直接由推出（5）二次函数2( )(0)f xaxbxc a在闭区间, p q上的最值设( )f x在区间,p q上的 最大值为M，最小值为m，令01()2xpq（）当0a时（开口向上）若2bpa，则( )mfp若2bpqa，则()2bmfa若2bqa，则( )mf q若02bxa，则( )Mf q02bxa，则()Mfp( ) 当0a
15、时( 开口向下 ) 若2bpa，则()Mfp若2bpqa，则()2bMfa若2bqa，则( )Mf qxOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfag0 xxOf(p)f(q)()2bfa0 xgxOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 8 若02bxa，则( )mf q02bxa，则()mf pxOf(p)f(q)()2bfa0 xgxOf(p)f(q)()2bfag0 x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -